Тензорная алгебра

В математике тензорная алгебра векторного пространства V , обозначаемая T ( V ) или T ^• ( V ) — алгебра тензоров тензорным на V (любого ранга), где умножение является произведением . Это свободная алгебра на V в том смысле, что она левосопряжена с функтором забвения из алгебр в векторные пространства: это «наиболее общая» алгебра, содержащая V в смысле соответствующего универсального свойства (см. ниже ).

Тензорная алгебра важна, потому что многие другие алгебры возникают как T ( факторалгебры V ) . К ним относятся внешняя алгебра , симметрическая алгебра , алгебры Клиффорда , алгебра Вейля и универсальные обертывающие алгебры .

Тензорная алгебра также имеет две структуры коалгебры ; один простой, который не делает ее биалгеброй, но приводит к понятию косвободной коалгебры , и более сложный, который дает биалгебру и может быть расширен путем предоставления антипода для создания структуры алгебры Хопфа .

Примечание . В этой статье все алгебры считаются унитальными и ассоциативными . Единица явно требуется для определения копродукции .

Строительство

Пусть V — пространство над полем K. векторное Для любого неотрицательного целого числа k мы определяем k-ю степень как V тензорное произведение V тензорную на самого себя k раз:

$T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V.$

То есть Т ^к V всех тензоров на V порядка k состоит из . По соглашению Т ⁰ V — основное поле K (как одномерное векторное пространство над собой).

Затем мы строим T ( V ) как прямую сумму T ^к V для k = 0,1,2,…

$T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .$

Умножение в T ( V ) определяется каноническим изоморфизмом

$T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V$

задается тензорным произведением, которое затем по линейности распространяется на все T ( V ). Из этого правила умножения следует, что тензорная алгебра T ( V ) естественным образом является градуированной алгеброй с T ^к V служит подпространством класса k . Эту градуировку можно расширить до Z -градуировки, добавив подпространства $T^{k}V=\{0\}$ для отрицательных целых чисел k .

Конструкция непосредственно обобщается на тензорную алгебру любого модуля М над коммутативным кольцом . Если R — некоммутативное кольцо конструкцию все равно можно выполнить для любого R - R- бимодуля M. , то (Это не работает для обычных R -модулей, поскольку итерированные тензорные произведения не могут быть сформированы.)

Присоединение и универсальное свойство

Тензорная алгебра T ( V ) также называется свободной алгеброй векторного пространства V и является функториальной ; это означает, что карта $V\mapsto T(V)$ распространяется на линейные отображения для образования функтора из категории -векторных пространств K в категорию ассоциативных алгебр . Как и в случае с другими свободными конструкциями , функтор T сопряжен слева с функтором забывания , который отправляет каждую ассоциативную K -алгебру в лежащее в ее основе векторное пространство.

Явно тензорная алгебра удовлетворяет следующему универсальному свойству , которое формально выражает утверждение о том, что это наиболее общая алгебра, содержащая V :

Любая линейная карта $f:V\to A$ из V в ассоциативную алгебру A над K можно однозначно расширить до гомоморфизма алгебры из T ( V ) в A, как показано следующей коммутативной диаграммой :

Universal property of the tensor algebra

Здесь i — включение V T в ( ) V . каноническое Что касается других универсальных свойств, то тензорную алгебру T ( V ) можно определить как единственную алгебру, удовлетворяющую этому свойству (в частности, она уникальна с точностью до единственного изоморфизма), но это определение требует доказательства существования объекта, удовлетворяющего этому свойству.

Из указанного выше универсального свойства следует, что T — функтор из категории векторных пространств над K в категорию K -алгебр. Это означает, что любое линейное отображение между K -векторными пространствами U и W однозначно продолжается до гомоморфизма K -алгебры из T ( U ) в T ( W ) .

Некоммутативные полиномы

Если V имеет конечную размерность n , тензорную алгебру можно рассматривать как «алгебру многочленов над K от n некоммутирующих переменных». Если мы возьмем базисные векторы для V , они станут некоммутирующими переменными (или неопределенными ) в T ( V ), на которые не распространяются никакие ограничения, кроме ассоциативности , закона распределения и K -линейности.

Заметим, что алгебра многочленов на V не является $T(V)$, а скорее $T(V^{*})$: (однородная) линейная функция на V является элементом $V^{*},$ например координаты $x^{1},\dots ,x^{n}$ в векторном пространстве являются ковекторами , поскольку они принимают вектор и выдают скаляр (заданную координату вектора).

Частные

Из-за общности тензорной алгебры многие другие интересующие алгебры можно построить, начав с тензорной алгебры и затем наложив определенные соотношения на генераторы, т. е. построив определенные T ( факторалгебры V ) . Примерами этого являются внешняя алгебра , симметрическая алгебра , алгебры Клиффорда , алгебра Вейля и универсальные обертывающие алгебры .

Коалгебра

Тензорная алгебра имеет две разные структуры коалгебры . Один из них совместим с тензорным произведением и, таким образом, может быть расширен до биалгебры и может быть расширен с помощью антипода до структуры алгебры Хопфа . Другая структура, хотя и более простая, не может быть расширена до биалгебры. Первая структура развита непосредственно ниже; вторая структура приведена в разделе, посвященном кофри-коалгебре , ниже.

Представленное ниже развитие можно с тем же успехом применить и к внешней алгебре , используя символ клина. $\wedge$ вместо символа тензора $\otimes$; знак необходимо учитывать и при перестановке элементов внешней алгебры. Это соответствие также продолжается до определения биалгебры и до определения алгебры Хопфа. То есть внешней алгебре также можно придать структуру алгебры Хопфа.

Точно так же симметричной алгебре можно придать структуру алгебры Хопфа точно таким же образом, заменив везде тензорное произведение $\otimes$ симметризованным тензорным произведением $\otimes _{\mathrm {Sym} }$, то есть тот продукт, где $v\otimes _{\mathrm {Sym} }w=w\otimes _{\mathrm {Sym} }v.$

В каждом случае это возможно, поскольку чередующееся произведение $\wedge$ и симметричное произведение $\otimes _{\mathrm {Sym} }$ подчиняться необходимым условиям согласованности определения биалгебры и алгебры Хопфа; это можно явно проверить, как показано ниже. Всякий раз, когда у вас есть продукт, подчиняющийся этим условиям согласованности, построение происходит; поскольку такой продукт породил фактор-пространство, фактор-пространство наследует структуру алгебры Хопфа.

На языке теории категорий говорят, что существует функтор T из категории K -векторных пространств в категорию K -ассоциативных алгебр. Но существует также функтор Λ, переводящий векторные пространства в категорию внешних алгебр, и функтор Sym , переводящий векторные пространства в категорию симметричных алгебр. Существует естественное отображение T в каждый из них. Проверка того, что факторизация сохраняет структуру алгебры Хопфа, аналогична проверке того, что отображения действительно естественны.

Совместный продукт

Коалгебра получается определением копроизведения или диагонального оператора.

$\Delta :TV\to TV\boxtimes TV$

Здесь, $TV$ используется как сокращение для $T(V)$ чтобы избежать взрыва круглых скобок. $\boxtimes$ Символ используется для обозначения «внешнего» тензорного произведения, необходимого для определения коалгебры. Он используется, чтобы отличить его от «внутреннего» тензорного произведения. $\otimes$, который уже используется для обозначения умножения в тензорной алгебре ( см. в разделе «Умножение дополнительные разъяснения по этому вопросу » ниже). Чтобы избежать путаницы между этими двумя символами, в большинстве текстов они будут заменены $\otimes$ простой точкой или даже вообще отбросьте ее, понимая, что это подразумевается из контекста. Затем это позволяет $\otimes$ символ, который будет использоваться вместо $\boxtimes$ символ. Ниже этого не делается, и оба символа используются независимо и явно, чтобы показать правильное расположение каждого из них. Результат будет немного более подробным, но его будет легче понять.

Определение оператора $\Delta$ проще всего создавать поэтапно, сначала определяя его для элементов $v\in V\subset TV$ а затем гомоморфно распространив его на всю алгебру. Тогда подходящим выбором для совместного произведения будет

$\Delta :v\mapsto v\boxtimes 1+1\boxtimes v$

и

$\Delta :1\mapsto 1\boxtimes 1$

где $1\in K=T^{0}V\subset TV$ это единица поля $K$. В силу линейности очевидно, что

$\Delta (k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k$

для всех $k\in K.$ Непосредственно проверяется, что это определение удовлетворяет аксиомам коалгебры: т. е. что

$(\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})\circ \Delta$

где $\mathrm {id} _{TV}:x\mapsto x$ это карта идентичности на $TV$. Действительно, человек получает

$((\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta )(v)=v\boxtimes 1\boxtimes 1+1\boxtimes v\boxtimes 1+1\boxtimes 1\boxtimes v$

и то же самое для другой стороны. В этом месте можно было бы сослаться на лемму и сказать, что $\Delta$ тривиально распространяется по линейности на все $TV$, потому что $TV$ является свободным объектом и $V$ является генератором свободной алгебры, и $\Delta$ является гомоморфизмом. Тем не менее, было бы полезно дать явные выражения. Итак, для $v\otimes w\in T^{2}V$, имеет место (по определению) гомоморфизм

$\Delta :v\otimes w\mapsto \Delta (v)\otimes \Delta (w)$

Расширяясь, человек имеет

${\begin{aligned}\Delta (v\otimes w)&=(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\otimes (w\boxtimes 1+1\boxtimes w)\\&=(v\otimes w)\boxtimes 1+v\boxtimes w+w\boxtimes v+1\boxtimes (v\otimes w)\end{aligned}}$

В приведенном выше расширении нет необходимости писать $1\otimes v$ поскольку это просто старое скалярное умножение в алгебре; то есть, тривиально есть это $1\otimes v=1\cdot v=v.$

Расширение, приведенное выше, сохраняет градуировку алгебры. То есть,

$\Delta :T^{2}V\to \bigoplus _{k=0}^{2}T^{k}V\boxtimes T^{2-k}V$

Продолжая в том же духе, можно получить явное выражение для копроизведения, действующего на однородный элемент порядка m :

${\begin{aligned}\Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=\Delta (v_{1})\otimes \cdots \otimes \Delta (v_{m})\\&=\sum _{p=0}^{m}\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{p}\right)\;\omega \;\left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_{m}\right)\\&=\sum _{p=0}^{m}\;\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} (p,m-p)}\;\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\boxtimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)\end{aligned}}$

где $\omega$ Символ, который должен выглядеть как ш, ша, обозначает перетасованный продукт . Это выражается во втором суммировании, которое проводится по всем ( p , m − p )-перетасовкам . Перетасовка

${\begin{aligned}\operatorname {Sh} (p,q)=\{\sigma :\{1,\dots ,p+q\}\to \{1,\dots ,p+q\}\;\mid \;&\sigma {\text{ is bijective}},\;\sigma (1)<\sigma (2)<\cdots <\sigma (p),\\&{\text{and }}\;\sigma (p+1)<\sigma (p+2)<\cdots <\sigma (m)\}.\end{aligned}}$

По соглашению считается, что Sh( m, 0) и Sh(0, m ) равны {id: {1, ..., m } → {1, ..., m }}. Также удобно взять чистые тензорные произведения $v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}$ и $v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}$равняться 1 для p = 0 и p = m соответственно (пустой продукт в $TV$). Перетасовка следует непосредственно из первой аксиомы коалгебры: относительного порядка элементов. $v_{k}$ сохраняется . при перетасовке: перетасовка просто разбивает упорядоченную последовательность на две упорядоченные последовательности: одну слева и одну справа

Эквивалентно,

$\Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}\left(\prod _{k=1 \atop k\in S}^{n}v_{k}\right)\boxtimes \left(\prod _{k=1 \atop k\notin S}^{n}v_{k}\right)\!,$

где находятся продукты $TV$, и где сумма ведется по всем подмножествам $\{1,\dots ,n\}$.

Как и раньше, градуировка алгебры сохраняется:

$\Delta :T^{m}V\to \bigoplus _{k=0}^{m}T^{k}V\boxtimes T^{(m-k)}V$

Коэффициент

Единица $\epsilon :TV\to K$ задается проекцией компоненты поля из алгебры. Это можно записать как $\epsilon :v\mapsto 0$ для $v\in V$ и $\epsilon :k\mapsto k$ для $k\in K=T^{0}V$. По гомоморфизму относительно тензорного произведения $\otimes$, это распространяется на

$\epsilon :x\mapsto 0$

для всех $x\in T^{1}V\oplus T^{2}V\oplus \cdots$Несложно проверить, что эта единица удовлетворяет необходимой аксиоме коалгебры:

$(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\epsilon \boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta .$

Работая это явно, можно

${\begin{aligned}((\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta )(x)&=(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )(1\boxtimes x+x\boxtimes 1)\\&=1\boxtimes \epsilon (x)+x\boxtimes \epsilon (1)\\&=0+x\boxtimes 1\\&\cong x\end{aligned}}$

где на последнем шаге использовался изоморфизм $TV\boxtimes K\cong TV$, что соответствует определяющей аксиоме единицы.

Биалгебра

Биалгебра определяет как умножение , так и коумножение и требует их совместимости.

Умножение

Умножение задается оператором

$\nabla :TV\boxtimes TV\to TV$

которое в данном случае уже было задано как «внутреннее» тензорное произведение. То есть,

$\nabla :x\boxtimes y\mapsto x\otimes y$

То есть, $\nabla (x\boxtimes y)=x\otimes y.$ Вышеизложенное должно прояснить, почему $\boxtimes$ необходимо использовать символ: $\otimes$ на самом деле это было одно и то же, что и $\nabla$; и неряшливость обозначений здесь привела бы к полнейшему хаосу. Чтобы усилить это: тензорное произведение $\otimes$ тензорной алгебры соответствует умножению $\nabla$ используется в определении алгебры, тогда как тензорное произведение $\boxtimes$ это тот, который требуется при определении коумножения в коалгебре. Эти два тензорных произведения — не одно и то же!

Единица

Единица по алгебре

$\eta :K\to TV$

это просто вложение, так что

$\eta :k\mapsto k$

Что единица совместима с тензорным произведением $\otimes$ является «тривиальным»: это всего лишь часть стандартного определения тензорного произведения векторных пространств. То есть, $k\otimes x=kx$ для элемента поля k и любого $x\in TV.$ Более подробно, аксиомы ассоциативной алгебры требуют двух гомоморфизмов (или коммутирующих диаграмм):

$\nabla \circ (\eta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})=\eta \otimes \mathrm {id} _{TV}=\eta \cdot \mathrm {id} _{TV}$

на $K\boxtimes TV$, и это симметрично, на $TV\boxtimes K$, что

$\nabla \circ (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \eta )=\mathrm {id} _{TV}\otimes \eta =\mathrm {id} _{TV}\cdot \eta$

где правую часть этих уравнений следует понимать как скалярное произведение.

Совместимость

Единица и счетчик, а также умножение и коумножение должны удовлетворять условиям совместимости. Это легко увидеть

$\epsilon \circ \eta =\mathrm {id} _{K}.$

Аналогично единица совместима с коумножением:

$\Delta \circ \eta =\eta \boxtimes \eta \cong \eta$

Вышеизложенное требует использования изоморфизма $K\boxtimes K\cong K$ чтобы работать; без этого теряется линейность. Покомпонентно,

$(\Delta \circ \eta )(k)=\Delta (k)=k(1\boxtimes 1)\cong k$

причем правая часть использует изоморфизм.

Умножение и счет совместимы:

$(\epsilon \circ \nabla )(x\boxtimes y)=\epsilon (x\otimes y)=0$

всякий раз, когда x или y не являются элементами $K$, а в противном случае в поле выполняется скалярное умножение: $k_{1}\otimes k_{2}=k_{1}k_{2}.$ Сложнее всего проверить совместимость умножения и коумножения:

$\Delta \circ \nabla =(\nabla \boxtimes \nabla )\circ (\mathrm {id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm {id} )\circ (\Delta \boxtimes \Delta )$

где $\tau (x\boxtimes y)=y\boxtimes x$ обменивается элементами. Условие совместимости необходимо проверять только на $V\subset TV$; полная совместимость следует как гомоморфное расширение всех $TV.$ Проверка многословна, но проста; здесь он не приводится, за исключением конечного результата:

$(\Delta \circ \nabla )(v\boxtimes w)=\Delta (v\otimes w)$

Для $v,w\in V,$ явное выражение для этого было дано выше в разделе коалгебры.

Алгебра Хопфа

Алгебра Хопфа добавляет антипод к аксиомам биалгебры. Антипод $S$ на $k\in K=T^{0}V$ дается

$S(k)=k$

Иногда это называют «антиидентичностью». Антипод на $v\in V=T^{1}V$ дается

$S(v)=-v$

и дальше $v\otimes w\in T^{2}V$ к

$S(v\otimes w)=S(w)\otimes S(v)=w\otimes v$

Это гомоморфно продолжается на

${\begin{aligned}S(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=S(v_{m})\otimes \cdots \otimes S(v_{1})\\&=(-1)^{m}v_{m}\otimes \cdots \otimes v_{1}\end{aligned}}$

Совместимость

Совместимость антипода с умножением и коумножением требует, чтобы

$\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\mathrm {id} \boxtimes S)\circ \Delta$

Это легко проверить покомпонентно на $k\in K$:

${\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(k)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(1\boxtimes k)\\&=\nabla (1\boxtimes k)\\&=1\otimes k\\&=k\end{aligned}}$

Аналогично, на $v\in V$:

${\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(v)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=\nabla (-v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=-v\otimes 1+1\otimes v\\&=-v+v\\&=0\end{aligned}}$

Напомним, что

$(\eta \circ \epsilon )(k)=\eta (k)=k$

и это

$(\eta \circ \epsilon )(x)=\eta (0)=0$

для любого $x\in TV$ этого нет в $K.$

Можно действовать аналогичным образом, используя гомоморфизм, проверяя, что антипод вставляет соответствующие знаки сокращения в тасование, начиная с условия совместимости на $T^{2}V$ и действуя по индукции.

Cofree кополная коалгебра

Основная статья: Коалгебра Кофри

Можно определить другое копроизведение в тензорной алгебре, более простое, чем приведенное выше. Это дано

$\Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0}\otimes \dots \otimes v_{j})\boxtimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k+1})$

Здесь, как и раньше, используется обозначенный прием $v_{0}=v_{k+1}=1\in K$ (напоминая, что $v\otimes 1=v$ тривиально).

Это копроизведение дает начало коалгебре. Он описывает коалгебру, двойственную структуре алгебры на T ( V ^∗ ), где V ^∗ обозначает двойственное векторное пространство линейных отображений V → F . Точно так же, как тензорная алгебра является свободной алгеброй , соответствующая коалгебра называется кополной косвободной. С обычным произведением это не биалгебра. Ее можно превратить в биалгебру с произведением $v_{i}\cdot v_{j}=(i,j)v_{i+j}$ где (i,j) обозначает биномиальный коэффициент для ${\tbinom {i+j}{i}}$. Эта биалгебра известна как разделенная степенная алгебра Хопфа .

Разницу между этой и другой коалгеброй легче всего увидеть на примере $T^{2}V$ срок. Вот у одного есть такое

$\Delta (v\otimes w)=1\boxtimes (v\otimes w)+v\boxtimes w+(v\otimes w)\boxtimes 1$

для $v,w\in V$, в котором явно отсутствует перетасованный термин по сравнению с предыдущим.

См. также

• Плетеное векторное пространство
• Плетеная алгебра Хопфа
• Моноидальная категория
• Полилинейная алгебра
• Фокское пространство

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989). Алгебра I. Главы 1-3 . Элементы математики . Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-64243-9 . (См. главу 3 §5)

• Серж Ланг (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (3-е изд.), Springer Verlag , ISBN  978-0-387-95385-4