Jump to content

Рнг (алгебра)

(Перенаправлено с Rng (математика) )

В математике , а точнее в абстрактной алгебре , гСГ (или неединичное кольцо или псевдокольцо ) — это алгебраическая структура, удовлетворяющая тем же свойствам, что и кольцо , но без предположения существования мультипликативного тождества . Термин rng (IPA: / r ʌ ŋ / ) предполагает, что это кольцо без i , то есть без требования к единичному элементу. [1]

В сообществе нет единого мнения относительно того, должно ли существование мультипликативной идентичности быть одной из аксиом кольца (см. Кольцо (математика) § История ). Термин rng был придуман, чтобы смягчить эту двусмысленность, когда люди хотят явно ссылаться на кольцо без аксиомы мультипликативной идентичности.

Ряд алгебр функций, рассматриваемых в анализе, не являются единичными, например алгебра функций, убывающих к нулю на бесконечности, особенно имеющих компактный носитель на некотором (некомпактном ) пространстве.

Определение

[ редактировать ]

Формально гСГ — это набор R с двумя двоичными операциями (+, ·), называемыми сложением и умножением, такими, что

Гомоморфизм rng — это функция f : R S, переводящая из одного rng ​​в другой, такая, что

  • ж ( Икс + у ) знак равно ж ( Икс ) + ж ( у )
  • ж ( Икс · y ) знак равно ж ( Икс ) · ж ( y )

для всех x и y в R .

Если R и S — кольца, то гомоморфизм колец R S — это то же самое, что гомоморфизм rng R S , который отображает 1 в 1.

Все кольца - это кольца. Простой пример кольца, не являющегося кольцом, — это четные целые числа с обычным сложением и умножением целых чисел. 3х3, Другой пример дан набор всех действительных матриц нижняя строка которых равна нулю. Оба эти примера являются примерами того общего факта, что каждый (одно- или двусторонний) идеал является кольцом.

Rngs часто естественным образом появляются в функциональном анализе , когда линейные операторы в бесконечномерных векторных пространствах рассматриваются . Возьмем, к примеру, любое бесконечномерное векторное пространство V и рассмотрим множество всех линейных операторов f : V V с конечным рангом (т. е. dim f ( V ) < ∞ ). Вместе со сложением и композицией операторов это кольцо, а не кольцо. Другой пример — поиск всех вещественных последовательностей , сходящихся к 0, с помощью покомпонентных операций.

Кроме того, многие тестовых функций пространства , встречающиеся в теории распределений, состоят из функцийубывающее до нуля на бесконечности, как, например, пространство Шварца . Таким образом, функция, всюду равная единице, которая была бы единственно возможным единичным элементом для поточечного умножения, не может существовать в таких пространствах, которые, следовательно, являются кольцами (для поточечного сложения и умножения). В частности, вещественнозначные непрерывные функции с компактным носителем, определенные на некотором топологическом пространстве , вместе с поточечным сложением и умножением образуют кольцо; это не кольцо, если лежащее в его основе пространство не компактно .

Пример: четные целые числа

[ редактировать ]

Множество 2 Z четных целых чисел замкнуто относительно сложения и умножения и имеет аддитивную единицу 0, поэтому это кольцо, но не имеет мультипликативной идентичности, поэтому не является кольцом.

В 2 Z единственный мультипликативный идемпотент равен 0, единственный нильпотент равен 0 и единственный элемент с рефлексивным обратным равен 0.

Пример: конечные пятеричные последовательности

[ редактировать ]

Прямая сумма оснащенная покоординатным сложением и умножением, представляет собой цепь со следующими свойствами:

  • Его идемпотентные элементы образуют решетку без верхней границы.
  • Каждый элемент x имеет рефлексивный обратный , а именно элемент y такой, что xyx = x и yxy = y .
  • Для каждого конечного подмножества , существует идемпотент в который действует как идентификатор для всего подмножества: последовательность с единицей в каждой позиции, где последовательность в подмножестве имеет ненулевой элемент в этой позиции и ноль в каждой другой позиции.

Характеристики

[ редактировать ]
  • Идеалы, факторкольца и модули могут быть определены для rng таким же образом, как и для колец.
  • Однако работа с кольцами вместо колец усложняет некоторые связанные определения. Например, в кольце R левый идеал ( f ), порожденный элементом f , определяемым как наименьший левый идеал, содержащий f , — это просто Rf , но если R — это всего лишь rng, то Rf может не содержать f , поэтому вместо этого

    где nf необходимо интерпретировать с использованием повторного сложения/вычитания, поскольку n не обязательно представляет элемент R . Аналогично, левый идеал, порожденный элементами f 1 , ..., f m кольца R, равен

    формула, восходящая к Эмми Нётер . [2] Аналогичные сложности возникают при определении подмодуля , порожденного набором элементов модуля.
  • Некоторые теоремы для колец неверны для rng. Например, в кольце каждый собственный идеал содержится в максимальном идеале , поэтому ненулевое кольцо всегда имеет хотя бы один максимальный идеал. Оба эти утверждения неверны для rng.
  • Гомоморфизм rng f : R S отображает любой идемпотентный элемент в идемпотентный элемент.
  • Если f : R S — гомоморфизм г. кольца из кольца в г. п. и образ f содержит неделитель нуля S , то S — кольцо, а f — кольцевой гомоморфизм.

Присоединение элемента идентификации (расширение Дорро)

[ редактировать ]

Каждую градусу R можно расширить до кольца R ^ присоединением единичного элемента. Общий способ сделать это — формально добавить единичный элемент 1 и позволить R ^ состоять из целых линейных комбинаций 1 и элементов R с предпосылкой, что ни одно из его ненулевых целых кратных не совпадает или не содержится в R . То есть элементы R ^ имеют вид

п ⋅ 1 + р

где n число и r R. целое Умножение определяется линейностью:

( п 1 + р 1 ) ⋅ ( п 2 + р 2 ) знак равно п 1 п 2 + п 1 р 2 + п 2 р 1 + р 1 р 2 .

Более формально, мы можем взять R ^ в качестве декартова произведения Z × R и определить сложение и умножение как

( п 1 , р 1 ) + ( п 2 , р 2 ) знак равно ( п 1 + п 2 , р 1 + р 2 ),
( п 1 , р 1 ) · ( п 2 , р 2 ) знак равно ( п 1 п 2 , п 1 р 2 + п 2 р 1 + р 1 р 2 ).

мультипликативная идентичность R Тогда ^ равна (1, 0) . Существует естественный гомоморфизм случайных чисел j : R R ^, определяемый формулой j ( r ) = (0, r ) . Эта карта обладает следующим универсальным свойством :

Для любого кольца S и любого гомоморфизма rng f : R S существует единственный гомоморфизм колец g : R ^ → S такой, что f = gj .

Карта g может быть определена как g ( n , r ) знак равно n · 1 S + f ( r ) .

Существует естественный сюръективный гомоморфизм колец R ^ → Z , который переводит ( n , r ) в n . Ядром . этого гомоморфизма является образ R в R ^ Поскольку j инъективен R , мы видим, что вложено как (двусторонний) идеал в R ^ с фактор-кольцом R ^/ R, изоморфным Z . Отсюда следует, что

Каждое кольцо является идеалом в некотором кольце, и каждый идеал кольца является кольцом.

Обратите внимание, что j никогда не является сюръективным. Таким образом, даже если R уже имеет единичный элемент, кольцо R ^ будет более крупным и с другой единицей. Кольцо R ^ часто называют расширением Дорро кольца R в честь американского математика Джо Ли Дорро, который первым его построил.

Процесс присоединения единичного элемента к группе можно сформулировать на языке теории категорий . Если мы обозначим категорию всех колец и гомоморфизмов колец через Ring , а категорию всех rng и гомоморфизмов rng через , то Ring будет (неполной) подкатегорией Rng Rng . конструкция R Приведенная выше ^ дает левый сопряженный функтору включения I : Ring Rng . Обратите внимание, что Ring не является отражающей подкатегорией Rng , поскольку функтор включения не является полным.

Свойства слабее, чем наличие идентичности

[ редактировать ]

В литературе рассматривалось несколько свойств, которые слабее, чем наличие элемента идентичности, но не столь общие. Например:

  • Кольца с достаточным количеством идемпотентов: кольцо R называется кольцом с достаточным количеством идемпотентов, если существует подмножество E кольца R, заданное ортогональными (т. е. ef = 0 для всех e f в E ) идемпотентами (т. е . e 2 = e для всех e в E ) таких, что R знак равно e E eR = e E Re .
  • Кольца с локальными единицами: Говорят, что кольцо Rng R является кольцом с локальными единицами в случае, если для каждого конечного множества r 1 , r 2 , ..., r t в R мы можем найти e в R такое, что e 2 знак равно е и эр я знак равно р я знак равно р я е для каждого я .
  • s -единичные кольца: A rng R называется s любого конечного множества r 1 , r 2 , ..., r t в R мы можем найти s в R такое, что sr i = ri r = -унитальным в случае, если для я я для каждого .
  • Твердые кольца: кольцо R называется твердым, если канонический гомоморфизм R R R R , заданный формулой r s rs, является изоморфизмом.
  • Идемпотентные кольца: кольцо R называется идемпотентным (или кольцом) в случае, если R 2 = R , то есть для каждого элемента r из R мы можем найти элементы r i и s i в R такие, что .

Нетрудно проверить, что эти свойства слабее, чем наличие единичного элемента, и слабее предыдущего.

  • Кольца — это кольца с достаточным количеством идемпотентов, используя E = {1}. Кольцо с достаточным количеством идемпотентов, не имеющее единицы, — это, например, кольцо бесконечных матриц над полем с конечным числом ненулевых элементов. Матрицы, у которых только один элемент на главной диагонали равен 1, а в противном случае — 0, являются ортогональными идемпотентами.
  • Кольца с достаточным количеством идемпотентов — это кольца с локальными единицами, которые просто принимают конечные суммы ортогональных идемпотентов, чтобы удовлетворить определению.
  • Кольца с локальными единицами, в частности, s -унитальны; s- унитальные кольца твердые, а твердые кольца идемпотентны.

Кольцо квадратного нуля

[ редактировать ]

ГСЧ с квадратным нулем — это гСГ R такая, что = 0 для всех x и y в R. xy [3] Любую абелеву группу можно превратить в цепь квадратного нуля, задав умножение так, чтобы xy = 0 для всех x и y ; [4] таким образом, каждая абелева группа является аддитивной группой некоторого кольца.Единственная цепь квадратного нуля с мультипликативным тождеством — это нулевое кольцо {0}. [4]

Любая аддитивная подгруппа кольца квадратного нуля является идеалом . Таким образом, группа квадратного нуля является простой тогда и только тогда, когда ее аддитивная группа является простой абелевой группой, т. е. циклической группой простого порядка. [5]

Единичный гомоморфизм

[ редактировать ]

Учитывая две алгебры с единицей A и B алгебры , гомоморфизм

е : А Б

является унитарным , если он отображает единичный элемент A в единичный элемент B .

Если ассоциативная алгебра A над полем K не едина , к единичному элементу можно присоединить следующим образом: взять A × K в качестве основного K векторного пространства и определить умножение ∗ на

( Икс , р ) * ( y , s ) знак равно ( xy + sx + ry , rs )

для x , y в A и r , s в K. ​Тогда ∗ — ассоциативная операция с единичным элементом (0, 1) . Старая алгебра A содержится в новой, и фактически A × K — «наиболее общая» алгебра с единицей, содержащая A , в смысле универсальных конструкций .

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Джейкобсон (1989) , стр. 155–156
  2. ^ Нётер (1921) , с. 30, §1.2
  3. ^ См. Бурбаки (1998) , с. 102, где оно названо псевдокольцом квадратного нуля. Некоторые другие авторы используют термин «нулевое кольцо» для обозначения любого кольца квадратного нуля; см., например, Селе (1949) и Крейнович (1995) .
  4. ^ Перейти обратно: а б Бурбаки (1998) , с. 102
  5. ^ Зариски и Сэмюэл (1958) , стр. 133
  • Бурбаки, Н. (1998). Алгебра I, главы 1–3 . Спрингер.
  • Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2003). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-471-43334-7 .
  • Дорро, Дж. Л. (1932). «О дополнениях к алгебрам» . Бык. амер. Математика. Соц . 38 (2): 85–88. дои : 10.1090/S0002-9904-1932-05333-2 .
  • Джейкобсон, Натан (1989). Основная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN  0-7167-1480-9 .
  • Крейнович, В. (1995). «Если полиномиальное тождество гарантирует, что каждый частичный порядок в кольце может быть расширен, то это тождество верно только для нулевого кольца». Алгебра Универсалис . 33 (2): 237–242. дои : 10.1007/BF01190935 . МР   1318988 . S2CID   122388143 .
  • Херштейн, Индиана (1996). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-471-36879-3 .
  • МакКриммон, Кевин (2004). Немного о йордановых алгебрах . Спрингер. ISBN  978-0-387-95447-9 .
  • Нётер, Эмми (1921). «Идеальная теория в кольцевых областях» [Идеальная теория в кольцах]. Математические анналы (на немецком языке). 83 (1–2): 24–66. дои : 10.1007/BF01464225 . S2CID   121594471 .
  • Селе, Тибор (1949). «Zur Theory der Zeroringe». Математические Аннален . 121 : 242–246. дои : 10.1007/bf01329628 . МР   0033822 . S2CID   122196446 .
  • Зариский, Оскар; Самуэль, Пьер (1958). Коммутативная алгебра . Том. 1. Ван Ностранд.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a2a3865a540aecbb062736f9d2350406__1704844440
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a2/06/a2a3865a540aecbb062736f9d2350406.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Rng (algebra) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)