Рнг (алгебра)
Алгебраические структуры |
---|
В математике , а точнее в абстрактной алгебре , гСГ (или неединичное кольцо или псевдокольцо ) — это алгебраическая структура, удовлетворяющая тем же свойствам, что и кольцо , но без предположения существования мультипликативного тождества . Термин rng (IPA: / r ʌ ŋ / ) предполагает, что это кольцо без i , то есть без требования к единичному элементу. [1]
В сообществе нет единого мнения относительно того, должно ли существование мультипликативной идентичности быть одной из аксиом кольца (см. Кольцо (математика) § История ). Термин rng был придуман, чтобы смягчить эту двусмысленность, когда люди хотят явно ссылаться на кольцо без аксиомы мультипликативной идентичности.
Ряд алгебр функций, рассматриваемых в анализе, не являются единичными, например алгебра функций, убывающих к нулю на бесконечности, особенно имеющих компактный носитель на некотором (некомпактном ) пространстве.
Определение
[ редактировать ]Формально гСГ — это набор R с двумя двоичными операциями (+, ·), называемыми сложением и умножением, такими, что
- ( R , +) — абелева группа ,
- ( R , ·) — полугруппа ,
- Умножение распределяет над сложением.
Гомоморфизм rng — это функция f : R → S, переводящая из одного rng в другой, такая, что
- ж ( Икс + у ) знак равно ж ( Икс ) + ж ( у )
- ж ( Икс · y ) знак равно ж ( Икс ) · ж ( y )
для всех x и y в R .
Если R и S — кольца, то гомоморфизм колец R → S — это то же самое, что гомоморфизм rng R → S , который отображает 1 в 1.
Примеры
[ редактировать ]Все кольца - это кольца. Простой пример кольца, не являющегося кольцом, — это четные целые числа с обычным сложением и умножением целых чисел. 3х3, Другой пример дан набор всех действительных матриц нижняя строка которых равна нулю. Оба эти примера являются примерами того общего факта, что каждый (одно- или двусторонний) идеал является кольцом.
Rngs часто естественным образом появляются в функциональном анализе , когда линейные операторы в бесконечномерных векторных пространствах рассматриваются . Возьмем, к примеру, любое бесконечномерное векторное пространство V и рассмотрим множество всех линейных операторов f : V → V с конечным рангом (т. е. dim f ( V ) < ∞ ). Вместе со сложением и композицией операторов это кольцо, а не кольцо. Другой пример — поиск всех вещественных последовательностей , сходящихся к 0, с помощью покомпонентных операций.
Кроме того, многие тестовых функций пространства , встречающиеся в теории распределений, состоят из функцийубывающее до нуля на бесконечности, как, например, пространство Шварца . Таким образом, функция, всюду равная единице, которая была бы единственно возможным единичным элементом для поточечного умножения, не может существовать в таких пространствах, которые, следовательно, являются кольцами (для поточечного сложения и умножения). В частности, вещественнозначные непрерывные функции с компактным носителем, определенные на некотором топологическом пространстве , вместе с поточечным сложением и умножением образуют кольцо; это не кольцо, если лежащее в его основе пространство не компактно .
Пример: четные целые числа
[ редактировать ]Множество 2 Z четных целых чисел замкнуто относительно сложения и умножения и имеет аддитивную единицу 0, поэтому это кольцо, но не имеет мультипликативной идентичности, поэтому не является кольцом.
В 2 Z единственный мультипликативный идемпотент равен 0, единственный нильпотент равен 0 и единственный элемент с рефлексивным обратным равен 0.
Пример: конечные пятеричные последовательности
[ редактировать ]Прямая сумма оснащенная покоординатным сложением и умножением, представляет собой цепь со следующими свойствами:
- Его идемпотентные элементы образуют решетку без верхней границы.
- Каждый элемент x имеет рефлексивный обратный , а именно элемент y такой, что xyx = x и yxy = y .
- Для каждого конечного подмножества , существует идемпотент в который действует как идентификатор для всего подмножества: последовательность с единицей в каждой позиции, где последовательность в подмножестве имеет ненулевой элемент в этой позиции и ноль в каждой другой позиции.
Характеристики
[ редактировать ]- Идеалы, факторкольца и модули могут быть определены для rng таким же образом, как и для колец.
- Однако работа с кольцами вместо колец усложняет некоторые связанные определения. Например, в кольце R левый идеал ( f ), порожденный элементом f , определяемым как наименьший левый идеал, содержащий f , — это просто Rf , но если R — это всего лишь rng, то Rf может не содержать f , поэтому вместо этого
где nf необходимо интерпретировать с использованием повторного сложения/вычитания, поскольку n не обязательно представляет элемент R . Аналогично, левый идеал, порожденный элементами f 1 , ..., f m кольца R, равен
формула, восходящая к Эмми Нётер . [2] Аналогичные сложности возникают при определении подмодуля , порожденного набором элементов модуля. - Некоторые теоремы для колец неверны для rng. Например, в кольце каждый собственный идеал содержится в максимальном идеале , поэтому ненулевое кольцо всегда имеет хотя бы один максимальный идеал. Оба эти утверждения неверны для rng.
- Гомоморфизм rng f : R → S отображает любой идемпотентный элемент в идемпотентный элемент.
- Если f : R → S — гомоморфизм г. кольца из кольца в г. п. и образ f содержит неделитель нуля S , то S — кольцо, а f — кольцевой гомоморфизм.
Присоединение элемента идентификации (расширение Дорро)
[ редактировать ]Каждую градусу R можно расширить до кольца R ^ присоединением единичного элемента. Общий способ сделать это — формально добавить единичный элемент 1 и позволить R ^ состоять из целых линейных комбинаций 1 и элементов R с предпосылкой, что ни одно из его ненулевых целых кратных не совпадает или не содержится в R . То есть элементы R ^ имеют вид
где n — число и r ∈ R. целое Умножение определяется линейностью:
Более формально, мы можем взять R ^ в качестве декартова произведения Z × R и определить сложение и умножение как
мультипликативная идентичность R Тогда ^ равна (1, 0) . Существует естественный гомоморфизм случайных чисел j : R → R ^, определяемый формулой j ( r ) = (0, r ) . Эта карта обладает следующим универсальным свойством :
Карта g может быть определена как g ( n , r ) знак равно n · 1 S + f ( r ) .
Существует естественный сюръективный гомоморфизм колец R ^ → Z , который переводит ( n , r ) в n . Ядром . этого гомоморфизма является образ R в R ^ Поскольку j инъективен R , мы видим, что вложено как (двусторонний) идеал в R ^ с фактор-кольцом R ^/ R, изоморфным Z . Отсюда следует, что
Обратите внимание, что j никогда не является сюръективным. Таким образом, даже если R уже имеет единичный элемент, кольцо R ^ будет более крупным и с другой единицей. Кольцо R ^ часто называют расширением Дорро кольца R в честь американского математика Джо Ли Дорро, который первым его построил.
Процесс присоединения единичного элемента к группе можно сформулировать на языке теории категорий . Если мы обозначим категорию всех колец и гомоморфизмов колец через Ring , а категорию всех rng и гомоморфизмов rng через , то Ring будет (неполной) подкатегорией Rng Rng . конструкция R Приведенная выше ^ дает левый сопряженный функтору включения I : Ring → Rng . Обратите внимание, что Ring не является отражающей подкатегорией Rng , поскольку функтор включения не является полным.
Свойства слабее, чем наличие идентичности
[ редактировать ]В литературе рассматривалось несколько свойств, которые слабее, чем наличие элемента идентичности, но не столь общие. Например:
- Кольца с достаточным количеством идемпотентов: кольцо R называется кольцом с достаточным количеством идемпотентов, если существует подмножество E кольца R, заданное ортогональными (т. е. ef = 0 для всех e ≠ f в E ) идемпотентами (т. е . e 2 = e для всех e в E ) таких, что R знак равно ⊕ e ∈ E eR = ⊕ e ∈ E Re .
- Кольца с локальными единицами: Говорят, что кольцо Rng R является кольцом с локальными единицами в случае, если для каждого конечного множества r 1 , r 2 , ..., r t в R мы можем найти e в R такое, что e 2 знак равно е и эр я знак равно р я знак равно р я е для каждого я .
- s -единичные кольца: A rng R называется s любого конечного множества r 1 , r 2 , ..., r t в R мы можем найти s в R такое, что sr i = ri r = -унитальным в случае, если для я я для каждого .
- Твердые кольца: кольцо R называется твердым, если канонический гомоморфизм R ⊗ R R → R , заданный формулой r ⊗ s ↦ rs, является изоморфизмом.
- Идемпотентные кольца: кольцо R называется идемпотентным (или кольцом) в случае, если R 2 = R , то есть для каждого элемента r из R мы можем найти элементы r i и s i в R такие, что .
Нетрудно проверить, что эти свойства слабее, чем наличие единичного элемента, и слабее предыдущего.
- Кольца — это кольца с достаточным количеством идемпотентов, используя E = {1}. Кольцо с достаточным количеством идемпотентов, не имеющее единицы, — это, например, кольцо бесконечных матриц над полем с конечным числом ненулевых элементов. Матрицы, у которых только один элемент на главной диагонали равен 1, а в противном случае — 0, являются ортогональными идемпотентами.
- Кольца с достаточным количеством идемпотентов — это кольца с локальными единицами, которые просто принимают конечные суммы ортогональных идемпотентов, чтобы удовлетворить определению.
- Кольца с локальными единицами, в частности, s -унитальны; s- унитальные кольца твердые, а твердые кольца идемпотентны.
Кольцо квадратного нуля
[ редактировать ]ГСЧ с квадратным нулем — это гСГ R такая, что = 0 для всех x и y в R. xy [3] Любую абелеву группу можно превратить в цепь квадратного нуля, задав умножение так, чтобы xy = 0 для всех x и y ; [4] таким образом, каждая абелева группа является аддитивной группой некоторого кольца.Единственная цепь квадратного нуля с мультипликативным тождеством — это нулевое кольцо {0}. [4]
Любая аддитивная подгруппа кольца квадратного нуля является идеалом . Таким образом, группа квадратного нуля является простой тогда и только тогда, когда ее аддитивная группа является простой абелевой группой, т. е. циклической группой простого порядка. [5]
Единичный гомоморфизм
[ редактировать ]Учитывая две алгебры с единицей A и B алгебры , гомоморфизм
является унитарным , если он отображает единичный элемент A в единичный элемент B .
Если ассоциативная алгебра A над полем K не едина , к единичному элементу можно присоединить следующим образом: взять A × K в качестве основного K векторного пространства и определить умножение ∗ на
для x , y в A и r , s в K. Тогда ∗ — ассоциативная операция с единичным элементом (0, 1) . Старая алгебра A содержится в новой, и фактически A × K — «наиболее общая» алгебра с единицей, содержащая A , в смысле универсальных конструкций .
См. также
[ редактировать ]Цитаты
[ редактировать ]- ^ Джейкобсон (1989) , стр. 155–156
- ^ Нётер (1921) , с. 30, §1.2
- ^ См. Бурбаки (1998) , с. 102, где оно названо псевдокольцом квадратного нуля. Некоторые другие авторы используют термин «нулевое кольцо» для обозначения любого кольца квадратного нуля; см., например, Селе (1949) и Крейнович (1995) .
- ^ Перейти обратно: а б Бурбаки (1998) , с. 102
- ^ Зариски и Сэмюэл (1958) , стр. 133
Ссылки
[ редактировать ]- Бурбаки, Н. (1998). Алгебра I, главы 1–3 . Спрингер.
- Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2003). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-43334-7 .
- Дорро, Дж. Л. (1932). «О дополнениях к алгебрам» . Бык. амер. Математика. Соц . 38 (2): 85–88. дои : 10.1090/S0002-9904-1932-05333-2 .
- Джейкобсон, Натан (1989). Основная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1480-9 .
- Крейнович, В. (1995). «Если полиномиальное тождество гарантирует, что каждый частичный порядок в кольце может быть расширен, то это тождество верно только для нулевого кольца». Алгебра Универсалис . 33 (2): 237–242. дои : 10.1007/BF01190935 . МР 1318988 . S2CID 122388143 .
- Херштейн, Индиана (1996). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-36879-3 .
- МакКриммон, Кевин (2004). Немного о йордановых алгебрах . Спрингер. ISBN 978-0-387-95447-9 .
- Нётер, Эмми (1921). «Идеальная теория в кольцевых областях» [Идеальная теория в кольцах]. Математические анналы (на немецком языке). 83 (1–2): 24–66. дои : 10.1007/BF01464225 . S2CID 121594471 .
- Селе, Тибор (1949). «Zur Theory der Zeroringe». Математические Аннален . 121 : 242–246. дои : 10.1007/bf01329628 . МР 0033822 . S2CID 122196446 .
- Зариский, Оскар; Самуэль, Пьер (1958). Коммутативная алгебра . Том. 1. Ван Ностранд.