Кватернион Гурвица

В математике кватернион Гурвица кватернион (или целое число Гурвица ) — это , компонентами которого являются либо все целые числа , либо все полуцелые числа (половинки нечетных целых чисел; смесь целых и полуцелых чисел исключается). Набор всех кватернионов Гурвица равен

$H=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \;{\mbox{ or }}\,a,b,c,d\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right\}.$

То есть либо a , b , c , d — целые числа, либо все они — полуцелые числа. H замкнуто относительно умножения и сложения кватернионов, что делает его кольца всех подкольцом кватернионов H . Кватернионы Гурвица были введены Адольфом Гурвицем ( 1919 ).

( Кватернион Липшица или целое число Липшица ) — это кватернион, все компоненты которого являются целыми числами. Набор всех липшицевых кватернионов

$L=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \right\}$

образует подкольцо кватернионов Гурвица H . Целые числа Гурвица имеют преимущество перед целыми числами Липшица в том, что на них можно выполнить евклидово деление , получив небольшой остаток.

И кватернионы Гурвица, и Липшица являются примерами некоммутативных областей , которые не являются телами .

Структура кольца кватернионов Гурвица

24 кватернионных элемента бинарной тетраэдрической группы , видимые в проекции:

• 1 заказ-1 :1
• 1 порядок-2 : −1
• 6 порядок-4 : ± i , ± j , ± k
• 8 порядок-6 : (+1± i ± j ± k )/2
• 8 порядок-3 : (−1± i ± j ± k )/2

Как аддитивная группа H , является свободной абелевой группой с образующими {(1 + i + j + k )/2, i . j , k } Поэтому он образует решетку в R ⁴ . Эта решетка известна как F ₄ решетка , поскольку она является корневой решеткой полупростой алгебры Ли F ₄ . Кватернионы Липшица L образуют подрешетку индекса 2 решетки H .

Группа единиц в L представляет собой порядка восьмого группу кватернионов Q = {±1, ± i , ± j , ± k }. Группа единиц в H представляет собой неабелеву группу 24-го порядка, известную как бинарная тетраэдрическая группа . Элементы этой группы включают 8 элементов Q и 16 кватернионов {(±1 ± i ± j ± k )/2}, где знаки могут приниматься в любой комбинации. Группа кватернионов является нормальной подгруппой бинарной тетраэдрической группы U( H ). Элементы U( H ), все которые имеют норму 1, образуют вершины 24-клетки , вписанной в 3-сферу .

Кватернионы Гурвица образуют порядок (в смысле теории колец ) в теле кватернионов с рациональными компонентами. Фактически это максимальный порядок ; этим объясняется его важность. Кватернионы Липшица, которые являются более очевидным кандидатом на идею целого кватерниона , также образуют порядок. Однако этот последний порядок не является максимальным и поэтому (как оказывается) менее пригоден для разработки теории левых идеалов , сравнимой с теорией алгебраических чисел . Таким образом, Адольф Гурвиц понял, что с этим определением интегрального кватерниона Гурвица лучше работать. Для некоммутативного кольца, такого как H , максимальные порядки не обязательно должны быть уникальными, поэтому необходимо зафиксировать максимальный порядок, перенося концепцию целого алгебраического числа .

Решетка кватернионов Гурвица

Норма (арифметическая или полевая) кватерниона Гурвица a + bi + cj + dk , заданная формулой a ² + б ² + с ² + д ² , всегда является целым числом. По теореме Лагранжа каждое неотрицательное целое число можно представить в виде суммы не более четырех квадратов . Таким образом, каждое неотрицательное целое число является нормой некоторого липшицева (или гурвицевого) кватерниона. Точнее, число c ( n ) кватернионов Гурвица данной положительной нормы n в 24 раза превышает сумму нечетных делителей числа n . Производящая функция чисел c ( n ) задается модульной формой веса 2 уровня 2.

$2E_{2}(2\tau )-E_{2}(\tau )=\sum _{n}c(n)q^{n}=1+24q+24q^{2}+96q^{3}+24q^{4}+144q^{5}+\dots$ ОЭИС : A004011

где

$q=e^{2\pi i\tau }$

и

$E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n}\sigma _{1}(n)q^{n}$

уровня 1 с весом 2 — ряд Эйзенштейна (который является квазимодулярной формой ), а σ ₁ ( n ) — сумма делителей n .

Факторизация на неприводимые элементы

Целое число Гурвица называется неприводимым, если оно не равно 0 или единице и не является произведением неединиц. Целое число Гурвица неприводимо тогда и только тогда, когда его норма является простым числом . Неприводимые кватернионы иногда называют простыми кватернионами, но это может ввести в заблуждение, поскольку они не являются простыми числами в обычном смысле коммутативной алгебры : неприводимый кватернион может разделить произведение ab, не разделяя ни a, ни b . Каждый кватернион Гурвица можно разложить на множители как произведение неприводимых кватернионов. Эта факторизация, вообще говоря, не является уникальной, даже с точностью до единиц и порядка, потому что положительное нечетное простое число p можно записать 24 ( p +1) способами как произведение двух неприводимых кватернионов Гурвица нормы p , а для больших p они не могут быть записаны. все они эквивалентны при левом и правом умножении на единицы, поскольку единиц всего 24. Однако если исключить этот случай, то существует вариант однозначной факторизации. Точнее, каждый кватернион Гурвица можно однозначно записать как произведение положительного целого числа и примитивного кватерниона (кватернион Гурвица не делится ни на одно целое число, большее 1). Факторизация примитивного кватерниона на неприводимые единственна с точностью до порядка и единиц в следующем смысле: если

п ₀ п ₁ ... п _н

и

q ₀ q ₁ ... q _н

являются двумя факторизациями некоторого примитивного кватерниона Гурвица в неприводимые кватернионы, где pk _qk имеет ту же норму, что и всех _для k , тогда

${\begin{aligned}q_{0}&=p_{0}u_{1}\\q_{1}&=u_{1}^{-1}p_{1}u_{2}\\&\,\,\,\vdots \\q_{n}&=u_{n}^{-1}p_{n}\end{aligned}}$

для некоторых единиц u _k .

Деление с остатком

Обычные целые числа и целые числа Гаусса допускают деление с остатком или евклидово деление .

Для положительных целых чисел N и D всегда существует частное Q и неотрицательный остаток R такие, что

• N = QD + R где R < D. ,

Для комплексных или гауссовых целых чисел N = a + i b и D = c + i d с нормой N( D ) > 0 всегда существуют Q = p + i q и R = r + i s такие, что

• N = QD + R , где N( R ) < N( D ).

Однако для целых липшицевых чисел N = ( a , b , c , d ) и D = ( e , f , g , h ) может случиться так, что N( R ) = N( D ). условие N( R ) < N( D ). Это побудило перейти к целым числам Гурвица, для которых гарантировано

Многие алгоритмы зависят от деления с остатком, например, алгоритм Евклида для наибольшего общего делителя .

См. также

• Гауссово целое число
• целое число Эйзенштейна
• Икосианцы ​
• Группа Ли F ₄
• Е ​ ₈ Решетка

Ссылки

• Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия . АК Петерс. ISBN  1-56881-134-9 .
• Гурвиц, Адольф (2013) [1919]. Лекции по теории чисел кватернионов . Издательство Спрингер. ISBN  978-3-642-47536-8 . ЯФМ   47.0106.01 .