икосийский

В математике икосианы представляют собой особый набор гамильтоновых кватернионов с той же симметрией, что и 600-ячеечный . Этот термин можно использовать для обозначения двух связанных, но различных понятий:

Икосианская . группа : мультипликативная группа из 120 кватернионов, расположенных в вершинах 600-ячейки единичного радиуса Эта группа изоморфна икосаэдра бинарной группе порядка 120 .
Икосианское кольцо : все конечные суммы 120 единичных икосианов.

Единичные икосианы

Все 120 единичных икосианов, образующих икосианскую группу, представляют собой четные перестановки :

8 икосианов вида ½(±2, 0, 0, 0)
16 икосианов формы ½(±1, ±1, ±1, ±1)
96 икосианов формы ½(0, ±1, ±1 /φ , ± φ )

В этом случае вектор ( a , b , c , d ) относится к кватерниону a + b i + c j + d k , а φ представляет собой золотое сечение ( √ 5 + 1)/2. Эти 120 векторов образуют корневую систему H4 с группой Вейля порядка 14400. В дополнение к 120 единичным икосианам, образующим вершины 600-ячейки, 600 икосианов нормы 2 образуют вершины 120-ячейки . Другие подгруппы икосианцев соответствуют тессеракту , 16-клеточному и 24-клеточному .

Икосианское кольцо

Икосианы лежат в золотом поле , ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , где восемь переменных являются рациональными числами. . Этот кватернион является икосианом только в том случае, если вектор ( a , b , c , d , e , f , g , h ) является точкой на решетке L , которая изоморфна решетке E8 .

Точнее, норма кватернионов вышеуказанного элемента равна ( a + b √ 5 ) ² + ( c + d √ 5 ) ² + ( е + ж √ 5 ) ² + ( г + час √ 5 ) ². Его евклидова норма определяется как u + v , если норма кватерниона равна u + v √ 5 . Эта евклидова норма определяет квадратичную форму на L , при которой решетка изоморфна решетке E8 .

Эта конструкция показывает, что группа Кокстера $H_{4}$ встраивается как подгруппа $E_{8}$ . Действительно, линейный изоморфизм, сохраняющий норму кватернионов, сохраняет и евклидову норму.

Ссылки

Джон Х. Конвей , Нил Слоан : Сферические упаковки, решетки и группы (2-е издание)
Джон Х. Конвей, Хайди Бургель , Хаим Гудман-Штраус : Симметрии вещей (2008)
Франс Марселис Икосианс и ADE. Архивировано 7 июня 2011 г. в Wayback Machine.
Адам П. Гучер Хорошие идеи