Бесплатный объект

В математике идея свободного объекта является одним из основных понятий абстрактной алгебры . Неформально, свободный объект над множеством A можно рассматривать как «общую» алгебраическую структуру над A : единственные уравнения, которые выполняются между элементами свободного объекта, - это те, которые следуют из определяющих аксиом алгебраической структуры. Примеры включают свободные группы , тензорные алгебры или свободные решетки .

Это понятие является частью универсальной алгебры в том смысле, что оно относится ко всем типам алгебраических структур (с финитными операциями). У него также есть формулировка в терминах теории категорий , хотя и в еще более абстрактных терминах.

Определение

Свободные объекты являются прямым обобщением на категории понятия базиса в векторном пространстве. Линейная функция $u : E 1 \to E 2$ между векторными пространствами полностью определяется своими значениями на основе векторного пространства $E 1 .$ Следующее определение переводит это в любую категорию.

Конкретная категория — это категория, снабженная точным функтором для Set , категории множеств . Пусть $C$ — конкретная категория с точным функтором $U : C \to Set$ . Пусть $X$ — набор (то есть объект в Set ), который будет основой определяемого свободного объекта. на Свободный объект X $—$ это пара, состоящая из объекта $A$ в $C$ и инъекцию $i:X\to U(A)$ (так называемая каноническая инъекция ), которая удовлетворяет следующему универсальному свойству :

Для любого объекта

B

в

C

и любого отображения между множествами

g:X\to U(B)

, существует единственный морфизм

f:A\to B

в

C

такой, что

g=U(f)\circ i

. То есть следующая диаграмма коммутирует:

Если свободные объекты существуют в $C$ , свойство универсальности подразумевает, что каждое отображение между двумя множествами вызывает уникальный морфизм между построенными на них свободными объектами, и это определяет функтор $F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C}$ . Отсюда следует, что если в $C$ существуют свободные объекты , то функтор $F$ , называемый свободным функтором , является левым сопряженным к точному функтору $U$ ; то есть существует биекция

\operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,U(B))\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(F(X),B).

Примеры

Создание свободных объектов происходит в два этапа. Для алгебр, которые подчиняются закону ассоциативности , первым шагом является рассмотрение совокупности всех возможных слов, образованных из алфавита . Затем к словам налагается набор отношений эквивалентности , где эти отношения являются определяющими отношениями рассматриваемого алгебраического объекта. Тогда свободный объект состоит из набора классов эквивалентности .

Рассмотрим, например, построение свободной группы в двух образующих . Начинается с алфавита, состоящего из пяти букв. $\{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}$ . На первом этапе «буквам» еще не присвоено какое-либо значение. $a^{-1}$ или $b^{-1}$ ; они будут даны позже, на втором этапе. Таким образом, с таким же успехом можно было бы начать с алфавита из пяти букв, то есть $S=\{a,b,c,d,e\}$ . В этом примере набор всех слов или строк $W(S)$ будет включать в себя такие строки, как aebecede и abdc и т. д., произвольной конечной длины, с буквами, расположенными во всех возможных порядках.

На следующем этапе вводится набор отношений эквивалентности. Отношения эквивалентности для группы — это отношения умножения на единицу, $ge=eg=g$ , и умножение обратных: $gg^{-1}=g^{-1}g=e$ . Применяя эти отношения к приведенным выше строкам, получаем

aebecede=aba^{-1}b^{-1},

где это было понятно $c$ является заменой $a^{-1}$ , и $d$ является заменой $b^{-1}$ , пока $e$ является элементом идентичности. Аналогично, у человека есть

abdc=abb^{-1}a^{-1}=e.

Обозначая отношение эквивалентности или конгруэнтность через $\sim$ тогда свободный объект представляет собой набор классов эквивалентности слов. Таким образом, в этом примере свободная группа в двух образующих — это фактор

F_{2}=W(S)/\sim .

Часто это пишут как $F_{2}=W(S)/E$ где $W(S)=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}$ представляет собой набор всех слов, и $E=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;e=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,;\,a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}$ является классом эквивалентности тождества после наложения отношений, определяющих группу.

Более простой пример — свободные моноиды . Свободный моноид на множестве X — это моноид всех конечных строк, использующих X в качестве алфавита, с операцией конкатенации строк. Идентичность – это пустая строка. По сути, свободный моноид — это просто набор всех слов без каких-либо наложенных отношений эквивалентности. Этот пример получил дальнейшее развитие в статье о звезде Клини .

Общий случай

В общем случае алгебраические отношения не обязательно должны быть ассоциативными, и в этом случае отправной точкой является не набор всех слов, а, скорее, строки, акцентированные круглыми скобками, которые используются для обозначения неассоциативных группировок букв. Такая строка может быть эквивалентно представлена двоичным деревом или свободной магмой ; листья дерева — это буквы алфавита.

Тогда алгебраические отношения могут быть общими арностями или финитными отношениями на листьях дерева. Вместо того, чтобы начинать со сбора всех возможных строк в скобках, может быть удобнее начать с вселенной Herbrand . Правильное описание или перечисление содержимого свободного объекта может быть простым или трудным, в зависимости от конкретного рассматриваемого алгебраического объекта. Например, легко описывается свободная группа в двух образующих. Напротив, о структуре свободных гейтинговых алгебр с более чем одним генератором известно мало или совсем ничего. ^[1] Проблема определения принадлежности двух разных строк одному и тому же классу эквивалентности известна как проблема слов .

Как показывают примеры, свободные объекты выглядят как конструкции из синтаксиса ; можно в некоторой степени изменить это мнение, сказав, что основные варианты использования синтаксиса можно объяснить и охарактеризовать как свободные объекты, что делает явно тяжелую «пунктуацию» объяснимой (и более запоминающейся). ^{[ нужны разъяснения ]}

Бесплатные универсальные алгебры

Позволять $S$ быть любым множеством, и пусть $\mathbf {A}$ быть алгебраической структурой типа $\rho$ созданный $S$ . Пусть базовый набор этой алгебраической структуры $\mathbf {A}$ , иногда называемая его вселенной, $A$ , и пусть $\psi \colon S\to A$ быть функцией. Мы говорим, что $(A,\psi )$ (или неофициально просто $\mathbf {A}$ ) — свободная алгебра (типа $\rho$ ) на съемочной площадке $S$ свободных образующих , если для любой алгебры $\mathbf {B}$ типа $\rho$ и каждая функция $\tau \colon S\to B$ , где $B$ это вселенная $\mathbf {B}$ , существует единственный гомоморфизм $\sigma \colon A\to B$ такой, что $\sigma \circ \psi =\tau .$

Свободный функтор

Наиболее общая установка свободного объекта находится в теории категорий , где определяется функтор , свободный функтор , который является левым сопряженным функтору забывчивости .

Рассмотрим категорию C алгебраических структур ; объекты можно рассматривать как множества плюс операции, подчиняющиеся некоторым законам. Эта категория имеет функтор $U:\mathbf {C} \to \mathbf {Set}$ , функтор забывчивости , который отображает объекты и функции в C в Set , категорию множеств . Функтор забывчивости очень прост: он просто игнорирует все операции.

Свободный функтор F он существует, является левым сопряженным к U. , если То есть, $F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C}$ переводит множества X в Set в соответствующие им свободные объекты F ( X в категории C. ) Множество X можно рассматривать как множество «генераторов» свободного объекта F ( X ).

Чтобы свободный функтор был левым сопряженным, необходимо также иметь Set -морфизм $\eta _{X}:X\to U(F(X))\,\!$ . Более явно, F с точностью до изоморфизмов в C характеризуется следующим универсальным свойством :

Всякий раз, когда

B

является алгеброй в

C

и

g\colon X\to U(B)

является функцией (морфизмом в категории множеств), то существует единственный

C

-морфизм

f\colon F(X)\to B

такой, что

g=U(f)\circ \eta _{X}

.

Конкретно, это отправляет набор в свободный объект этого набора; это «включение основы». Злоупотребление обозначениями, $X\to F(X)$ (это неправильное обозначение, поскольку X — множество, а F ( X ) — алгебра; правильно, это $X\to U(F(X))$ ).

Естественная трансформация $\eta :\operatorname {id} _{\mathbf {Set} }\to UF$ называется единицей ; вместе с блоком $\varepsilon :FU\to \operatorname {id} _{\mathbf {C} }$ , можно построить Т-алгебру и, следовательно, монаду .

Косвободный функтор является правым сопряженным функтору забывчивости.

Существование

Существуют общие теоремы существования, которые применимы; самый основной из них гарантирует, что

Если C — многообразие , то для каждого множества X существует свободный объект F ( X в C. )

Здесь разнообразие является синонимом финитарной алгебраической категории , что подразумевает, что набор отношений является финитным и алгебраическим , поскольку он монадичен над Set .

Общий случай

Другие типы забывчивости также порождают объекты, подобные свободным объектам, в том смысле, что они остаются присоединенными к функтору забывания, а не обязательно к множествам.

Например, конструкция тензорной алгебры в векторном пространстве является левым сопряжением функтора на ассоциативных алгебрах , который игнорирует структуру алгебры. Поэтому ее часто еще называют свободной алгеброй . Аналогично симметрическая алгебра и внешняя алгебра являются свободными симметрическими и антисимметричными алгебрами в векторном пространстве.

Список бесплатных объектов

К конкретным видам бесплатных объектов относятся:

См. также

Генераторная установка

Примечания

^ Питер Т. Джонстон, Stone Spaces , (1982) Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-23893-5 . (Рассмотрение одногенераторной свободной алгебры Гейтинга дано в главе 1, раздел 4.11)

Внешние ссылки

В nLab : свободный функтор , свободный объект , векторное пространство.

[1] Питер Т. Джонстон, Stone Spaces , (1982) Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-23893-5 . (Рассмотрение одногенераторной свободной алгебры Гейтинга дано в главе 1, раздел 4.11)

[1]