Разнообразие (универсальная алгебра)

О наборе решений системы полиномиальных уравнений см. Алгебраическое многообразие .

В универсальной алгебре разновидность алгебр или эквациональный класс — это класс всех алгебраических структур данной сигнатуры, удовлетворяющих данному набору тождеств . Например, группы образуют множество алгебр, как и абелевы группы , кольца , моноиды и т. д. Согласно теореме Биркгофа , класс алгебраических структур одной и той же сигнатуры является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятие гомоморфных образов, подалгебр и (прямых) произведений . В контексте теории категорий множество алгебр вместе со своими гомоморфизмами образуют категорию ; их обычно называют финитарными алгебраическими категориями .

Комногообразие — это класс всех коалгебраических структур данной сигнатуры.

Терминология

Разновидность алгебр не следует путать с алгебраическим многообразием , под которым понимается совокупность решений системы полиномиальных уравнений . Формально они весьма различны, и их теории имеют мало общего.

Термин «многообразие алгебр» относится к алгебрам в общем смысле универсальной алгебры ; существует также более конкретный смысл алгебры, а именно как алгебра над полем , т. е. векторным пространством, снабженным билинейным умножением.

Определение

Подпись , каждой из (в данном контексте) — это набор, элементы которого называются операциями которых присвоено натуральное число (0, 1, 2,...), называемое ее арностью . Учитывая сигнатуру σ и набор V , элементы которого называются переменными , слово представляет собой конечное корневое дерево, в котором каждый узел помечен либо переменной, либо операцией, так что каждый узел, помеченный переменной, не имеет ветвей, выходящих за пределы root, и каждый узел, помеченный операцией o, имеет столько ветвей от корня, сколько арность o . Эквациональный закон — это пара таких слов; аксиома, состоящая из слов v и w, записывается как v = w .

Теория состоит из сигнатуры , набора переменных и набора эквациональных законов. Любая теория дает следующие разновидности алгебр. Учитывая теорию T , алгебра T A множества A вместе с для каждой операции o из T с арностью n функцией o _A : состоит из ^н → A такой, что для каждой аксиомы v = w и каждого присвоения элементов A переменным в этой аксиоме выполняется уравнение, полученное путем применения операций к элементам A, как указано деревьями, определяющими v и w . Класс алгебр данной теории Т называется многообразием алгебр .

Для двух алгебр теории T , скажем A и B , гомоморфизмом называется функция f : A → B такая, что

$f(o_{A}(a_{1},\dots ,a_{n}))=o_{B}(f(a_{1}),\dots ,f(a_{n}))$

для каждой операции o арности n . Любая теория дает категорию , объектами которой являются алгебры этой теории, а морфизмы — гомоморфизмы.

Примеры

Класс всех полугрупп образует множество алгебр сигнатуры (2), что означает, что полугруппа имеет одну бинарную операцию. Достаточным определяющим уравнением является ассоциативный закон:

$x(yz)=(xy)z.$

Класс групп образует множество алгебр сигнатуры (2,0,1), причем тремя операциями являются соответственно умножение (двоичное), тождество (нулевое, константа) и инверсия (унарное). Знакомые аксиомы ассоциативности, тождества и инверсии образуют один подходящий набор тождеств:

$x(yz)=(xy)z$

$1x=x1=x$

$xx^{-1}=x^{-1}x=1.$

Класс колец также образует разновидность алгебр. Сигнатура здесь — (2,2,0,0,1) (две бинарные операции, две константы и одна унарная операция).

Если мы зафиксируем конкретное кольцо R , то сможем рассмотреть класс левых R -модулей . Чтобы выразить скалярное умножение элементов из R одна унарная операция для каждого элемента R. , нам нужна Если кольцо бесконечно, то у нас будет бесконечно много операций, что допускается определением алгебраической структуры в универсальной алгебре. Тогда нам также понадобится бесконечное число тождеств для выражения аксиом модулей, что допускается определением множества алгебр. Таким образом, левые R -модули действительно образуют множество алгебр.

Поля ; не образуют множества алгебр требование, чтобы все ненулевые элементы были обратимыми, не может быть выражено как универсально удовлетворяемое тождество (см. ниже).

Сокращающиеся полугруппы также не образуют разновидностей алгебр, поскольку свойство сокращения не является уравнением, а является импликацией, не эквивалентной никакому набору уравнений. Однако они образуют квазимногообразие , поскольку импликация, определяющая свойство отмены, является примером квазитождества .

Теорема Биркгофа о многообразии

Учитывая класс алгебраических структур одной и той же сигнатуры, мы можем определить понятия гомоморфизма, подалгебры и произведения . Гаррет Биркгоф доказал, что класс алгебраических структур одной сигнатуры является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и произвольных произведений. Это результат фундаментальной важности для универсальной алгебры, известный как теорема Биркгофа о многообразии или теорема HSP . H , S и P обозначают соответственно операции гомоморфизма, подалгебры и произведения.

Одно направление упомянутой выше эквивалентности, а именно то, что класс алгебр, удовлетворяющих некоторому набору тождеств, должен быть замкнутым относительно операций HSP, непосредственно следует из определений. Доказать обратное — классы алгебр, замкнутые относительно операций HSP, должны быть эквационными — труднее.

Используя простое направление теоремы Биркгофа, мы можем, например, проверить сделанное выше утверждение о том, что аксиомы полей не выражаются никаким возможным набором тождеств: произведение полей не является полем, поэтому поля не образуют многообразия.

Подразновидности

Подмногообразие V многообразия алгебр V — это подкласс V , который имеет ту же сигнатуру, что и , и сам является многообразием, т. е. определяется набором тождеств.

Обратите внимание: хотя каждая группа становится полугруппой, если опустить тождество как константу (и/или опустить обратную операцию), класс групп не образует подмногообразие многообразия полугрупп, поскольку сигнатуры различны.Аналогично класс полугрупп, являющихся группами, не является подмногообразием многообразия полугрупп. Класс моноидов, являющихся группами, содержит $\langle \mathbb {Z} ,+\rangle$ и не содержит своей подалгебры (точнее, субмоноида) $\langle \mathbb {N} ,+\rangle$.

Однако класс абелевых групп является подмногообразием многообразия групп, поскольку он состоит из тех групп, для которых xy = yx без изменения сигнатуры. Конечно порожденные абелевы группы не образуют подмногообразия, поскольку по теореме Биркгофа они не образуют многообразия, поскольку произвольное произведение конечно порожденных абелевых групп не является конечно порожденным.

Если рассматривать многообразие V и его гомоморфизмы как категорию , то подмногообразие U в V является полной подкатегорией V a , а это означает, что для любых объектов a , b в U гомоморфизмы от a до b в U являются в точности гомоморфизмами от до b в В. ​

Бесплатные объекты

Предположим, что V — нетривиальное многообразие алгебр, т. е. V содержит алгебры с более чем одним элементом. Можно показать, что для любого множества S многообразие V содержит свободную алгебру _FS на S. Это означает, что существует отображение инъективного множества i : S → FS _, удовлетворяет следующему универсальному свойству : для любой алгебры A в V и любого отображения k : S → A существует единственный V -гомоморфизм f : FS _{которое} → A. такой, что ж ∘ я знак равно k .

Это обобщает понятия свободной группы , свободной абелевой группы , свободной алгебры , свободного модуля и т. д. Следствием этого является то, что каждая алгебра в многообразии является гомоморфным образом свободной алгебры.

Теория категорий

Помимо многообразий, теоретики категорий используют две другие концепции, эквивалентные с точки зрения типов описываемых ими алгебр: финитарные монады и теории Ловера . Мы можем перейти от многообразия к финитной монаде следующим образом. Категория с некоторым разнообразием алгебр в качестве объектов и гомоморфизмами в качестве морфизмов называется финитарной алгебраической категорией . Для любой финитарной алгебраической категории V функтор забывания G : V → Set имеет левый сопряженный F : Set → V , а именно функтор, который присваивает каждому множеству свободную алгебру на этом множестве. Это присоединение является монадическим , что означает, что категория V эквивалентна категории Эйленберга – Мура . ^Т для монады T = GF . монада T финитна Более того , , то есть она коммутирует с отфильтрованными копределами .

Таким образом, монады T : Set → Set достаточно для восстановления финитной алгебраической категории. Действительно, финитарные алгебраические категории — это в точности те категории, которые эквивалентны категориям Эйленберга-Мура финитарных монад. Обе они, в свою очередь, эквивалентны категориям алгебр теорий Лоувера.

Работа с монадами позволяет сделать следующее обобщение. Говорят, что категория является алгебраической категорией, если она монадична над Set . Это более общее понятие, чем «финитарная алгебраическая категория», поскольку оно допускает такие категории, как CABA (полные атомные булевы алгебры) и CSLat (полные полурешетки), сигнатуры которых включают бесконечные операции. В этих двух случаях сигнатура велика, а это означает, что она образует не множество, а собственный класс, поскольку его операции имеют неограниченную арность. Алгебраическая категория сигма-алгебр также имеет бесконечные операции, но их арность счетна, поэтому ее сигнатура мала (образует множество).

Каждая финитарная алгебраическая категория является локально представимой категорией .

Псевдомногообразие конечных алгебр

Поскольку многообразия замкнуты относительно произвольных прямых произведений, все нетривиальные многообразия содержат бесконечные алгебры. Предпринимались попытки разработать финитный аналог теории многообразий. Это привело, например, к понятию многообразия конечных полугрупп . В этом сорте используются только финитарные продукты. Однако он использует более общий вид идентификаторов.

Псевдомногообразие . обычно определяют как класс алгебр заданной сигнатуры, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и финитарных прямых произведений Не каждый автор предполагает, что все алгебры псевдомногообразия конечны; в этом случае иногда говорят о разнообразии конечных алгебр . Для псевдомногообразий не существует общего финитного аналога теоремы Биркгофа, но во многих случаях введение более сложного понятия уравнений позволяет получить аналогичные результаты.

Псевдомногообразия имеют особое значение при изучении конечных полугрупп и, следовательно, в формальной теории языков . Теорема Эйленберга , часто называемая теоремой о многообразии , описывает естественное соответствие между многообразиями регулярных языков и псевдомногообразиями конечных полугрупп.

См. также

• Квазимногообразие

Внешние ссылки

Две монографии доступны бесплатно онлайн:

• Стэнли Н. Беррис и HP Санкаппанавар (1981), Курс универсальной алгебры. Спрингер-Верлаг. ISBN   3-540-90578-2 . [Доказательство теоремы Биркгофа находится в II § 11.]
• Питер Джипсен и Генри Роуз (1992), Разновидности решеток , Конспекты лекций по математике, 1533. Springer Verlag. ISBN   0-387-56314-8 .