Группа Артина-Титса

В математической области теории групп группы Артина , также известные как группы Артина–Титса или обобщенные группы кос , представляют собой семейство бесконечных дискретных групп, определяемых простыми представлениями . Они тесно связаны с группами Кокстера . Примерами являются свободные группы , среди прочего , свободные абелевы группы , , группы кос и прямоугольные группы Артина – Титса.

Группы названы в честь Эмиля Артина из-за его ранних работ над группами кос в 1920-1940-х годах. и Жак Тит , разработавший теорию более общего класса групп в 1960-х годах.

Определение

Презентация Артина – Титса — это групповая презентация. $\langle S\mid R\rangle$ где $S$ представляет собой (обычно конечный) набор образующих и $R$ представляет собой набор отношений Артина–Титса, а именно отношений вида $stst\ldots =tsts\ldots$ для различных $s,t$ в $S$, где обе стороны имеют одинаковую длину и существует не более одного отношения для каждой пары различных образующих $s,t$. Группа Артина–Титса — это группа, допускающая представление Артина–Титса. Аналогично, моноид Артина–Титса — это моноид , который как моноид допускает представление Артина–Титса.

В качестве альтернативы группа Артина – Титса может быть задана набором генераторов. $S$ и для каждого $s,t$ в $S$, натуральное число $m_{s,t}\geqslant 2$ это длина слов $stst\ldots$ и $tsts\ldots$ такой, что $stst\ldots =tsts\ldots$ это отношение, связывающее $s$ и $t$, если таковые имеются. По соглашению ставят $m_{s,t}=\infty$ когда нет отношений $stst\ldots =tsts\ldots$ . Формально, если мы определим $\langle s,t\rangle ^{m}$ для обозначения знакопеременного произведения $s$ и $t$ длины $m$, начиная с $s$ - так что $\langle s,t\rangle ^{2}=st$, $\langle s,t\rangle ^{3}=sts$и т. д. — отношения Артина–Титса принимают вид

$\langle s,t\rangle ^{m_{s,t}}=\langle t,s\rangle ^{m_{t,s}},{\text{ where }}m_{s,t}=m_{t,s}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}.$

Целые числа $m_{s,t}$ может быть организована в симметричную матрицу , известную как матрица Кокстера группы.

Если $\langle S\mid R\rangle$ это презентация Артина-Титса группы Артина-Титса. $A$, частное $A$ получается добавлением соотношения $s^{2}=1$ для каждого $s$ из $R$ является группой Кокстера . И наоборот, если $W$ представляет собой группу Кокстера, представленную размышлениями и отношениями $s^{2}=1$ удалены, полученное таким образом расширение является группой Артина–Титса. Например, группа Коксетера, связанная с $n$Группа двухнитевых кос — это симметрическая группа всех перестановок $\{1,\ldots ,n\}$.

Примеры

• $G=\langle S\mid \emptyset \rangle$ это свободная группа, основанная на $S$; здесь $m_{s,t}=\infty$ для всех $s,t$.
• $G=\langle S\mid \{st=ts\mid s,t\in S\}\rangle$ является свободной абелевой группой, основанной на $S$; здесь $m_{s,t}=2$ для всех $s,t$.
• $G=\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=\sigma _{j}\sigma _{i}\sigma _{j}{\text{ for }}\vert i-j\vert =1,\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\text{ for }}\vert i-j\vert \geqslant 2\rangle$ это группа кос на $n$ пряди; здесь $m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=3$ для $\vert i-j\vert =1$, и $m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=2$ для $\vert i-j\vert >1$.

Общие свойства

Моноиды Артина-Титса подходят для методов Гарсайда, основанных на исследовании их отношений делимости, и хорошо понятны:

• Моноиды Артина-Титса сокращаются и допускают наибольшие общие делители и условные наименьшие общие кратные (наименьшее общее кратное существует всякий раз, когда существует общее кратное).
• Если $A^{+}$ является моноидом Артина–Титса, и если $W$ — ассоциированная группа Кокстера, есть (теоретико-множественный) раздел $\sigma$ из $W$ в $A^{+}$, и каждый элемент $A^{+}$ допускает выделенное разложение как последовательность элементов по образу $\sigma$ («жадная нормальная форма»).

Для общих групп Артина–Титса известно очень мало результатов. В частности, в общем случае остаются открытыми следующие основные вопросы:

– решение задач о словах и сопряжениях , которые предположительно разрешимы,

– определение кручения, которое считается тривиальным,

– определение центра – который предполагается тривиальным или моногенным в случае, когда группа не является прямым продуктом («неприводимый случай»),

– определение когомологий – в частности, решение $K(\pi ,1)$ гипотеза, т. е. нахождение ациклического комплекса, фундаментальная группа которого является рассматриваемой группой.

Частичные результаты, включающие отдельные подсемейства, собраны ниже. Среди немногих известных общих результатов можно отметить:

• Группы Артина–Титса бесконечно счетны.
• В группе Артина-Титса $\langle S\mid R\rangle$, единственное соотношение, связывающее квадраты элементов $s,t$ из $S$ является $s^{2}t^{2}=t^{2}s^{2}$ если $st=ts$ находится в $R$ (Джон Крисп и Луис Пэрис ).
• На каждую презентацию Artin–Tits $\langle S\mid R\rangle$, моноид Артина – Титса, представленный $\langle S\mid R\rangle$ встраивается в группу Артина – Титса, представленную $\langle S\mid R\rangle$ (Париж ).
• Каждый (конечно порожденный) моноид Артина – Титса допускает конечное семейство Гарсайда (Мэттью Дайер и Кристоф Холвег ). Как следствие, существование общих кратных справа в моноидах Артина–Титса разрешимо, а сокращение мультидробей эффективно.

Частные классы групп Артина–Титса

Несколько важных классов групп Артина можно определить с точки зрения свойств матрицы Кокстера.

Группы Артина–Титса сферического типа.

• Говорят, что группа Артина–Титса имеет сферический тип , если связанная с ней группа Кокстера $W$ конечна - следует избегать альтернативной терминологии «группа Артина – Титса конечного типа» из-за ее двусмысленности: «группа конечного типа» - это всего лишь такая группа, которая допускает конечный набор порождающих. Напомним, что известна полная классификация, в которой «неприводимые типы» обозначаются как бесконечные серии. $A_{n}$, $B_{n}$, $D_{n}$, $I_{2}(n)$ и шесть исключительных групп $E_{6}$, $E_{7}$, $E_{8}$, $F_{4}$, $H_{3}$, и $H_{4}$.
• В случае сферической группы Артина – Титса группа представляет собой группу дробей моноида, что значительно упрощает исследование. Для сферических групп Артина–Титса каждая упомянутая задача решается положительно: проблема слов и сопряженности разрешима, их кручение тривиально, в неприводимом случае центр моногенен, когомологии определены ( Пьер Делинь , геометрический методы, Эгберт Брискорн и Кёдзи Сайто , комбинаторными методами. ).
• Чистая группа Артина–Титса сферического типа может быть реализована как фундаментальная группа дополнения конечного расположения гиперплоскостей в $\mathbb {C} ^{n}$.
• Группы Артина–Титса сферического типа являются биавтоматическими группами (Рут Чарни ).
• В современной терминологии группа Артина–Титса $A$ является группой Гарсайда , а это означает, что $A$ представляет собой группу дробей для соответствующего моноида $A^{+}$ и существует для каждого элемента $A$ уникальная нормальная форма, состоящая из конечной последовательности (копий) элементов $W$ и их обратные («симметричная жадная нормальная форма»)

Прямоугольные группы Артина

• Группа Артина–Титса называется прямоугольной, если все коэффициенты матрицы Коксетера либо $2$ или $\infty$, т. е. все отношения являются коммутационными отношениями $st=ts$. имена (свободная) частично коммутативная группа , группа графов , группа следов , полусвободная группа или даже локально свободная группа . Также распространены
• Для этого класса групп Артина–Титса обычно используется другая схема маркировки. Любой график $\Gamma$ на $n$ вершины с метками $1,2,\ldots ,n$ определяет матрицу $M$, для чего $m_{s,t}=2$ если вершины $s$ и $t$ соединены ребром в $\Gamma$, и $m_{s,t}=\infty$ в противном случае.
• Класс прямоугольных групп Артина–Титса включает свободные группы конечного ранга, соответствующие графу без ребер, и конечно порожденные свободные абелевы группы , соответствующие полному графу . Любая прямоугольная группа Артина ранга r может быть построена как HNN-расширение прямоугольной группы Артина ранга $r-1$, причем бесплатный продукт и прямой продукт являются крайними случаями. Обобщение этой конструкции называется граф-произведением групп . Прямоугольная группа Артина является частным случаем этого произведения, где каждая вершина/операнд графа-произведения является свободной группой ранга один ( бесконечная циклическая группа ).
• Проблемы слов и сопряженности прямоугольной группы Артина–Титса разрешимы, причем первая за линейное время, группа не имеет кручения и существует явная клеточная конечная $K(\pi ,1)$ (Джон Крисп, Эдди Годелл и Берт Уист ).
• Каждая прямоугольная группа Артина – Титса действует свободно и кокомпактно на конечномерном комплексе кубов CAT (0) , его «комплексе Сальветти». В качестве приложения можно использовать прямоугольные группы Артина и их комплексы Сальветти для построения групп с заданными свойствами конечности (Младен Бествина и Ноэль Брэди ) см. также (Иэн Лири ).

Группы Артина–Титса крупного типа.

• Группа Артина–Титса (и группа Кокстера) называется группой большого типа , если $m_{s,t}\geqslant 3$ для всех генераторов $s\neq t$; говорят, что он относится к сверхбольшому типу, если $m_{s,t}\geqslant 4$ для всех генераторов $s\neq t$.
• Группы Артина-Титса сверхбольшого типа подходят для теории малого сокращения. В качестве приложения группы Артина – Титса сверхбольшого типа не имеют кручения и имеют разрешимую проблему сопряженности ( Кеннет Аппель и Пол Шупп ).
• Группы Артина–Титса сверхбольшого типа являются биоавтоматическими (Дэвид Пайфер ).
• Группы Артина крупного типа представляют собой автоматические шортлексы с обычными геодезическими (Дерек Холт и Сара Рис). ).

Другие типы

Многие другие семейства групп Артина-Титса были идентифицированы и исследованы. Здесь мы упомянем два из них.

• Группа Артина-Титса $\langle S\mid R\rangle$ называется типом FC («комплекс флагов»), если для каждого подмножества $S'$ из $S$ такой, что $m_{s,t}\neq \infty$ для всех $s,t$ в $S'$, группа $\langle S'\mid R\cap S'{}^{2}\rangle$ имеет сферический тип. Такие группы действуют кокомпактно на кубическом комплексе CAT(0), и, как следствие, можно найти рациональную нормальную форму для их элементов и вывести решение проблемы слов (Джо Альтобелли и Чарни ). Альтернативную нормальную форму обеспечивает многофракционная редукция, которая дает уникальное выражение неприводимой мультифракцией, непосредственно расширяющей выражение несократимой дробью в сферическом случае (Дехорной ).
• Группа Артина-Титса называется аффинной, если связанная с ней группа Коксетера аффинна . Они соответствуют расширенным диаграммам Дынкина четырех бесконечных семейств. ${\widetilde {A}}_{n}$ для $n\geqslant 1$, ${\widetilde {B}}_{n}$, ${\widetilde {C}}_{n}$ для $n\geqslant 2$, и ${\widetilde {D}}_{n}$ для $n\geqslant 3$и из пяти спорадических типов ${\widetilde {E}}_{6}$, ${\widetilde {E}}_{7}$, ${\widetilde {E}}_{8}$, ${\widetilde {F}}_{4}$, и ${\widetilde {G}}_{2}$. Аффинные группы Артина – Титса имеют евклидов тип : соответствующая группа Кокстера действует геометрически в евклидовом пространстве. Как следствие, их центр тривиален, а проблема слов разрешима (Джон Маккаммонд и Роберт Салуэй). ). В 2019 году доказательство $K(\pi ,1)$ гипотеза была высказана для всех аффинных групп Артина–Титса (Марио Сальветти и Джованни Паолини ).

См. также

• Свободный частично коммутативный моноид
• Артинова группа (несвязанное понятие)
• Некоммутативная криптография
• Элементарная абелева группа

Дальнейшее чтение

• Чарни, Рут (2007), «Введение в прямоугольные группы Артина», Geometriae Dedicata , 125 (1): 141–158, arXiv : math/0610668 , doi : 10.1007/s10711-007-9148-6 , MR   2322545
• Годель, Эдди; Пэрис, Луис (2012), Основные вопросы о группах Артина – Титса , Серия CRM, том. 14, ред. Norm., Пиза, стр. 299–311, arXiv : 1105.1048 , doi : 10.1007/978-88-7642-431-1_13 , ISBN.  978-88-7642-430-4 , МР   3203644
• Маккаммонд, Джон (2017), «Таинственная геометрия групп Артина», Конспект лекций Winter Braids , 4 (Winter Braids VII (Кан, 2017)): 1–30, doi : 10.5802/wbln.17 , MR   3922033
• Флорес, Рамон; Каробаи, Деларам ; Коберда, Томас (2019). «Алгоритмические задачи в прямоугольных группах Артина: сложность и приложения». Журнал алгебры . 519 : 111–129. arXiv : 1802.04870 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2018.10.023 . МР   3874519 .