Элемент Гарсайда

В математике элемент Гарсайда — это элемент алгебраической структуры , такой как моноид , который имеет несколько желательных свойств.

Формально, если M — моноид, то элемент ∆ из M называется элементом Гарсайда, если множество всех правых делителей ∆,

$\{r\in M\mid {\text{for some }}x\in M,\Delta =xr\},$

— то же множество, что и множество всех левых делителей Δ,

$\{\ell \in M\mid {\text{for some }}x\in M,\Delta =\ell x\},$

и этот набор порождает M .

Элемент Гарсайда, как правило, не уникален: любая сила элемента Гарсайда снова является элементом Гарсайда.

Моноид Гарсайда и группа Гарсайда

Моноид Гарсайда — это моноид, обладающий следующими свойствами:

• Конечно сгенерированный и атомарный;
• Отмена ;
• Отношения частичного порядка делимости представляют собой решетки ;
• Существует элемент Гарсайда.

Моноид Гарсайда удовлетворяет условию Оре для мультипликативных множеств и, следовательно, вкладывается в свою группу дробей: такая группа является группой Гарсайда . Группа Гарсайда является биавтоматической и, следовательно, имеет разрешимую проблему слов и проблему сопряженности . Примеры таких групп включают группы кос и, в более общем плане, группы Артина конечного типа Кокстера .

Название было придумано Патриком Деорнуа и Луисом Парисом. чтобы отметить работу над проблемой сопряжения групп кос Фрэнка Арнольда Гарсайда (1915–1988), преподавателя школы колледжа Магдалины в Оксфорде, который занимал пост лорд-мэра Оксфорда в 1984–1985 годах.

Ссылки

• Бенсон Фарб , Проблемы отображения групп классов и смежные темы (Том 74 «Материалы симпозиумов по чистой математике») Книжный магазин AMS, 2006, ISBN   0-8218-3838-5 , с. 357
• Патрик Деорной , Группы Гарсайда , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (4) 35 (2002) 267-306. МИСТЕР 2003f:20067 .
• Матье Пикантен, «Моноиды Гарсайда против моноидов делимости», Math. Структуры Вычисление. наук. 15 (2005) 231-242. МИСТЕР 2006г:20102 .