Группа Артина-Титса

В математической области теории групп группы Артина , также известные как группы Артина–Титса или обобщенные группы кос , представляют собой семейство бесконечных дискретных групп, определяемых простыми представлениями . Они тесно связаны с группами Кокстера . Примерами являются свободные группы , среди прочего , свободные абелевы группы , , группы кос и прямоугольные группы Артина – Титса.

Группы названы в честь Эмиля Артина из-за его ранних работ над группами кос в 1920-1940-х годах. ^{[ 1 ]} и Жак Тит , разработавший теорию более общего класса групп в 1960-х годах. ^{[ 2 ]}

Определение

Презентация Артина – Титса — это групповая презентация. $\langle S\mid R\rangle$ где $S$ представляет собой (обычно конечный) набор образующих и $R$ представляет собой набор отношений Артина–Титса, а именно отношений вида $stst\ldots =tsts\ldots$ для различных $s,t$ в $S$ , где обе стороны имеют одинаковую длину и существует не более одного отношения для каждой пары различных образующих $s,t$ . Группа Артина–Титса — это группа, допускающая представление Артина–Титса. Аналогично, моноид Артина–Титса — это моноид , который как моноид допускает представление Артина–Титса.

В качестве альтернативы группа Артина – Титса может быть задана набором генераторов. $S$ и для каждого $s,t$ в $S$ , натуральное число $m_{s,t}\geqslant 2$ это длина слов $stst\ldots$ и $tsts\ldots$ такой, что $stst\ldots =tsts\ldots$ это отношение, связывающее $s$ и $t$ , если таковые имеются. По соглашению ставят $m_{s,t}=\infty$ когда нет отношений $stst\ldots =tsts\ldots$ . Формально, если мы определим $\langle s,t\rangle ^{m}$ для обозначения знакопеременного произведения $s$ и $t$ длины $m$ , начиная с $s$ - так что $\langle s,t\rangle ^{2}=st$ , $\langle s,t\rangle ^{3}=sts$ и т. д. — отношения Артина–Титса принимают вид

\langle s,t\rangle ^{m_{s,t}}=\langle t,s\rangle ^{m_{t,s}},{\text{ where }}m_{s,t}=m_{t,s}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}.

Целые числа $m_{s,t}$ может быть организована в симметричную матрицу , известную как матрица Кокстера группы.

Если $\langle S\mid R\rangle$ это презентация Артина-Титса группы Артина-Титса. $A$ , частное $A$ получается добавлением соотношения $s^{2}=1$ для каждого $s$ из $R$ является группой Кокстера . И наоборот, если $W$ представляет собой группу Кокстера, представленную размышлениями и отношениями $s^{2}=1$ удалены, полученное таким образом расширение является группой Артина–Титса. Например, группа Коксетера, связанная с $n$ Группа двухнитевых кос — это симметричная группа всех перестановок $\{1,\ldots ,n\}$ .

Примеры

$G=\langle S\mid \emptyset \rangle$ это свободная группа, основанная на $S$ ; здесь $m_{s,t}=\infty$ для всех $s,t$ .
$G=\langle S\mid \{st=ts\mid s,t\in S\}\rangle$ является свободной абелевой группой, основанной на $S$ ; здесь $m_{s,t}=2$ для всех $s,t$ .
$G=\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=\sigma _{j}\sigma _{i}\sigma _{j}{\text{ for }}\vert i-j\vert =1,\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\text{ for }}\vert i-j\vert \geqslant 2\rangle$ это группа кос на $n$ пряди; здесь $m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=3$ для $\vert i-j\vert =1$ , и $m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=2$ для $\vert i-j\vert >1$ .

Общие свойства

Моноиды Артина-Титса подходят для методов Гарсайда, основанных на исследовании их отношений делимости, и хорошо понятны:

Моноиды Артина-Титса сокращаются и допускают наибольшие общие делители и условные наименьшие общие кратные (наименьшее общее кратное существует всякий раз, когда существует общее кратное).
Если $A^{+}$ является моноидом Артина–Титса, и если $W$ — ассоциированная группа Кокстера, есть (теоретико-множественный) раздел $\sigma$ из $W$ в $A^{+}$ , и каждый элемент $A^{+}$ допускает выделенное разложение как последовательность элементов по образу $\sigma$ («жадная нормальная форма»).

Для общих групп Артина–Титса известно очень мало результатов. В частности, в общем случае остаются открытыми следующие основные вопросы:

– решение задач о словах и сопряжениях , которые предположительно разрешимы,

– определение кручения, которое считается тривиальным,

– определение центра – который предполагается тривиальным или моногенным в случае, когда группа не является прямым продуктом («неприводимый случай»),

– определение когомологий – в частности, решение

K(\pi ,1)

гипотеза, т. е. нахождение ациклического комплекса, фундаментальная группа которого является рассматриваемой группой.

Частичные результаты, включающие отдельные подсемейства, собраны ниже. Среди немногих известных общих результатов можно отметить:

Группы Артина–Титса бесконечно счетны.
В группе Артина-Титса $\langle S\mid R\rangle$ , единственное соотношение, связывающее квадраты элементов $s,t$ из $S$ является $s^{2}t^{2}=t^{2}s^{2}$ если $st=ts$ находится в $R$ (Джон Крисп и Луис Пэрис ^{[ 3 ]}).
На каждую презентацию Artin–Tits $\langle S\mid R\rangle$ , моноид Артина – Титса, представленный $\langle S\mid R\rangle$ встраивается в группу Артина – Титса, представленную $\langle S\mid R\rangle$ (Париж ^{[ 4 ]}).
Каждый (конечно порожденный) моноид Артина – Титса допускает конечное семейство Гарсайда (Мэттью Дайер и Кристоф Холвег ^{[ 5 ]}). Как следствие, существование общих кратных справа в моноидах Артина–Титса разрешимо, а сокращение мультидробей эффективно.

Частные классы групп Артина–Титса

Несколько важных классов групп Артина можно определить на основе свойств матрицы Кокстера.

Группы Артина–Титса сферического типа.

Говорят, что группа Артина–Титса имеет сферический тип , если связанная с ней группа Кокстера $W$ конечна - следует избегать альтернативной терминологии «группа Артина – Титса конечного типа» из-за ее двусмысленности: «группа конечного типа» - это всего лишь такая группа, которая допускает конечный набор порождающих. Напомним, что известна полная классификация, в которой «неприводимые типы» обозначаются как бесконечные серии. $A_{n}$ , $B_{n}$ , $D_{n}$ , $I_{2}(n)$ и шесть исключительных групп $E_{6}$ , $E_{7}$ , $E_{8}$ , $F_{4}$ , $H_{3}$ , и $H_{4}$ .
В случае сферической группы Артина – Титса группа представляет собой группу дробей моноида, что значительно упрощает исследование. Для сферических групп Артина–Титса каждая упомянутая задача решается положительно: проблема слов и сопряженности разрешима, их кручение тривиально, в неприводимом случае центр моногенен, когомологии определены ( Пьер Делинь , геометрический методы, ^{[ 6 ]} Эгберт Брискорн и Кёдзи Сайто , комбинаторными методами. ^{[ 7 ]}).
Чистая группа Артина–Титса сферического типа может быть реализована как фундаментальная группа дополнения конечного расположения гиперплоскостей в $\mathbb {C} ^{n}$ .
Группы Артина–Титса сферического типа являются биавтоматическими группами (Рут Чарни ^{[ 8 ]}).
В современной терминологии группа Артина–Титса $A$ является группой Гарсайда , а это означает, что $A$ представляет собой группу дробей для соответствующего моноида $A^{+}$ и существует для каждого элемента $A$ уникальная нормальная форма, состоящая из конечной последовательности (копий) элементов $W$ и их обратные («симметричная жадная нормальная форма»)

Прямоугольные группы Артина

Группа Артина–Титса называется прямоугольной, если все коэффициенты матрицы Коксетера либо $2$ или $\infty$ , т. е. все отношения являются коммутационными отношениями $st=ts$ . имена (свободная) частично коммутативная группа , группа графов , группа следов , полусвободная группа или даже локально свободная группа . Также распространены
Для этого класса групп Артина–Титса обычно используется другая схема маркировки. Любой график $\Gamma$ на $n$ вершины с метками $1,2,\ldots ,n$ определяет матрицу $M$ , для чего $m_{s,t}=2$ если вершины $s$ и $t$ соединены ребром в $\Gamma$ , и $m_{s,t}=\infty$ в противном случае.
Класс прямоугольных групп Артина–Титса включает свободные группы конечного ранга, соответствующие графу без ребер, и конечно порожденные свободные абелевы группы , соответствующие полному графу . Любая прямоугольная группа Артина ранга r может быть построена как HNN-расширение прямоугольной группы Артина ранга $r-1$ , причем бесплатный продукт и прямой продукт являются крайними случаями. Обобщение этой конструкции называется граф-произведением групп . Прямоугольная группа Артина является частным случаем этого произведения, где каждая вершина/операнд графа-произведения является свободной группой ранга один ( бесконечная циклическая группа ).
Проблемы слов и сопряженности прямоугольной группы Артина–Титса разрешимы, причем первая за линейное время, группа не имеет кручения и существует явная клеточная конечная $K(\pi ,1)$ (Джон Крисп, Эдди Годелл и Берт Уист ^{[ 9 ]}).
Каждая прямоугольная группа Артина – Титса действует свободно и кокомпактно на конечномерном комплексе кубов CAT (0) , его «комплексе Сальветти». В качестве приложения можно использовать прямоугольные группы Артина и их комплексы Сальветти для построения групп с заданными свойствами конечности (Младен Бествина и Ноэль Брэди ^{[ 10 ]}) см. также (Иэн Лири ^{[ 11 ]}).

Группы Артина–Титса крупного типа.

Группа Артина–Титса (и группа Кокстера) называется группой большого типа , если $m_{s,t}\geqslant 3$ для всех генераторов $s\neq t$ ; говорят, что он относится к сверхбольшому типу, если $m_{s,t}\geqslant 4$ для всех генераторов $s\neq t$ .
Группы Артина-Титса сверхбольшого типа подходят для теории малого сокращения. В качестве приложения группы Артина – Титса сверхбольшого типа не имеют кручения и имеют разрешимую проблему сопряженности ( Кеннет Аппель и Пол Шупп ^{[ 12 ]}).
Группы Артина–Титса сверхбольшого типа являются биоавтоматическими (Дэвид Пайфер ^{[ 13 ]}).
Группы Артина крупного типа представляют собой автоматические шортлексы с обычными геодезическими (Дерек Холт и Сара Рис). ^{[ 14 ]}).

Другие типы

Многие другие семейства групп Артина-Титса были идентифицированы и исследованы. Здесь мы упомянем два из них.

Группа Артина-Титса $\langle S\mid R\rangle$ называется типом FC («комплекс флагов»), если для каждого подмножества $S'$ из $S$ такой, что $m_{s,t}\neq \infty$ для всех $s,t$ в $S'$ , группа $\langle S'\mid R\cap S'{}^{2}\rangle$ имеет сферический тип. Такие группы действуют кокомпактно на кубическом комплексе CAT(0), и, как следствие, можно найти рациональную нормальную форму для их элементов и вывести решение проблемы слов (Джо Альтобелли и Чарни ^{[ 15 ]}). Альтернативную нормальную форму обеспечивает многофракционная редукция, которая дает уникальное выражение неприводимой мультифракцией, непосредственно расширяющей выражение несократимой дробью в сферическом случае (Дехорной ^{[ 16 ]}).
Группа Артина-Титса называется аффинной, если связанная с ней группа Коксетера аффинна . Они соответствуют расширенным диаграммам Дынкина четырех бесконечных семейств. ${\widetilde {A}}_{n}$ для $n\geqslant 1$ , ${\widetilde {B}}_{n}$ , ${\widetilde {C}}_{n}$ для $n\geqslant 2$ , и ${\widetilde {D}}_{n}$ для $n\geqslant 3$ и из пяти спорадических типов ${\widetilde {E}}_{6}$ , ${\widetilde {E}}_{7}$ , ${\widetilde {E}}_{8}$ , ${\widetilde {F}}_{4}$ , и ${\widetilde {G}}_{2}$ . Аффинные группы Артина – Титса имеют евклидов тип : соответствующая группа Кокстера действует геометрически в евклидовом пространстве. Как следствие, их центр тривиален, а проблема слов разрешима (Джон Маккаммонд и Роберт Салуэй). ^{[ 17 ]}). В 2019 году доказательство $K(\pi ,1)$ гипотеза была высказана для всех подобных групп Артина–Титса (Марио Сальветти и Джованни Паолини ^{[ 18 ]}).

См. также

Ссылки

^ Артин, Эмиль (1947). «Теория кос». Анналы математики . 48 (1): 101–126. дои : 10.2307/1969218 . JSTOR 1969218 . S2CID 30514042 .
^ Титс, Жак (1966), «Нормализаторы торов. I. Расширенные группы Кокстера», Journal of Algebra , 4 : 96–116, doi : 10.1016/0021-8693(66)90053-6 , MR 0206117
^ Крисп, Джон; Пэрис, Луис (2001), «Решение гипотезы Титса о подгруппе, порожденной квадратами образующих группы Артина», Inventiones Mathematicae , 145 (1): 19–36, arXiv : math/0003133 , Bibcode : 2001InMat.145...19C , doi : 10.1007/s002220100138 , MR 1839284
^ ) Луис , Пэрис 2002 ( math/0102002, doi:10.1007/s00014-002-8353-z, MR .
^ Дайер, Мэтью; Хольвег, Кристоф (2016), «Маленькие корни, низкие элементы и слабый порядок в группах Кокстера», Advances in Mathematics , 301 : 739–784, arXiv : 1505.02058 , doi : 10.1016/j.aim.2016.06.022 , MR 1839284
^ Делинь, Пьер (1972), «Построения обобщенных групп кос», Inventiones Mathematicae , 17 : 273–302, Bibcode : 1972InMat..17..273D , doi : 10.1007/BF01406236 , MR 0422673
^ Брискорн, Эгберт ; Сайто, Кёдзи (1972), «Группы Артина и группы Кокстера», Inventiones Mathematicae , 17 (4): 245–271, Бибкод : 1972InMat..17..245B , doi : 10.1007/BF01406235 , MR 0323910
^ Чарни, Рут (1992), «Группы Артина конечного типа биавтоматичны», Mathematische Annalen , 292 (4): 671–683, doi : 10.1007/BF01444642 , MR 1157320
^ Крисп, Джон; Годель, Эдди; Вист, Берт (2009), «Проблема сопряженности в подгруппах прямоугольных групп Артина», Journal of Topology , 2 (3): 442–460, doi : 10.1112/jtopol/jtp018 , MR 2546582
^ Бествина, Младен ; Брэди, Ноэль (1997), «Теория Морса и свойства конечности групп», Inventiones Mathematicae , 129 (3): 445–470, Бибкод : 1997InMat.129..445B , doi : 10.1007/s002220050168 , MR 1465330
^ Лири, Ян (2018), «Неисчислимо множество групп типа FP», Proceedings of the London Mathematical Society , 117 (2): 246–276, arXiv : 1512.06609 , doi : 10.1112/plms.12135 , MR 3851323
^ Аппель, Кеннет И.; Шупп, Пол Э. (1983), «Группы Артина и бесконечные группы Кокстера», Mathematical Inventions , 72 (2): 201–220, Бибкод : 1983InMat..72..201A , doi : 10.1007/BF01389320 , MR 0700768
^ Пайфер, Дэвид (1996), «Группы Артина сверхбольшого типа являются биавтоматическими», Журнал чистой и прикладной алгебры , 110 (1): 15–56, doi : 10.1016/0022-4049(95)00094-1 , MR 1390670
^ Холт, Дерек; Рис, Сара (2012). «Артиновые группы крупного типа — короткие автоматические с регулярными геодезическими». Труды Лондонского математического общества . 104 (3): 486–512. arXiv : 1003.6007 . дои : 10.1112/plms/pdr035 . МР 2900234 .
^ Альтобелли, Джо; Чарни, Рут (2000), «Геометрическая рациональная форма для групп Артина типа FC», Geometriae Dedicata , 79 (3): 277–289, doi : 10.1023/A:1005216814166 , MR 1755729
^ Дехорной, Патрик (2017), «Мультифракционная редукция I: случай 3-Оре и группы Артина – Титса типа FC», Журнал комбинаторной алгебры , 1 (2): 185–228, arXiv : 1606.08991 , doi : 10.4171/JCA /1-2-3 , МР 3634782
^ Маккаммонд, Джон; Салуэй, Роберт (2017), «Группы Артина евклидова типа», Inventiones Mathematicae , 210 (1): 231–282, arXiv : 1312.7770 , Bibcode : 2017InMat.210..231M , doi : 10.1007/s00222-017-0728- 2 , МР 3698343
^ Паолини, Джованни; Сальветти, Марио (2019), Доказательство $K(\pi ,1)$ Гипотеза об аффинных группах Артина , arXiv : 1907.11795

Дальнейшее чтение

Чарни, Рут (2007), «Введение в прямоугольные группы Артина», Geometriae Dedicata , 125 (1): 141–158, arXiv : math/0610668 , doi : 10.1007/s10711-007-9148-6 , MR 2322545
Годель, Эдди; Пэрис, Луис (2012), Основные вопросы о группах Артина – Титса , Серия CRM, том. 14, ред. Norm., Пиза, стр. 299–311, arXiv : 1105.1048 , doi : 10.1007/978-88-7642-431-1_13 , ISBN. 978-88-7642-430-4 , МР 3203644
Маккаммонд, Джон (2017), «Загадочная геометрия групп Артина», Конспект лекций Winter Braids , 4 (Winter Braids VII (Кан, 2017)): 1–30, doi : 10.5802/wbln.17 , MR 3922033
Флорес, Рамон; Каробаи, Деларам ; Коберда, Томас (2019). «Алгоритмические задачи в прямоугольных группах Артина: сложность и приложения». Журнал алгебры . 519 : 111–129. arXiv : 1802.04870 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2018.10.023 . МР 3874519 .

[Artin47-1] Артин, Эмиль (1947). «Теория кос». Анналы математики . 48 (1): 101–126. дои : 10.2307/1969218 . JSTOR 1969218 . S2CID 30514042 .

[2] Титс, Жак (1966), «Нормализаторы торов. I. Расширенные группы Кокстера», Journal of Algebra , 4 : 96–116, doi : 10.1016/0021-8693(66)90053-6 , MR 0206117

[3] Крисп, Джон; Пэрис, Луис (2001), «Решение гипотезы Титса о подгруппе, порожденной квадратами образующих группы Артина», Inventiones Mathematicae , 145 (1): 19–36, arXiv : math/0003133 , Bibcode : 2001InMat.145...19C , doi : 10.1007/s002220100138 , MR 1839284

[4] ) Луис , Пэрис 2002 ( math/0102002, doi:10.1007/s00014-002-8353-z, MR .

[5] Дайер, Мэтью; Хольвег, Кристоф (2016), «Маленькие корни, низкие элементы и слабый порядок в группах Кокстера», Advances in Mathematics , 301 : 739–784, arXiv : 1505.02058 , doi : 10.1016/j.aim.2016.06.022 , MR 1839284

[6] Делинь, Пьер (1972), «Построения обобщенных групп кос», Inventiones Mathematicae , 17 : 273–302, Bibcode : 1972InMat..17..273D , doi : 10.1007/BF01406236 , MR 0422673

[7] Брискорн, Эгберт ; Сайто, Кёдзи (1972), «Группы Артина и группы Кокстера», Inventiones Mathematicae , 17 (4): 245–271, Бибкод : 1972InMat..17..245B , doi : 10.1007/BF01406235 , MR 0323910

[8] Чарни, Рут (1992), «Группы Артина конечного типа биавтоматичны», Mathematische Annalen , 292 (4): 671–683, doi : 10.1007/BF01444642 , MR 1157320

[9] Крисп, Джон; Годель, Эдди; Вист, Берт (2009), «Проблема сопряженности в подгруппах прямоугольных групп Артина», Journal of Topology , 2 (3): 442–460, doi : 10.1112/jtopol/jtp018 , MR 2546582

[10] Бествина, Младен ; Брэди, Ноэль (1997), «Теория Морса и свойства конечности групп», Inventiones Mathematicae , 129 (3): 445–470, Бибкод : 1997InMat.129..445B , doi : 10.1007/s002220050168 , MR 1465330

[11] Лири, Ян (2018), «Неисчислимо множество групп типа FP», Proceedings of the London Mathematical Society , 117 (2): 246–276, arXiv : 1512.06609 , doi : 10.1112/plms.12135 , MR 3851323

[12] Аппель, Кеннет И.; Шупп, Пол Э. (1983), «Группы Артина и бесконечные группы Кокстера», Mathematical Inventions , 72 (2): 201–220, Бибкод : 1983InMat..72..201A , doi : 10.1007/BF01389320 , MR 0700768

[13] Пайфер, Дэвид (1996), «Группы Артина сверхбольшого типа являются биавтоматическими», Журнал чистой и прикладной алгебры , 110 (1): 15–56, doi : 10.1016/0022-4049(95)00094-1 , MR 1390670

[14] Холт, Дерек; Рис, Сара (2012). «Артиновые группы крупного типа — короткие автоматические с регулярными геодезическими». Труды Лондонского математического общества . 104 (3): 486–512. arXiv : 1003.6007 . дои : 10.1112/plms/pdr035 . МР 2900234 .

[15] Альтобелли, Джо; Чарни, Рут (2000), «Геометрическая рациональная форма для групп Артина типа FC», Geometriae Dedicata , 79 (3): 277–289, doi : 10.1023/A:1005216814166 , MR 1755729

[16] Дехорной, Патрик (2017), «Мультифракционная редукция I: случай 3-Оре и группы Артина – Титса типа FC», Журнал комбинаторной алгебры , 1 (2): 185–228, arXiv : 1606.08991 , doi : 10.4171/JCA /1-2-3 , МР 3634782

[17] Маккаммонд, Джон; Салуэй, Роберт (2017), «Группы Артина евклидова типа», Inventiones Mathematicae , 210 (1): 231–282, arXiv : 1312.7770 , Bibcode : 2017InMat.210..231M , doi : 10.1007/s00222-017-0728- 2 , МР 3698343

[18] Паолини, Джованни; Сальветти, Марио (2019), Доказательство $K(\pi ,1)$ Гипотеза об аффинных группах Артина , arXiv : 1907.11795

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]