Магма (алгебра)

В абстрактной магма , , бинар алгебре ^[1] или, реже, группоид — это базовый вид алгебраической структуры . В частности, магма состоит из множества, оснащенного одной бинарной операцией должна быть закрыта , которая по определению . Никакие другие свойства не налагаются.

История и терминология

Термин группоид был введен в 1927 году Генрихом Брандтом при описании его группоида Брандта . Затем этот термин был присвоен Б.А. Хаусманном и Ойстейном Оре (1937). ^[2] в том смысле (множества с бинарной операцией), который используется в этой статье. В паре обзоров последующих статей в Zentralblatt Брандт категорически не согласился с такой перегрузкой терминологии. Группоид Брандта является группоидом в том смысле, который используется в теории категорий, но не в том смысле, который используют Хаусманн и Оре. Тем не менее, влиятельные книги по теории полугрупп, в том числе Клиффорд и Престон (1961) и Хоуи (1995), используют группоид в смысле Хаусмана и Оре. Холлингс (2014) пишет, что термин группоид «возможно, чаще всего используется в современной математике» в том смысле, который придается ему в теории категорий. ^[3]

По словам Бергмана и Хаускнехта (1996): «Не существует общепринятого слова для обозначения множества с не обязательно ассоциативной бинарной операцией. Слово « группоид» используется многими универсальными алгебраистами, но специалисты в теории категорий и смежных областях категорически возражают против этого использования. потому что они используют одно и то же слово для обозначения «категории, в которой все морфизмы обратимы». Термин «магма» использовал Серр [Алгебры и группы Ли, 1965]». ^[4] Оно также появляется в Бурбаки » «Элементах математики «Алгебра», главы с 1 по 3, 1970 г. ^[5]

Определение

Магма — это множество M, с операцией •, которая переводит любые два элемента a , b ∈ M в другой элемент, a • b ∈ M. сопоставленное Символ • является общим заполнителем для правильно определенной операции. Чтобы квалифицироваться как магма, набор и операция ( M , •) должны удовлетворять следующему требованию (известному как аксиома магмы или замыкания ):

Для всех a , b в M результат операции a • b находится в M. также

И в математической записи:

a,b\in M\implies a\cdot b\in M.

Если • вместо этого является частичной операцией , то ( M , •) называется частичной магмой. ^[6] или, чаще, частичный группоид . ^[6]^[7]

Морфизм магм

Морфизм ( магмы — это функция f : M → N , которая отображает магму ( M , •) в магму N , ∗) , сохраняющую бинарную операцию:

ж ( Икс • у ) знак равно ж ( Икс ) * ж ( у ).

Обозначения и комбинаторика

Операцию магмы можно применять неоднократно, и в общем, неассоциативном случае имеет значение порядок, который обозначается круглыми скобками. Кроме того, операция • часто опускается и обозначается сопоставлением:

(а • (б • c)) • d \equiv (а (bc)) d

.

Для уменьшения количества круглых скобок часто используется сокращение, в котором самые внутренние операции и пары круглых скобок опускаются и заменяются только сопоставлением: $xy • z \equiv (x • y) • z$ . Например, приведенное выше сокращенно до следующего выражения, все еще содержащего круглые скобки:

(а • до н.э) d

.

Способом полностью избежать использования круглых скобок является префиксная запись , в которой одно и то же выражение будет записываться $•• a • bcd$ . Другой способ, знакомый программистам, — постфиксная нотация ( обратная польская нотация ), в которой то же выражение будет записываться $abc •• d •$ , при котором порядок выполнения просто слева направо (без каррирования ).

Совокупность всех возможных строк, состоящих из символов, обозначающих элементы магмы, и наборов сбалансированных круглых скобок, называется языком Дика . Общее количество различных способов записи $n$ применений оператора магмы определяется каталонским числом $C n$ . Так, например, $C 2 = 2$ , что означает утверждение, что $(ab) c$ и $a (bc)$ — единственные два способа соединения трех элементов магмы с помощью двух операций. Менее тривиально, $C 3 = 5$ : $((ab) c) d$ , $(a (bc)) d$ , $(ab) (cd)$ , $a ( (bc) d)$ и $a (b (cd))$ .

Есть $н н 2$ магмы с $n$ элементами, поэтому существует 1, 1, 16, 19683, 4 294 967 296 , ... (последовательность A002489 в OEIS ) магм с 0, 1, 2, 3, 4, ... элементами. Соответствующие количества неизоморфных магм равны 1, 1, 10, 3330, 178 981 952 , ... (последовательность A001329 в OEIS ), а количества одновременно неизоморфных и неантиизоморфных магм равны 1, 1, 7. , 1734, 89 521 056 , ... (последовательность A001424 в OEIS ). ^[8]

Бесплатная магма

Свободная магма M _X на множестве X — это «наиболее общая возможная» магма, порожденная X (т. е. на генераторы не налагаются никакие отношения или аксиомы; см. свободный объект ). Бинарная операция над M _X формируется путем заключения каждого из двух операндов в круглые скобки и их сопоставления в одном и том же порядке. Например:

а • б = (а)(б),

а • (а • б) = (а)((а)(б)),

(а • а) • б знак равно ((а)(а))(б).

M _X можно описать как набор неассоциативных слов на X с сохраненными круглыми скобками. ^[9]

Его также можно рассматривать, в терминах, знакомых в информатике , как магму полных бинарных деревьев помеченными элементами X. с листьями , Операция заключается в соединении деревьев в корне. Поэтому он играет основополагающую роль в синтаксисе .

Свободная магма обладает таким универсальным свойством , что если f : X → N является функцией от X до любой магмы N , то существует единственное расширение f до морфизма магм f ′

ж ′ : M _Икс → N .

Виды магмы

Магмы как таковые изучаются нечасто; вместо этого существует несколько различных видов магмы, в зависимости от того, каким аксиомам должна удовлетворять операция. Обычно изучаемые типы магмы включают:

Квазигруппа : Магма, в которой разделение всегда возможно.
- Цикл : Квазигруппа с единичным элементом .
Полугруппа : Магма, в которой операция ассоциативна .
- Моноид : полугруппа с единичным элементом.
Группа : Магма с инверсией, ассоциативностью и единичным элементом.

Обратите внимание, что делимость и обратимость подразумевают свойство отмены .

Магмы с коммутативностью

Коммутативная магма : магма с коммутативностью.
Коммутативный моноид : Моноид с коммутативностью.
Абелева группа : группа с коммутативностью.

Классификация по свойствам

Групповые структуры
	Закрытие	Ассоциативный	Личность	Отмена	коммутативный
Частичная магма	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Полугруппоид	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Малая категория	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативная квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативно-ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Единая магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативная унитарная магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Петля	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный цикл	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Абелева группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый

Магма $(S, • )$ с $x, y, u, z$ ∈ $S$ называется

Медиальный: Если оно удовлетворяет тождеству $xy • uz \equiv xu • yz$
Левый полумедиальный: Если оно удовлетворяет тождеству $xx • yz \equiv xy • xz$
Правый полумедиальный: Если оно удовлетворяет тождеству $yz • xx \equiv yx • zx$
Полумедиальный: Если он одновременно левый и правый полумедиальный
Левый дистрибутив: Если оно удовлетворяет тождеству $x • yz \equiv xy • xz$
Правый дистрибутив: Если оно удовлетворяет тождеству $yz • x \equiv yx • zx$
Автодистрибутив: Если оно является одновременно левым и правым дистрибутивом
коммутативный: Если оно удовлетворяет тождеству $xy \equiv yx$
Идемпотент: Если оно удовлетворяет тождеству $xx \equiv x$
Одномогущий: Если оно удовлетворяет тождеству $xx \equiv yy$
Зеропотент: Если оно удовлетворяет тождествам $xx • y \equiv xx \equiv y • xx$ ^[10]
Альтернатива: Если оно удовлетворяет тождествам $xx • y \equiv x • xy$ и $x • yy \equiv xy • y$
Сильно-ассоциативный: Если субмагма, порожденная каким-либо элементом, ассоциативна
Гибкий: если $ху • х \equiv х • yx$
Ассоциативный: Если она удовлетворяет тождеству $x • yz \equiv xy • z$ , называется полугруппой
Левый унар: Если оно удовлетворяет тождеству $xy \equiv xz$
Правильный унар: Если оно удовлетворяет тождеству $yx \equiv zx$
Полугруппа с нулевым умножением или нулевая полугруппа: Если оно удовлетворяет тождеству $xy \equiv uv$
Юнитал: Если у него есть элемент идентификации
Левый- отменяющий: Если для всех $x, y, z$ соотношение $xy = xz$ влечет за собой $y = z$
Правоотменяющий: Если для всех $x, y, z$ соотношение $yx = zx$ влечет за собой $y = z$
Отмена: Если это одновременно правосократяющееся и левосокращающееся
Полугруппа с левыми нулями: Если это полугруппа и она удовлетворяет тождеству $xy \equiv x$
Полугруппа с правыми нулями: Если это полугруппа и она удовлетворяет тождеству $yx \equiv x$
Тримедиальный: Если любая тройка (не обязательно различных) элементов порождает срединную субмагму
Энтропийный: Если это гомоморфный образ магмы медиального сокращения . ^[11]

Количество магм, удовлетворяющих заданным свойствам

Идемпотентность	Коммутативное свойство	Ассоциативное свойство	Отмена собственности	Последовательность OEIS (с маркировкой)	Последовательность OEIS (классы изоморфизма)
Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный	А002489	А001329
Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	А090588	А030247
Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	А023813	А001425
Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный	А023814	А001423
Ненужный	Ненужный	Ненужный	Необходимый	A002860 добавить a(0)=1	А057991
Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	А076113	А030257
Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	А023815	А001426
Ненужный	Необходимый	Ненужный	Необходимый		А057992
Ненужный	Ненужный	Необходимый	Необходимый	A034383 добавить a(0)=1	A000001 с a(0)=1 вместо 0
Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый		a(n)=1 для n=0 и всех нечетных n, a(n)=0 для всех четных n≥2
Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	a(0)=a(1)=1, a(n)=0 для всех n≥2	a(0)=a(1)=1, a(n)=0 для всех n≥2
Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	A034382 добавить a(0)=1	A000688 добавить a(0)=1
Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	a(0)=a(1)=1, a(n)=0 для всех n≥2	a(0)=a(1)=1, a(n)=0 для всех n≥2

Категория магм

Категория магм, обозначаемая Mag , — это категория , объектами которой являются магмы, а морфизмы — гомоморфизмы магмы . Категория Mag имеет прямые произведения и существует функтор включения : Set → Med ↪ Mag как тривиальные магмы, с операциями, заданными проекцией $x T y = y$ .

Важным свойством является то, что инъективный эндоморфизм может быть расширен до автоморфизма магмы расширения , просто копредела ( постоянной последовательности) эндоморфизма .

Поскольку синглтон $({*}, *)$ является конечным объектом Mag Mag и поскольку Mag является алгебраическим , является точечным и полным . ^[12]

См. также

Категория магмы
Универсальная алгебра
Система компьютерной алгебры Magma , названная в честь объекта данной статьи.
Коммутативная магма
Алгебраические структуры, все аксиомы которых являются тождествами.
Группоидная алгебра
Набор для зала

Ссылки

^ Бергман, Клиффорд (2011), Универсальная алгебра: основы и избранные темы , CRC Press, ISBN 978-1-4398-5130-2
^ Хаусманн, бакалавр; Оре, Эйстейн (октябрь 1937 г.), «Теория квазигрупп», American Journal of Mathematics , 59 (4): 983–1004, doi : 10.2307/2371362 , JSTOR 2371362 .
^ Холлингс, Кристофер (2014), Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп , Американское математическое общество, стр. 142–143, ISBN 978-1-4704-1493-1 .
^ Бергман, Джордж М.; Хаускнехт, Адам О. (1996), Когруппы и кокольца в категориях ассоциативных колец , Американское математическое общество, с. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7 .
^ Бурбаки, Н. (1998) [1970], «Алгебраические структуры: §1.1 Законы композиции: Определение 1» , Алгебра I: Главы 1–3 , Спрингер, стр. 1, ISBN 978-3-540-64243-5 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мюллер-Хойссен, Фолькерт; Палло, Жан Марсель; Сташефф, Джим, ред. (2012), Ассоциэдры, Решетки Тамари и родственные структуры: Tamari Memorial Festschrift , Springer, стр. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9 .
^ Евсеев, А.Е. (1988), «Обзор частичных группоидов», в книге Сильвер, Бен (ред.), Девятнадцать статей по алгебраическим полугруппам , Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-3115-1 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Группоид» . Математический мир .
^ Роуэн, Луи Галле (2008), «Определение 21B.1». , Аспирантура по алгебре: некоммутативный взгляд , Аспирантура по математике , Американское математическое общество , с. 321, ISBN 0-8218-8408-5 .
^ Кепка, Т.; Немец, П. (1996), «Простые сбалансированные группоиды» (PDF) , Журнал Палацкого университета в Оломоуце. Сила природных вещей. Математика , 35 (1): 53–60 .
^ Ежек, Ярослав; Кепка, Томаш (1981), «Свободные энтропийные группоиды» (PDF) , Математические заметки Университета Каролины , 22 (2): 223–233, MR 0620359 .
^ Борсо, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории . Спрингер. стр. 7, 19. ISBN. 1-4020-1961-0 .

Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Магма» , Энциклопедия математики , EMS Press
Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Группоид» , Энциклопедия математики , EMS Press
Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Свободная магма» , Энциклопедия математики , EMS Press
Вайсштейн, Эрик В. «Группоид» . Математический мир .

Дальнейшее чтение

Брук, Ричард Хьюберт (1971), Обзор бинарных систем (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3

[1] Бергман, Клиффорд (2011), Универсальная алгебра: основы и избранные темы , CRC Press, ISBN 978-1-4398-5130-2

[2] Хаусманн, бакалавр; Оре, Эйстейн (октябрь 1937 г.), «Теория квазигрупп», American Journal of Mathematics , 59 (4): 983–1004, doi : 10.2307/2371362 , JSTOR 2371362 .

[Hollings2014-3] Холлингс, Кристофер (2014), Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп , Американское математическое общество, стр. 142–143, ISBN 978-1-4704-1493-1 .

[BergmanHausknecht1996-4] Бергман, Джордж М.; Хаускнехт, Адам О. (1996), Когруппы и кокольца в категориях ассоциативных колец , Американское математическое общество, с. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7 .

[Bourbaki1998-5] Бурбаки, Н. (1998) [1970], «Алгебраические структуры: §1.1 Законы композиции: Определение 1» , Алгебра I: Главы 1–3 , Спрингер, стр. 1, ISBN 978-3-540-64243-5 .

[Müller-HoissenPallo2012-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мюллер-Хойссен, Фолькерт; Палло, Жан Марсель; Сташефф, Джим, ред. (2012), Ассоциэдры, Решетки Тамари и родственные структуры: Tamari Memorial Festschrift , Springer, стр. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9 .

[Silver-7] Евсеев, А.Е. (1988), «Обзор частичных группоидов», в книге Сильвер, Бен (ред.), Девятнадцать статей по алгебраическим полугруппам , Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-3115-1 .

[8] Вайсштейн, Эрик В. «Группоид» . Математический мир .

[9] Роуэн, Луи Галле (2008), «Определение 21B.1». , Аспирантура по алгебре: некоммутативный взгляд , Аспирантура по математике , Американское математическое общество , с. 321, ISBN 0-8218-8408-5 .

[10] Кепка, Т.; Немец, П. (1996), «Простые сбалансированные группоиды» (PDF) , Журнал Палацкого университета в Оломоуце. Сила природных вещей. Математика , 35 (1): 53–60 .

[11] Ежек, Ярослав; Кепка, Томаш (1981), «Свободные энтропийные группоиды» (PDF) , Математические заметки Университета Каролины , 22 (2): 223–233, MR 0620359 .

[12] Борсо, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории . Спрингер. стр. 7, 19. ISBN. 1-4020-1961-0 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]