Моноидальная категория
В математике ( моноидальная категория или тензорная категория ) — это категория оснащен бифунктором
который ассоциативен с точностью до , естественного изоморфизма и объект I, который является одновременно левым и правым тождеством для ⊗, опять же с точностью до естественного изоморфизма. Соответствующие естественные изоморфизмы подчиняются определенным условиям связности , которые гарантируют, что все соответствующие диаграммы коммутируют .
Обычное тензорное произведение превращает векторные пространства , абелевы группы , R -модули или R -алгебры в моноидальные категории. Моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих и других примеров. Каждую ( маленькую ) моноидальную категорию можно также рассматривать как « категоризацию » базового моноида , а именно моноида, элементы которого являются классами изоморфизма объектов категории и чья бинарная операция задается тензорным произведением категории.
Совсем другое приложение, для которого моноидальные категории можно считать абстракцией, — это система типов данных , замкнутая в конструкторе типов , который принимает два типа и создает совокупный тип. Типы служат объектами, а ⊗ — агрегатным конструктором. Тогда ассоциативность с точностью до изоморфизма является способом выражения различных способов агрегирования одних и тех же данных, таких как и — хранить одну и ту же информацию, даже если совокупные значения не обязательно должны быть одинаковыми. Агрегатный тип может быть аналогичен операции сложения (тип сумма) или умножения (тип произведение). Для типа продукта объектом идентификации является единица , поэтому существует только один обитатель типа, и поэтому произведение с ним всегда изоморфно другому операнду. Для типа sum объектом идентичности является тип void , который не хранит никакой информации и к нему невозможно обратиться к жителю. Концепция моноидальной категории не предполагает, что значения таких агрегатных типов можно разобрать; напротив, она обеспечивает основу, объединяющую классическую и квантовую теорию информации. [1]
В теории категорий моноидальные категории могут использоваться для определения понятия моноидного объекта и связанного с ним действия на объекты категории. Они также используются при определении расширенной категории .
Моноидальные категории имеют множество применений за пределами собственно теории категорий. Они используются для определения моделей мультипликативного фрагмента интуиционистской линейной логики . Они также образуют математическую основу топологического порядка в физике конденсированного состояния . Плетеные моноидальные категории находят приложения в квантовой информации , квантовой теории поля и теории струн .
Формальное определение [ править ]
Моноидальная категория – это категория имеют моноидальную конструкцию. Моноидальная структура состоит из:
- бифунктор называется моноидальным произведением , [2] или тензорное произведение ,
- объект называется моноидальной единицей , [2] объект единицы или объект идентификации ,
- три естественных изоморфизма, подчиняющихся определенным условиям связности, выражающим тот факт, что тензорная операция:
- ассоциативен: существует естественный (в каждом из трех аргументов) , , ) изоморфизм , называемый ассоциатором , с компонентами ,
- имеет как левая и правая идентичность: существует два естественных изоморфизма и , называемые соответственно левым и правым унитором , с компонентами и .
Обратите внимание, что хороший способ запомнить, как и действие осуществляется аллитерацией; Лямбда , , отменяет тождество слева , а Ро , , отменяет личность справа .
Условиями когерентности этих естественных преобразований являются:
- для всех , , и в , пятиугольная диаграмма
- для всех и в , диаграмма треугольника
- ездит на работу.
Строгая моноидальная категория — это категория, для которой естественные изоморфизмы α , λ и ρ являются тождествами. Каждая моноидальная категория моноидально эквивалентна строгой моноидальной категории.
Примеры [ править ]
- Любую категорию с конечными продуктами можно рассматривать как моноидальную, где продукт является моноидальным продуктом, а конечный объект — единицей. Такую категорию иногда называют декартовой моноидальной категорией . Например:
- Set , категория множеств с декартовым произведением, единицей измерения которого является любой конкретный одноэлементный набор.
- Cat , категория небольших категорий с категорией продукта , где единицей является категория с одним объектом и только его идентификационной картой.
- Двойственным образом любая категория с конечными копродукциями является моноидальной, где копродукцией является моноидальный продукт, а исходным объектом - единица измерения. Такая моноидальная категория называется кокартовой моноидальной.
- R -Mod , категория модулей над коммутативным кольцом R , представляет собой моноидальную категорию, в которой тензорное произведение модулей ⊗ R служит моноидальным произведением, а кольцо R (рассматриваемое как модуль над самим собой) служит единицей. В качестве особых случаев имеются:
- K -Vect — категория векторных пространств над полем K которой является одномерное векторное пространство K. , единицей измерения
- Ab — категория абелевых групп которой является группа целых чисел Z. , единицей
- Для любого коммутативного кольца R категория R -алгебр моноидальна с тензорным произведением алгебр в качестве произведения и R в качестве единицы.
- Категория точечных пространств ограниченная компактно сгенерированными пространствами ( например, ) является моноидальной, в которой продукт Smash служит продуктом, а заостренная 0-сфера (двухточечное дискретное пространство) служит единицей измерения.
- Категория всех эндофункторов в категории C представляет собой строгую моноидальную категорию с композицией функторов в качестве произведения и тождественным функтором в качестве единицы.
- Как и для любой категории E , полная подкатегория, охватываемая любым данным объектом, является моноидом. Это тот случай, когда для любой 2-категории E и любого объекта C в Ob( E ) полная 2-подкатегория E , охватываемая { C } — моноидальная категория. В случае E = Cat мы получаем приведенный выше пример эндофункторов .
- Ограниченные сверху полурешетки представляют собой строгие симметричные моноидальные категории : произведение соответствует, а тождество является верхним элементом.
- Любой обычный моноид — небольшая моноидальная категория с множеством объектов , только тождества для морфизмов , как тензорное произведение и в качестве объекта идентичности. И наоборот, множество классов изоморфизма (если это имеет смысл) моноидальной категории является моноидом относительно тензорного произведения.
- Любой коммутативный моноид может быть реализована как моноидальная категория с одним объектом. Напомним, что категория с единственным объектом — это то же самое, что и обычный моноид. По аргументу Экмана-Хилтона добавление еще одного моноидального произведения на требует, чтобы произведение было коммутативным.
Свойства и связанные с ними понятия [ править ]
Из трех определяющих условий когерентности следует, что большой класс диаграмм (т.е. диаграмм, морфизмы которых построены с использованием , , , тождества и тензорное произведение) коммутируют: это » Мак Лейна « теорема когерентности . Иногда неточно утверждают, что все такие диаграммы коммутируют.
Существует общее понятие моноидного объекта в моноидальной категории, которое обобщает обычное понятие моноида из абстрактной алгебры . Обычные моноиды — это в точности моноидные объекты в декартовой моноидальной категории Set . Кроме того, любую (маленькую) строгую моноидальную категорию можно рассматривать как моноидный объект в категории категорий Cat (наделенной моноидальной структурой, индуцированной декартовым произведением).
Моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, которые сохраняют тензорное произведение, а моноидальные естественные преобразования — это естественные преобразования между теми функторами, которые «совместимы» с тензорным произведением.
Каждую моноидальную категорию можно рассматривать как категорию B (∗, ∗) бикатегории B только с одним объектом, обозначаемым ∗.
Понятие категории C , обогащенной моноидальной категорией M, заменяет понятие множества морфизмов между парами объектов в C понятием M -объекта морфизмов между любыми двумя объектами в C .
Свободная строгая моноидальная категория [ править ]
Для каждой категории C свободная ) строгая моноидальная категория Σ( C может быть построена следующим образом:
- его объектами являются списки (конечные последовательности) A 1 ..., An объектов C , ;
- есть стрелки между двумя объектами A 1 , ..., A m и B 1 , ..., B n только в том случае, если m = n , и тогда стрелки представляют собой списки (конечные последовательности) стрелок f 1 : A 1 → B 1 , ..., f n : A n → B n of C ;
- тензорное произведение двух объектов A 1 , ..., An , и B 1 , ..., m представляет собой конкатенацию A 1 , ..., An , B B 1 , ... B m двух списки, и, аналогично, тензорное произведение двух морфизмов задается конкатенацией списков. Объект идентификации — это пустой список.
Эта операция Σ, отображающая категорию C в Σ( C ), может быть расширена до строгой 2- монады на Cat .
Специализации [ править ]
- Если в моноидальной категории и естественно изоморфны способом, совместимым с условиями когерентности, мы говорим о сплетенной моноидальной категории . Если, кроме того, этот естественный изоморфизм является обратным самому себе, мы имеем симметричную моноидальную категорию .
- Замкнутая моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой функтор имеет правый сопряженный , который называется «внутренним Hom-функтором» . Примеры включают декартовы закрытые категории, такие как Set , категория множеств, и компактные закрытые категории, такие как FdVect , категория конечномерных векторных пространств.
- Автономные категории (или компактные замкнутые категории , или жесткие категории ) — это моноидальные категории, в которых существуют двойственные категории с хорошими свойствами; они абстрагируют идею FdVect .
- Кинжаловые симметричные моноидальные категории , оснащенные дополнительным кинжальным функтором, абстрагирующим идею FdHilb , конечномерных гильбертовых пространств. К ним относятся компактные категории кинжалов .
- Категории Таннака — это моноидальные категории, обогащенные по полю, которые очень похожи на категории представления линейных алгебраических групп .
Предзаказ моноидов [ править ]
моноид Предупорядоченный — это моноидальная категория, в которой для каждых двух объектов , существует не более одного морфизма в С. В контексте предзаказов морфизм иногда отмечается . Свойства рефлексивности C и транзитивности порядка, определенные в традиционном смысле, включены в категориальную структуру посредством тождественного морфизма и формулы композиции в соответственно . Если и , то объекты изоморфны, что обозначается .
Введение моноидальной структуры в предпорядок C предполагает построение
- объект , называемая моноидальной единицей , и
- функтор , обозначается " ", называемое моноидальным умножением .
и должен быть унитарным и ассоциативным с точностью до изоморфизма, то есть:
- и .
Поскольку · является функтором,
- если и затем .
Другие условия когерентности моноидальных категорий выполняются через структуру предпорядка, поскольку каждая диаграмма коммутирует в предпорядке.
Натуральные числа являются примером моноидального предзаказа: наличие как моноидной структуры (с использованием + и 0), так и структуры предзаказа (с использованием ≤) образует моноидальный предварительный порядок как и подразумевает .
Свободный моноид на некотором порождающем наборе создает моноидальный предварительный порядок, создавая систему полу-Туэ .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Баэз, Джон ; Останься, Майк (2011). «Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень» (PDF) . В Куке, Боб (ред.). Новые структуры для физики . Конспект лекций по физике. Том. 813. Спрингер. стр. 95–172. arXiv : 0903.0340 . CiteSeerX 10.1.1.296.1044 . дои : 10.1007/978-3-642-12821-9_2 . ISBN 978-3-642-12821-9 . ISSN 0075-8450 . S2CID 115169297 . Збл 1218.81008 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Фонг, Брендан; Спивак, Дэвид И. (12 октября 2018 г.). «Семь очерков композиционности: приглашение к прикладной теории категорий». arXiv : 1803.05316 [ math.CT ].
- Джоял, Андре ; Стрит, Росс (1993). «Категории плетеных тензоров» (PDF) . Достижения в математике . 102 (1): 20–78. дои : 10.1006/aima.1993.1055 .
- Джоял, Андре; Стрит, Росс (1988). «Плоские диаграммы и тензорная алгебра» (PDF) .
- Келли, Дж. Макс (1964). «Об условиях Маклейна связности естественных ассоциативностей, коммутативностей и т. д.» . Журнал алгебры . 1 (4): 397–402. дои : 10.1016/0021-8693(64)90018-3 .
- Келли, генеральный директор (1982). Основные понятия расширенной теории категорий (PDF) . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 64. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-28702-9 . OCLC 1015056596 . Збл 0478.18005 .
- Мак Лейн, Сондерс (1963). «Естественная ассоциативность и коммутативность». Исследования в Университете Райса . 49 (4): 28–46. CiteSeerX 10.1.1.953.2731 . hdl : 1911/62865 .
- Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике. Том. 5 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98403-8 . Збл 0906.18001 .
- Моноидальная категория в n Lab
Внешние ссылки [ править ]
- СМИ, связанные с категорией «Моноидальность» на Викискладе?