Аргумент Экмана-Хилтона

О понятии двойственности в алгебраической топологии см. двойственность Экмана – Хилтона .

В математике аргумент Экмана -Хилтона (или принцип Экмана-Хилтона или теорема Экмана-Хилтона ) представляет собой аргумент о двух магмы унитарных структурах на множестве , где одна является гомоморфизмом для другой. Учитывая это, структуры одинаковы, и образующаяся магма представляет собой коммутативный моноид . Затем это можно использовать для доказательства коммутативности высших гомотопических групп . Принцип назван в честь Бено Экмана и Питера Хилтона , которые использовали его в статье 1962 года.

Экмана

Позволять $X$ — множество, снабженное двумя бинарными операциями , которые мы запишем $\circ$ и $\otimes$и предположим:

1. $\circ$ и $\otimes$ оба едины , что означает, что существуют тождественные элементы $1_{\circ }$ и $1_{\otimes }$ из $X$ такой, что $1_{\circ }\circ a=a=a\circ 1_{\circ }$ и $1_{\otimes }\otimes a=a=a\otimes 1_{\otimes }$, для всех $a\in X$.
   
2. $(a\otimes b)\circ (c\otimes d)=(a\circ c)\otimes (b\circ d)$ для всех $a,b,c,d\in X$.

Затем $\circ$ и $\otimes$ одинаковы и фактически коммутативны и ассоциативны.

Замечания

Операции $\otimes$ и $\circ$ часто называют моноидными структурами или умножениями, но это предполагает, что они считаются ассоциативными, а это свойство не требуется для доказательства. Фактически, отсюда следует ассоциативность. Аналогично, нам не нужно требовать, чтобы две операции имели один и тот же нейтральный элемент; это следствие.

Доказательство

Во-первых, обратите внимание, что единицы двух операций совпадают: $1_{\circ }=1_{\circ }\circ 1_{\circ }=(1_{\otimes }\otimes 1_{\circ })\circ (1_{\circ }\otimes 1_{\otimes })=(1_{\otimes }\circ 1_{\circ })\otimes (1_{\circ }\circ 1_{\otimes })=1_{\otimes }\otimes 1_{\otimes }=1_{\otimes }$.

Теперь позвольте $a,b\in X$.Затем $a\circ b=(1\otimes a)\circ (b\otimes 1)=(1\circ b)\otimes (a\circ 1)=b\otimes a=(b\circ 1)\otimes (1\circ a)=(b\otimes 1)\circ (1\otimes a)=b\circ a$. Тем самым устанавливается, что обе операции совпадают и коммутативны.

Для ассоциативности, $(a\otimes b)\otimes c=(a\otimes b)\otimes (1\otimes c)=(a\otimes 1)\otimes (b\otimes c)=a\otimes (b\otimes c)$.

Двумерное доказательство

Приведенное выше доказательство также имеет «двумерное» представление, которое лучше иллюстрирует его применение к высшим гомотопическим группам .В этой версии доказательства мы запишем две операции как вертикальное и горизонтальное сопоставление, т. е. ${\begin{matrix}a\\[-60pt]b\end{matrix}}$ и $a\ b$. Тогда свойство взаимообмена можно выразить следующим образом:

Для всех $a,b,c,d\in X$, ${\begin{matrix}(a\ b)\\[-60pt](c\ d)\end{matrix}}={\begin{pmatrix}a\\[-60pt]c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\[-60pt]d\end{pmatrix}}$, поэтому мы можем написать ${\begin{matrix}a\ b\\[-60pt]c\ d\end{matrix}}$ без двусмысленности.

Позволять $\bullet$ и $\circ$ быть единицами вертикальной и горизонтальной композиции соответственно. Затем $\bullet ={\begin{matrix}\bullet \\[-60pt]\bullet \end{matrix}}={\begin{matrix}\bullet \ \ \circ \\[-60pt]\circ \ \ \bullet \end{matrix}}=\circ \ \circ =\circ$, поэтому обе единицы равны.

Теперь для всех $a,b\in X$, $a\ b={\begin{matrix}a\ \ \bullet \\[-60pt]\bullet \ \ b\end{matrix}}={\begin{matrix}a\\[-60pt]b\end{matrix}}={\begin{matrix}\bullet \ \ a\\[-60pt]b\ \ \bullet \end{matrix}}=b\ a={\begin{matrix}b\ \ \bullet \\[-60pt]\bullet \ \ a\end{matrix}}={\begin{matrix}b\\[-60pt]a\end{matrix}}$, поэтому горизонтальная композиция аналогична вертикальной композиции, и обе операции коммутативны.

Наконец, для всех $a,b,c\in X$, $a\ (b\ c)=a\ {\begin{pmatrix}b\\[-60pt]c\end{pmatrix}}={\begin{matrix}a\ \ b\\[-60pt]\bullet \ \ c\end{matrix}}={\begin{matrix}(a\ b)\\[-60pt]c\end{matrix}}=(a\ b)\ c$, поэтому композиция ассоциативна.

Замечания

Если операции ассоциативны, каждая из них определяет структуру моноида на $X$, а приведенные выше условия эквивалентны более абстрактному условию, что $\otimes$ является моноидным гомоморфизмом $(X,\circ )\times (X,\circ )\to (X,\circ )$ (или наоборот). Еще более абстрактный способ формулировки теоремы: если $X$ является моноидным объектом в категории моноидов , то $X$ на самом деле является коммутативным моноидом.

Важно, что подобное рассуждение НЕ дает такого тривиального результата в случае моноидных объектов в категориях малых категорий или группоидов. Вместо этого понятие группового объекта в категории группоидов оказывается эквивалентным понятию скрещенного модуля . Это приводит к идее использования нескольких группоидных объектов в теории гомотопий.

В более общем смысле аргумент Экмана-Хилтона представляет собой частный случай использования закона обмена в теории (строгих) двойных и множественных категорий. (Строгая) двойная категория — это множество или класс, снабженный двумя структурами категорий, каждая из которых является морфизмом другой структуры. Если композиции в двух структурах категорий написаны $\circ ,\otimes$ тогда закон обмена гласит

$(a\circ b)\otimes (c\circ d)=(a\otimes c)\circ (b\otimes d)$

всякий раз, когда обе стороны определены. Пример его использования и некоторое обсуждение см. в статье Хиггинса, упомянутой ниже. Закон обмена подразумевает, что двойная категория содержит семейство абелевых моноидов.

история с гомотопическими группами Интересна . Топологи начала 20 в. знали, что неабелева фундаментальная группа может быть полезна в геометрии и анализе; что абелевы группы гомологии могут быть определены во всех измерениях; и что для связного пространства первая группа гомологии была фундаментальной группой, ставшей абелевой . Поэтому возникло желание обобщить неабелеву фундаментальную группу на все измерения.

В 1932 году Эдуард Чех представил доклад о высших гомотопических группах на Международном математическом конгрессе в Цюрихе. Однако Павел Александров и Хайнц Хопф быстро доказали, что эти группы абелевы. $n>1$и на этом основании убедил Чеха отозвать свою статью, так что в « Записках» появился лишь небольшой абзац . Говорят, что на этой конференции присутствовал Витольд Гуревич , а его первая работа о высших гомотопических группах появилась в 1935 году. Таким образом, мечты первых топологов долгое время считались миражом.

Кубические высшие гомотопические группоиды построены для фильтруемых пространств в книге «Нонабелева алгебраическая топология», цитируемой ниже, которая развивает базовую алгебраическую топологию, включая высшие аналоги теоремы Зейферта – Ван Кампена , без использования сингулярных гомологий или симплициальной аппроксимации.

Ссылки

• Джон Баэз: принцип Экмана-Хилтона (неделя 89)
• Джон Баэз: принцип Экмана-Хилтона (100-я неделя)
• Экманн, Б.; Хилтон, П.Дж. (1962), «Групповые структуры в общих категориях. I. Умножения и коумножения», Mathematische Annalen , 145 (3): 227–255, doi : 10.1007/bf01451367 , MR   0136642 .
• Гуревич , В. (1935), Вклад в топологию деформаций , Nederl. Академик Ветенш. Учеб. Сер. А, том. 38, стр. 112–119, 521–528 .
• Браун , Р.; Хиггинс, П.Дж.; Сивера, Р. (2011), Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды , Трактаты Европейского математического общества по математике, том. 15, с. 703, arXiv : math/0407275 , MR   2841564 .
• Хиггинс, П.Дж. (2005), «Тонкие элементы и коммутативные оболочки в кубических $\omega$-категориях» , Теория и применение категорий , 14 : 60–74, MR   2122826 .
• Джеймс, IM (1999), История топологии , Северная Голландия
• Мюррей Бремнер и Сара Мадариага. (2014) Перестановка элементов в двойных полугруппах

Внешние ссылки

• Евгения Ченг из видеокоманды «Кэтстеры» объясняет аргумент Экмана-Хилтона.
• Теория групп более высокой размерности