Бесплатная алгебра

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория колец , свободная алгебра является некоммутативным аналогом кольца полиномов, поскольку ее элементы могут быть описаны как «многочлены» с некоммутирующими переменными. Аналогично кольцо многочленов можно рассматривать как свободную коммутативную алгебру .

Определение

Для R коммутативного кольца свободная ( ассоциативная , с единицей ) алгебра на n неопределенных { X1 _, ..., Xn _} — это свободный R -модуль с базой, состоящей из всех слов алфавита { X1 _, ... ., X _n } (включая пустое слово, являющееся единицей свободной алгебры). Этот R -модуль становится R -алгеброй , определяя умножение следующим образом: произведение двух базисных элементов представляет собой объединение соответствующих слов:

\left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},

и произведение двух произвольных элементов R -модуля, таким образом, определяется однозначно (поскольку умножение в R -алгебре должно быть R -билинейным). Эту R -алгебру обозначают R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩. Эту конструкцию легко обобщить на произвольное множество X неопределенных величин.

Короче говоря, для произвольного набора $X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}$ свободная ( ассоциативная , унитарная ) R - алгебра на X есть

R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw

с R -билинейным умножением, которое представляет собой конкатенацию слов, где X * обозначает свободный моноид на X (т.е. слова на буквах X _i ), $\oplus$ обозначает внешнюю прямую сумму , а Rw обозначает свободный R -модуль на 1 элементе, слово w .

Например, в R ⟨ X ₁ , X ₂ , X ₃ , X ₄ ⟩ для скаляров α, β, γ, δ ∈ R конкретным примером произведения двух элементов является

$(\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}$ .

Кольцо некоммутативного многочлена можно отождествить с кольцом моноида над R свободного моноида всех конечных слов из X _i .

Контраст с полиномами

Поскольку слова в алфавите { X ₁ , ..., X _n } образуют базис R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩, то ясно, что любой элемент R ⟨ X ₁ , ..., X _n ⟩ можно однозначно записать в виде:

\sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},

где $a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ являются элементами R , и все эти элементы, кроме конечного числа, равны нулю. Это объясняет, почему элементы R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ часто обозначаются как «некоммутативные многочлены» от «переменных» (или «неопределенных») X ₁ ,..., X _n ; элементы $a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ называются «коэффициентами» этих многочленов, а R -алгебра R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ называется «некоммутативной полиномиальной алгеброй над R от n неопределенных». Обратите внимание, что в отличие от реального кольца полиномов , переменные не коммутируют . Например, X ₁ X ₂ не равно X ₂ X ₁ .

В более общем смысле, можно построить свободную алгебру R ⟨ E ⟩ на любом E генераторов множестве . Поскольку кольца можно рассматривать как Z -алгебры, свободное кольцо на E можно определить как свободную алгебру Z ⟨ E ⟩.

Над полем свободная алгебра на n неопределенных может быть построена как тензорная алгебра на n -мерном векторном пространстве . Для более общего кольца коэффициентов та же конструкция работает, если мы возьмем свободный модуль от n образующих .

Конструкция свободной алгебры на E является функториальной по своей природе и удовлетворяет подходящему универсальному свойству . Функтор свободной алгебры сопряжен слева с функтором забывчивости из категории R -алгебр в категорию множеств .

Свободные алгебры над телами — это свободные идеальные кольца .

См. также

Ссылки

Берстель, Жан; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 137. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-19022-0 . Збл 1250.68007 .
Л. А. Бокуть (2001) [1994], «Свободная ассоциативная алгебра» , Энциклопедия математики , EMS Press