Оператор закрытия

В математике оператор замыкания множества S — это функция $\operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(S)\rightarrow {\mathcal {P}}(S)$ из степенного набора S в себя , который удовлетворяет следующим условиям для всех наборов $X,Y\subseteq S$

$X\subseteq \operatorname {cl} (X)$	(cl обширен ),
$X\subseteq Y\Rightarrow \operatorname {cl} (X)\subseteq \operatorname {cl} (Y)$	(cl увеличивается ),
$\operatorname {cl} (\operatorname {cl} (X))=\operatorname {cl} (X)$	(cl идемпотент ).

Операторы замыкания определяются своими замкнутыми множествами , т. е. множествами вида cl( X ), поскольку замыкание cl( X ) множества X есть наименьшее замкнутое множество, X. содержащее Такие семейства «замкнутых множеств» иногда называют системами замыкания или « семействами Мура ». Множество вместе с оператором замыкания на нем иногда называют пространством замыкания . Операторы замыкания также называются « операторами оболочки », что позволяет избежать путаницы с «операторами замыкания», изучаемыми в топологии .

История

Э. Х. Мур изучал операторы замыкания в своем «Введении в одну из форм общего анализа» 1910 года , тогда как концепция замыкания подмножества возникла в работах Фридьеса Рисса в связи с топологическими пространствами. Хотя идея закрытия в то время не была формализована, она возникла в конце 19 века благодаря заметному вкладу Эрнста Шредера , Рихарда Дедекинда и Георга Кантора .

Примеры

Выпуклая оболочка (красная) многоугольника ( желтая)

Обычное замыкание множества из топологии является оператором замыкания. Другие примеры включают линейную оболочку подмножества векторного пространства , выпуклую оболочку или аффинную оболочку подмножества векторного пространства или нижнюю полунепрерывную оболочку. ${\overline {f}}$ функции $f\colon E\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$, где $E$ например, нормированное пространство , определенное неявно $\operatorname {epi} ({\overline {f}})={\overline {\operatorname {epi} (f)}}$, где $\operatorname {epi} (f)$ это эпиграф функции $f$.

Относительный интерьер $\operatorname {ri}$ не является оператором замыкания: хотя он идемпотентен, но не возрастает, и если $C_{1}$ это куб в $\mathbb {R} ^{3}$ и $C_{2}$ является одним из его лиц, то $C_{2}\subset C_{1}$, но $\operatorname {ri} (C_{1})\neq \emptyset \neq \operatorname {ri} (C_{2})$ и $\operatorname {ri} (C_{1})\cap \operatorname {ri} (C_{2})=\emptyset$, поэтому оно не увеличивается.

В топологии операторы замыкания — это топологического операторы замыкания , которые должны удовлетворять

$\operatorname {cl} (X_{1}\cup \dots \cup X_{n})=\operatorname {cl} (X_{1})\cup \dots \cup \operatorname {cl} (X_{n})$

для всех $n\in \mathbb {N}$ (Обратите внимание, что для $n=0$ это дает $\operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing$).

В алгебре и логике многие операторы замыкания являются операторами финитного замыкания , т. е. они удовлетворяют условиям

$\operatorname {cl} (X)=\bigcup \left\{\operatorname {cl} (Y):Y\subseteq X{\text{ and }}Y{\text{ finite}}\right\}.$

В теории частично упорядоченных множеств , которая важна для теоретической информатики , операторы замыкания имеют более общее определение, которое заменяет $\subseteq$ с $\leq$. (См . § Операторы замыкания на частично упорядоченных множествах .)

Операторы замыкания в топологии

Основная статья: аксиомы замыкания Куратовского

Топологическое замыкание подмножества X топологического пространства всех точек y пространства, таких, что каждая окрестность y X содержит точку состоит из . Функция, которая сопоставляет каждому подмножеству X его замыкание, является оператором топологического замыкания. И наоборот, каждый оператор топологического замыкания на множестве порождает топологическое пространство, замкнутые множества которого являются в точности замкнутыми множествами относительно оператора замыкания.

Операторы замыкания в алгебре

Операторы финитного замыкания играют относительно заметную роль в универсальной алгебре , и в этом контексте их традиционно называют операторами алгебраического замыкания . Каждое подмножество алгебры порождает подалгебру : . наименьшую подалгебру, содержащую это множество Это приводит к появлению оператора финитного замыкания.

Возможно, самым известным примером этого является функция, которая сопоставляет каждому подмножеству данного векторного пространства его линейный интервал . Аналогично, функция, которая сопоставляет каждому подмножеству данной группы полей порожденную ею подгруппу, и аналогично для и всех других типов алгебраических структур .

Линейная оболочка в векторном пространстве и аналогичное алгебраическое замыкание в поле удовлетворяют свойству обмена: если x находится в замыкании объединения A и { y }, но не в замыкании A , то y находится в замыкании объединения A и { x }. Оператор финитного замыкания, обладающий этим свойством, называется матроидом . Размерность степень векторного пространства или трансцендентности поля (над его простым полем ) равна в точности рангу соответствующего матроида.

Функция, которая отображает каждое подмножество данного поля в его алгебраическое замыкание , также является оператором финитного замыкания и в целом отличается от оператора, упомянутого ранее. Операторы финитного замыкания, которые обобщают эти два оператора, изучаются в теории моделей как dcl (для определимого замыкания ) и acl (для алгебраического замыкания ).

Выпуклая оболочка в n -мерном евклидовом пространстве является еще одним примером оператора финитного замыкания. Он удовлетворяет свойству антиобмена: если x находится в замыкании объединения { y } и A , но не в объединении { y } и замыкании A , то y не входит в замыкание объединения { х } А. и Операторы финитного замыкания с этим свойством порождают антиматроиды .

Другой пример оператора замыкания, используемого в алгебре: если некоторая алгебра имеет универсум A и X представляет собой набор пар A , то оператор, присваивающий X наименьшее сравнение, содержащее X, является оператором финитного замыкания на A x A .

Операторы замыкания в логике

Предположим, у вас есть некий логический формализм , содержащий определенные правила, позволяющие выводить новые формулы из заданных. Рассмотрим множество F всех возможных формул, и пусть P — степеней набор F , упорядоченный по ⊆. Для набора X формул пусть cl( X ) будет набором всех формул, которые могут быть получены из X . оператор замыкания на P. Тогда cl — Точнее, мы можем получить cl следующим образом. Назовем «непрерывным» оператор J такой, что для направленного класса T каждого

J (lim Т ) знак равно Lim J ( Т ).

Это условие непрерывности основано на теореме о неподвижной точке для J . Рассмотрим одношаговый оператор J монотонной логики. Это оператор, связывающий любой набор X формул с набором J ( X либо получены по правилу вывода из формул в X или находятся в X. ) формул, которые либо являются логическими аксиомами , Тогда такой оператор непрерывен, и мы можем определить cl( X ) как наименьшую неподвижную точку для J, или равного X. большего В соответствии с такой точкой зрения Тарский, Браун, Сушко и другие авторы предложили общий подход к логике, основанный на теории операторов замыкания. Также такая идея предлагается в логике программирования (см. Lloyd 1987) и нечеткой логике (см. Gerla 2000).

Операторы следствия

Примерно в 1930 году Альфред Тарский разработал абстрактную теорию логических выводов, которая моделирует некоторые свойства логических исчислений. Математически то, что он описал, — это просто оператор финитного замыкания множества (множества предложений ). В абстрактной алгебраической логике операторы финитного замыкания до сих пор изучаются под названием «оператор следствия» , который был придуман Тарским. Множество S представляет собой набор предложений, подмножество T теории S , а cl( T ) — это набор всех предложений, которые следуют из теории. В настоящее время этот термин может относиться к операторам замыкания, которые не обязательно должны быть финитными; операторы финитного замыкания иногда называют операторами конечного следствия .

Закрытые наборы

Замкнутые множества относительно оператора замыкания на S образуют подмножество C набора степеней P ( S ). Любое пересечение множеств в C находится в C. снова Другими словами, C — полная встреча-подполурешетка P ( S ). И наоборот, если C ⊆ P ( S ) замкнуто относительно произвольных пересечений, то функция, которая сопоставляет каждому подмножеству X из S наименьшее множество Y ∈ C такое, что X ⊆ Y, является оператором замыкания.

Существует простой и быстрый алгоритм генерации всех замкнутых множеств данного оператора замыкания.

Оператор замыкания на множестве топологичен тогда и только тогда, когда множество замкнутых множеств замкнуто относительно конечных объединений, т. е. C является полной подрешеткой P ( S ). Даже для нетопологических операторов замыкания C можно рассматривать как имеющий структуру решетки. (Объединение двух множеств X , Y ⊆ P ( S ) равно cl( X $\cup$ Y ).) Но тогда C не является подрешеткой решетки P ( S ).

Учитывая оператор финитного замыкания на множестве, замыкания конечных множеств являются в точности компактными элементами множества C замкнутых множеств. Отсюда следует, что C — алгебраическое ЧУМ .Поскольку C также является решеткой, в этом контексте ее часто называют алгебраической решеткой. И наоборот, если C — алгебраическое ЧУМ, то оператор замыкания финитирен.

Псевдозамкнутые множества

Каждый оператор замыкания на конечном множестве S однозначно определяется своими образами своих псевдозамкнутых множеств. Они определяются рекурсивно: Множество является псевдозамкнутым, если оно не замкнуто и содержит замыкание каждого из своих собственных псевдозамкнутых подмножеств. Формально: P ⊆ S псевдозамкнуто тогда и только тогда, когда

• P ≠ cl( P ) и
• если Q ⊂ P псевдозамкнуто, то cl( Q ) ⊆ P .

Операторы замыкания частично упорядоченных множеств

Частично упорядоченный набор (poset) — это набор вместе с частичным порядком ≤, т.е. бинарное отношение , которое является рефлексивным ( a ≤ a ), транзитивным ( a ≤ b ≤ c подразумевает a ≤ c ) и антисимметричным ( a ≤ b ≤ a подразумевает а = б ). Каждое степенное множество P ( S ) вместе с включением ⊆ является частично упорядоченным множеством.

Функция cl: P → P из частичного порядка P в себя называется оператором замыкания, если она удовлетворяет следующим аксиомам для всех x , y в P. элементов

х ≤ кл( х )	(cl обширен )
x ≤ y подразумевает cl( x ) ≤ cl( y )	(cl увеличивается )
кл(кл( х )) = кл( х )	(cl идемпотент )

Доступны более сжатые альтернативы: приведенное выше определение эквивалентно единственной аксиоме.

x ≤ cl( y ) тогда и только тогда, когда cl( x ) ≤ cl( y )

для x , y в P. всех

Используя поточечный порядок функций между частично упорядоченными множествами, можно альтернативно записать свойство экстенсивности как id _P ≤ cl, где id — тождественная функция . Самоотображение k, которое является возрастающим и идемпотентным, но удовлетворяет двойственному свойству экстенсивности, т. е. k ≤ id _P, называется оператором ядра , внутренний оператор , или двойное закрытие . Например, если A является подмножеством множества B , то самоотображение на множестве степеней B, заданное формулой µ _A ( X ) = A ∪ X , является оператором замыкания, тогда как λ _A ( X ) = A ∩ X является оператором замыкания. оператор ядра. Функция потолка от действительных чисел к действительным числам, которая присваивает каждому вещественному x наименьшее целое число, не меньшее x , является еще одним примером оператора замыкания.

Неподвижная точка функции cl, т.е. элемент c из P , который удовлетворяет условию cl( c ) = c , называется замкнутым элементом . Оператор замыкания частично упорядоченного множества определяется его замкнутыми элементами. Если c — замкнутый элемент, то x ≤ c и cl( x ) ≤ c — эквивалентные условия.

Каждое соединение Галуа (или резидуированное отображение ) порождает оператор замыкания (как объясняется в этой статье). Фактически, каждый оператор замыкания возникает таким образом из подходящей связности Галуа. Связность Галуа не определяется однозначно оператором замыкания. Одно соединение Галуа, которое порождает оператор замыкания cl, можно описать следующим образом: если A — множество замкнутых элементов относительно cl, то cl: P → A — нижний сопряженный связности Галуа между P и A , причем верхним сопряжением является вложение A в P . Более того, каждый нижний сопряженный вложения некоторого подмножества в P является оператором замыкания. «Операторы замыкания — это нижние сопряжения вложений». Однако обратите внимание, что не каждое вложение имеет нижний сопряженный.

Любое частично упорядоченное множество P можно рассматривать как категорию с единственным морфизмом от x до y тогда и только тогда, когда x ≤ y . операторы замыкания частично упорядоченного множества P Тогда как монады категории P. представляют собой не что иное , Эквивалентно, оператор замыкания можно рассматривать как эндофунктор категории частично упорядоченных множеств, который обладает дополнительными идемпотентными и экстенсивными свойствами.

Если P — полная решетка , то подмножество A в P является множеством замкнутых элементов для некоторого оператора замыкания на P тогда и только тогда, когда A — семейство Мура на P , т. е. наибольший элемент P находится в A , а нижняя грань (встреча) любого непустого подмножества A снова находится в A . Любой такой набор A сам по себе является полной решеткой с порядком, унаследованным от P (но операция супремума (объединения) может отличаться от операции P ). Когда P — степенная булева алгебра множества X , то семейство Мура на P называется замыкания на X. системой

Операторы замыкания на P сами образуют полную решетку; порядок операторов замыкания определяется как cl ₁ ≤ cl ₂ тогда и только тогда, когда cl ₁ ( x ) ≤ cl ₂ ( x ) для всех x в P .

См. также

• Оператор закрытия Čech – Оператор закрытия. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Замыкание (топология) - все точки и предельные точки в подмножестве топологического пространства.
• Связь Галуа - Особое соответствие между двумя частично упорядоченными множествами.
• Внутренняя алгебра – Алгебраическая структура
• Интерьер (топология) - наибольшее открытое подмножество некоторого заданного набора.
• Аксиомы замыкания Куратовского - математическая концепция. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Оператор предварительного закрытия – Оператор закрытия

Ссылки

• Гаррет Биркгоф . 1967 (1940). Теория решеток, 3-е изд . Американское математическое общество.
• Беррис, Стэнли Н. и HP Санкаппанавар (1981) Курс универсальной алгебры Springer-Verlag. ISBN   3-540-90578-2 Бесплатное онлайн-издание .
• Браун, DJ и Сушко, Р. (1973) «Абстрактная логика», Mathematical Dissertations 102-9-42.
• Кастеллини, Г. (2003) Операторы категориального замыкания . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер.
• Эдельман, Пол Х. (1980) Дистрибутивные решетки и антиобменное замыкание, Algebra Universalis 10: 290-299.
• Гантер, Бернхард и Объедков, Сергей (2016) Концептуальное исследование . джемпер, ISBN   978-3-662-49290-1 .
• Герла, Г. (2000) Нечеткая логика: математические инструменты для приближенного рассуждения . Академическое издательство Kluwer .
• Ллойд, JW (1987) Основы логического программирования . Спрингер-Верлаг .
• Тарский, Альфред (1983) «Фундаментальные концепции методологии дедуктивных наук» в логике, семантике, метаматематике . Хакетт (изд. 1956 г., Oxford University Press ).
• Альфред Тарский (1956) Логика, семантика и метаматематика . Издательство Оксфордского университета .
• Уорд, Морган (1942) «Операторы замыкания решетки», Annals of Mathematics 43: 191–96.
• Г. Гирц, К. Х. Хофманн, К. Кеймель, Дж. Д. Лоусон, М. Мислов, Д. С. Скотт: непрерывные решетки и области , издательство Кембриджского университета, 2003 г.
• Т. С. Блит, Решетки и упорядоченные алгебраические структуры , Springer, 2005, ISBN   1-85233-905-5 .
• М. Эрне, Дж. Козловски, А. Мелтон, Дж. Э. Стрекер, Букварь по связям Галуа , в: Материалы летней конференции 1991 года по общей топологии и приложениям в честь Мэри Эллен Рудин и ее работ, Анналы Нью-Йоркской академии. наук, Vol. 704, 1993, стр. 103–125. Доступно онлайн в различных форматах файлов: PS.GZ PS.

Внешние ссылки

• Стэнфордская энциклопедия философии : « Алгебраическая логика высказываний » — Рамон Джансана.