Относительный интерьер

В математике относительная внутренняя часть — множества это уточнение концепции внутренней части , которая часто более полезна при работе с низкоразмерными множествами, помещенными в пространства более высокой размерности.

Формально относительная внутренность множества $S$ (обозначается $\operatorname {relint} (S)$) определяется как его внутренняя часть внутри аффинной оболочки $S.$ Другими словами, $$\operatorname {relint} (S):=\{x\in S:{\text{ there exists }}\epsilon >0{\text{ such that }}B_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\},$$где $\operatorname {aff} (S)$ является аффинной оболочкой $S,$ и $B_{\epsilon }(x)$ представляет собой шар радиуса $\epsilon$ сосредоточено на $x$. Для построения шара можно использовать любую метрику; все метрики определяют тот же набор, что и относительный интерьер.

Множество является относительно открытым тогда и только тогда, когда оно равно своей относительной внутренности. Обратите внимание, что когда $\operatorname {aff} (S)$ является замкнутым подпространством полного векторного пространства (всегда так, когда полное векторное пространство конечномерно), то быть относительно замкнутым эквивалентно замкнутости.

Для любого выпуклого множества $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ относительная внутренняя часть эквивалентно определяется как $${\begin{aligned}\operatorname {relint} (C)&:=\{x\in C:{\text{ for all }}y\in C,{\text{ there exists some }}\lambda >1{\text{ such that }}\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}\\&=\{x\in C:{\text{ for all }}y\neq x\in C,{\text{ there exists some }}z\in C{\text{ such that }}x\in (y,z)\}.\end{aligned}}$$где $x\in (y,z)$ означает, что существует некоторый $0<\lambda <1$ такой, что $x=\lambda z+(1-\lambda )y$.

Сравнение с интерьером

• Внутренность точки в по крайней мере одномерном окружающем пространстве пуста, но ее относительная внутренняя часть — это сама точка.

• Внутренняя часть отрезка в по крайней мере двумерном окружающем пространстве пуста, но его относительная внутренняя часть — это отрезок без конечных точек.

• Внутренняя часть диска в, по крайней мере, трехмерном окружающем пространстве пуста, но его относительная внутренняя часть представляет собой тот же диск без круглого края.

Характеристики

Теорема — Если $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ непусто и выпукло, то его относительная внутренность $\mathrm {relint} (A)$ является объединением вложенной последовательности непустых компактных выпуклых подмножеств $K_{1}\subset K_{2}\subset K_{3}\subset \cdots \subset \mathrm {relint} (A)$.

Доказательство

Поскольку мы всегда можем перейти к аффинной области $A$, WLOG, относительный интерьер имеет размерность $n$. Теперь позвольте $K_{j}\equiv [-j,j]^{n}\cap \left\{x\in {\text{int}}(K):\mathrm {dist} (x,({\text{int}}(K))^{c})\geq {\frac {1}{j}}\right\}$.

Теорема — Здесь «+» обозначает сумму Минковского .

• $\mathrm {relint} (S_{1})+\mathrm {relint} (S_{2})\subset \mathrm {relint} (S_{1}+S_{2})$ для общих наборов. Они равны, если оба $S_{1},S_{2}$ также выпуклые.

• Если $S_{1},S_{2}$ являются выпуклыми и относительно открытыми множествами, то $S_{1}+S_{2}$ выпуклая и относительно открытая.

Теорема - Здесь $\mathrm {Cone}$ обозначает положительный конус . То есть, $\mathrm {Cone} (S)=\{rx:x\in S,r>0\}$.

• $\mathrm {Cone} (\mathrm {relint} (S))\subset \mathrm {relint} (\mathrm {Cone} (S))$. Они равны, если $S$ является выпуклым.

См. также

• Интерьер (топология) - наибольшее открытое подмножество некоторого заданного набора.
• Алгебраический интерьер - Обобщение топологического интерьера.
• Квазиотносительный интерьер - Обобщение алгебраического интерьера.

Ссылки

• Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN  978-981-4488-15-0 . МР   1921556 . OCLC   285163112 – через Интернет-архив .

Дальнейшее чтение

• Бойд, Стивен; Ливен Ванденберге (2004). Выпуклая оптимизация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 23. ISBN  0-521-83378-7 .