Метризуемое топологическое векторное пространство

В функциональном анализе смежных областях математики метризуемое и (соответственно псевдометризуемое ) топологическое векторное пространство (TVS) — это TVS, топология которого индуцируется метрикой (соответственно псевдометрикой ). LM -пространство является индуктивным пределом последовательности локально выпуклых метризуемых ТВС.

Псевдометрика и метрика

Псевдометрика множестве на $X$ это карта $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$ удовлетворяющий следующим свойствам:

1. $d(x,x)=0{\text{ for all }}x\in X$;
2. Симметрия : $d(x,y)=d(y,x){\text{ for all }}x,y\in X$;
3. Субаддитивность : $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z){\text{ for all }}x,y,z\in X.$

Псевдометрика называется метрикой, если она удовлетворяет:

4. Личность неразличимых : для всех $x,y\in X,$ если $d(x,y)=0$ затем $x=y.$

Ультрапсевдометрический

Псевдометрический $d$ на $X$ называется ультрапсевдометрической или сильной псевдометрикой, если она удовлетворяет:

5. Сильное / ультраметрическое неравенство треугольника : $d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}{\text{ for all }}x,y,z\in X.$

Псевдометрическое пространство

Псевдометрическое пространство – это пара $(X,d)$ состоящий из набора $X$ и псевдометрика $d$ на $X$ такой, что $X$топология идентична топологии на $X$ вызванный $d.$ Мы называем псевдометрическим пространством $(X,d)$ метрическое пространство (соответственно ультрапсевдометрическое пространство ), когда $d$ является метрикой (соответственно ультрапсевдометрической).

Топология, индуцированная псевдометрикой

Если $d$ является псевдометрикой на множестве $X$ затем сбор открытых шаров : $$B_{r}(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}$$ как $z$ колеблется в пределах $X$ и $r>0$ колеблется в пределах положительных действительных чисел,составляет основу топологии на $X$ это называется $d$-топология или псевдометрическая топология на $X$ вызванный $d.$

Конвенция : Если $(X,d)$ является псевдометрическим пространством и $X$ рассматривается как топологическое пространство , то, если не указано иное, следует считать, что $X$ наделен топологией, индуцированной $d.$

Псевдометризуемое пространство

Топологическое пространство $(X,\tau )$ называется псевдометризуемым (соответственно метризуемым , ультрапсевдометризуемым ), если существует псевдометрика (соответственно метрика, ультрапсевдометрическая) $d$ на $X$ такой, что $\tau$ равна топологии, индуцированной $d.$

Псевдометрика и значения топологических групп

Аддитивная топологическая группа — это аддитивная группа, наделенная топологией, называемой групповой топологией , при которой сложение и отрицание становятся непрерывными операторами.

Топология $\tau$ в реальном или комплексном векторном пространстве $X$ называется векторной топологией или TVS-топологией, если она делает операции сложения векторов и скалярного умножения непрерывными (т. е. если она делает $X$ в топологическое векторное пространство ).

Каждое топологическое векторное пространство (ТВП) $X$ является аддитивной коммутативной топологической группой, но не все групповые топологии на $X$ являются векторными топологиями. Это связано с тем, что, несмотря на то, что групповая топология в векторном пространстве делает сложение и отрицание непрерывными, $X$ может не обеспечить непрерывность скалярного умножения. Например, дискретная топология любого нетривиального векторного пространства делает сложение и отрицание непрерывными, но не делает непрерывным скалярное умножение.

Инвариантные к трансляции псевдометрики

Если $X$ является аддитивной группой, то мы говорим, что псевдометрика $d$ на $X$ является трансляционно-инвариантным или просто инвариантным, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Инвариантность перевода : $d(x+z,y+z)=d(x,y){\text{ for all }}x,y,z\in X$;
2. $d(x,y)=d(x-y,0){\text{ for all }}x,y\in X.$

Значение/G-полунорма

Если $X$ является топологической группой, или значением G -полунормой на $X$ ( G означает группу) является действительным отображением. $p:X\rightarrow \mathbb {R}$ со следующими свойствами:

1. Неотрицательный : $p\geq 0.$
2. Субаддитив : $p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ for all }}x,y\in X$;
3. $p(0)=0..$
4. Симметричный : $p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\in X.$

где G-полунорму мы называем G-нормой, если она удовлетворяет дополнительному условию:

5. Итого / положительно определенное : если $p(x)=0$ затем $x=0.$

Свойства значений

Если $p$ значение в векторном пространстве $X$ затем:

• $|p(x)-p(y)|\leq p(x-y){\text{ for all }}x,y\in X.$
• $p(nx)\leq np(x)$ и ${\frac {1}{n}}p(x)\leq p(x/n)$ для всех $x\in X$ и положительные целые числа $n.$
• Набор $\{x\in X:p(x)=0\}$ является аддитивной подгруппой $X.$

Эквивалентность на топологических группах

Теорема — Предположим, что $X$ является аддитивной коммутативной группой. Если $d$ является трансляционно-инвариантной псевдометрикой на $X$ тогда карта $p(x):=d(x,0)$ это значение на $X$ называется значением, связанным с $d$, и более того, $d$ генерирует групповую топологию на $X$ (т.е. $d$-топология на $X$ делает $X$ в топологическую группу).И наоборот, если $p$ это значение на $X$ тогда карта $d(x,y):=p(x-y)$ является трансляционно-инвариантной псевдометрикой на $X$ и ценность, связанная с $d$ это просто $p.$

Псевдометризуемые топологические группы

Теорема - Если $(X,\tau )$ является аддитивной коммутативной топологической группой , то следующие условия эквивалентны:

1. $\tau$ индуцируется псевдометрикой; (т.е. $(X,\tau )$ псевдометризуема);
2. $\tau$ индуцируется трансляционно-инвариантной псевдометрикой;
3. элемент идентичности в $(X,\tau )$ имеет счетный базис окрестности.

Если $(X,\tau )$ является Хаусдорфом, то слово «псевдометрический» в приведенном выше утверждении можно заменить словом «метрический». Коммутативная топологическая группа метризуема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и псевдометризуема.

Инвариантная псевдометрика, не индуцирующая векторную топологию.

Позволять $X$ быть нетривиальным (т.е. $X\neq \{0\}$) вещественное или комплексное векторное пространство и пусть $d$ — трансляционно-инвариантная тривиальная метрика на $X$ определяется $d(x,x)=0$ и $d(x,y)=1{\text{ for all }}x,y\in X$ такой, что $x\neq y.$ Топология $\tau$ что $d$ вызывает $X$ дискретная топология , которая делает $(X,\tau )$ в коммутативную топологическую группу при сложении, но не образует векторную топологию на $X$ потому что $(X,\tau )$ несвязен , но каждая векторная топология связна. Ошибка заключается в том, что скалярное умножение не является непрерывным. $(X,\tau ).$

Этот пример показывает, что трансляционно-инвариантной (псевдо)метрики недостаточно , чтобы гарантировать векторную топологию, что приводит нас к определению паранорм и F -полунорм.

Аддитивные последовательности

Коллекция ${\mathcal {N}}$ подмножеств векторного пространства называется аддитивным. если для каждого $N\in {\mathcal {N}},$ существует какой-то $U\in {\mathcal {N}}$ такой, что $U+U\subseteq N.$

Непрерывность сложения в 0 — Если $(X,+)$ является группой (как и все векторные пространства), $\tau$ это топология на $X,$ и $X\times X$ наделен топологией произведения , то картой сложения $X\times X\to X$ (то есть карта $(x,y)\mapsto x+y$) непрерывен в начале координат $X\times X$ тогда и только тогда, когда множество окрестностей начала координат в $(X,\tau )$ является аддитивным. Это утверждение остается верным, если слово «соседство» заменить на «открытое соседство».

Следовательно, все вышеперечисленные условия являются необходимыми для того, чтобы топология сформировала векторную топологию. Аддитивные последовательности множеств обладают тем особенно приятным свойством, что они определяют неотрицательные непрерывные субаддитивные функции с действительным знаком. Эти функции затем можно использовать для доказательства многих основных свойств топологических векторных пространств, а также для демонстрации того, что хаусдорфова ТВС со счетным базисом окрестностей метризуема. Следующая теорема верна в более общем смысле для коммутативных аддитивных топологических групп .

Теорема — Пусть $U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }$ быть совокупностью подмножеств векторного пространства такой, что $0\in U_{i}$ и $U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}$ для всех $i\geq 0.$ Для всех $u\in U_{0},$ позволять $$\mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.$$

Определять $f:X\to [0,1]$ к $f(x)=1$ если $x\not \in U_{0}$ а иначе пусть $$f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.$$

Затем $f$ является субаддитивным (т.е. $f(x+y)\leq f(x)+f(y){\text{ for all }}x,y\in X$) и $f=0$ на $\bigcap _{i\geq 0}U_{i},$ так в частности $f(0)=0.$ Если все $U_{i}$ являются симметричными множествами , то $f(-x)=f(x)$ и если все $U_{i}$ сбалансированы тогда $f(sx)\leq f(x)$ для всех скаляров $s$ такой, что $|s|\leq 1$ и все $x\in X.$ Если $X$ является топологическим векторным пространством, и если все $U_{i}$ являются окрестностями начала координат, тогда $f$ является непрерывным, причем если, кроме того, $X$ это Хаусдорф и $U_{\bullet }$ образует основу сбалансированных окрестностей начала в $X$ затем $d(x,y):=f(x-y)$ — метрика, определяющая векторную топологию на $X.$

show Доказательство

Assume that $n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)$ always denotes a finite sequence of non-negative integers and use the notation: $$\sum 2^{-n_{\bullet }}:=2^{-n_{1}}+\cdots +2^{-n_{k}}\quad {\text{ and }}\quad \sum U_{n_{\bullet }}:=U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}.$$ For any integers $n\geq 0$ and $d>2,$$$U_{n}\supseteq U_{n+1}+U_{n+1}\supseteq U_{n+1}+U_{n+2}+U_{n+2}\supseteq U_{n+1}+U_{n+2}+\cdots +U_{n+d}+U_{n+d+1}+U_{n+d+1}.$$ From this it follows that if $n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)$ consists of distinct positive integers then $\sum U_{n_{\bullet }}\subseteq U_{-1+\min \left(n_{\bullet }\right)}.$ It will now be shown by induction on $k$ that if $n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)$ consists of non-negative integers such that $\sum 2^{-n_{\bullet }}\leq 2^{-M}$ for some integer $M\geq 0$ then $\sum U_{n_{\bullet }}\subseteq U_{M}.$ This is clearly true for $k=1$ and $k=2$ so assume that $k>2,$ which implies that all $n_{i}$ are positive. If all $n_{i}$ are distinct then this step is done, and otherwise pick distinct indices $i<j$ such that $n_{i}=n_{j}$ and construct $m_{\bullet }=\left(m_{1},\ldots ,m_{k-1}\right)$ from $n_{\bullet }$ by replacing each $n_{i}$ with $n_{i}-1$ and deleting the $j^{\text{th}}$ element of $n_{\bullet }$ (all other elements of $n_{\bullet }$ are transferred to $m_{\bullet }$ unchanged). Observe that $\sum 2^{-n_{\bullet }}=\sum 2^{-m_{\bullet }}$ and $\sum U_{n_{\bullet }}\subseteq \sum U_{m_{\bullet }}$ (because $U_{n_{i}}+U_{n_{j}}\subseteq U_{n_{i}-1}$) so by appealing to the inductive hypothesis we conclude that $\sum U_{n_{\bullet }}\subseteq \sum U_{m_{\bullet }}\subseteq U_{M},$ as desired. It is clear that $f(0)=0$ and that $0\leq f\leq 1$ so to prove that $f$ is subadditive, it suffices to prove that $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ when $x,y\in X$ are such that $f(x)+f(y)<1,$ which implies that $x,y\in U_{0}.$ This is an exercise. If all $U_{i}$ are symmetric then $x\in \sum U_{n_{\bullet }}$ if and only if $-x\in \sum U_{n_{\bullet }}$ from which it follows that $f(-x)\leq f(x)$ and $f(-x)\geq f(x).$ If all $U_{i}$ are balanced then the inequality $f(sx)\leq f(x)$ for all unit scalars $s$ such that $|s|\leq 1$ is proved similarly. Because $f$ is a nonnegative subadditive function satisfying $f(0)=0,$ as described in the article on sublinear functionals, $f$ is uniformly continuous on $X$ if and only if $f$ is continuous at the origin. If all $U_{i}$ are neighborhoods of the origin then for any real $r>0,$ pick an integer $M>1$ such that $2^{-M}<r$ so that $x\in U_{M}$ implies $f(x)\leq 2^{-M}<r.$ If the set of all $U_{i}$ form basis of balanced neighborhoods of the origin then it may be shown that for any $n>1,$ there exists some $0<r\leq 2^{-n}$ such that $f(x)<r$ implies $x\in U_{n}.$ $\blacksquare$

Паранормы

Если $X$ это векторное пространство над действительными или комплексными числами, тогда это паранорма на $X$ является G-полунормой (определено выше) $p:X\rightarrow \mathbb {R}$ на $X$ удовлетворяющее любому из следующих дополнительных условий, каждое из которых начинается со слов «для всех последовательностей $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $X$ и все сходящиеся последовательности скаляров $s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$":

1. Непрерывность умножения : если $s$ является скаляром и $x\in X$ таковы, что $p\left(x_{i}-x\right)\to 0$ и $s_{\bullet }\to s,$ затем $p\left(s_{i}x_{i}-sx\right)\to 0.$
2. Оба условия:
   • если $s_{\bullet }\to 0$ и если $x\in X$ таков, что $p\left(x_{i}-x\right)\to 0$ затем $p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0$;
   • если $p\left(x_{\bullet }\right)\to 0$ затем $p\left(sx_{i}\right)\to 0$ для каждого скаляра $s.$
3. Оба условия:
   • если $p\left(x_{\bullet }\right)\to 0$ и $s_{\bullet }\to s$ для некоторого скаляра $s$ затем $p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0$;
   • если $s_{\bullet }\to 0$ затем $p\left(s_{i}x\right)\to 0{\text{ for all }}x\in X.$
4. Отдельная непрерывность :
   • если $s_{\bullet }\to s$ для некоторого скаляра $s$ затем $p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0$ для каждого $x\in X$;
   • если $s$ является скаляром, $x\in X,$ и $p\left(x_{i}-x\right)\to 0$ затем $p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0$ .

Паранорма называется тотальной , если она дополнительно удовлетворяет:

• Всего / Положительно-определенный : $p(x)=0$ подразумевает $x=0.$

Свойства паранормальных явлений

Если $p$ это паранорма в векторном пространстве $X$ тогда карта $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$ определяется $d(x,y):=p(x-y)$ является трансляционно-инвариантной псевдометрикой на $X$ который определяет векторную топологию на $X.$

Если $p$ это паранорма в векторном пространстве $X$ затем:

• набор $\{x\in X:p(x)=0\}$ является векторным подпространством $X.$
• $p(x+n)=p(x){\text{ for all }}x,n\in X$ с $p(n)=0.$
• Если паранорма $p$ удовлетворяет $p(sx)\leq |s|p(x){\text{ for all }}x\in X$ и скаляры $s,$ затем $p$ является абсолютно однородной (т.е. имеет место равенство) и таким образом $p$ это полунорма .

Примеры паранормальных явлений

• Если $d$ является трансляционно-инвариантной псевдометрикой в ​​векторном пространстве. $X$ что порождает векторную топологию $\tau$ на $X$ (т.е. $(X,\tau )$ это ТВС), то карта $p(x):=d(x-y,0)$ определяет непрерывную паранорму на $(X,\tau )$; более того, топология этой паранормы $p$ определяет в $X$ является $\tau .$
• Если $p$ это паранорма на $X$ тогда и карта тоже $q(x):=p(x)/[1+p(x)].$
• Каждая положительная скалярная величина, кратная паранорме (соответственно полной паранорме), снова является такой паранормой (соответственно полной паранормой).
• Любая полунорма является паранормой.
• Ограничение паранормы (соответственно полной паранормы) векторным подпространством является паранормой (соответственно полной паранормой).
• Сумма двух паранорм и есть паранорма.
• Если $p$ и $q$ это паранормальные явления $X$ тогда так и есть $(p\wedge q)(x):=\inf _{}\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}.$ Более того, $(p\wedge q)\leq p$ и $(p\wedge q)\leq q.$ Это делает набор паранормальных явлений $X$ в условно полную решетку .
• Каждая из следующих карт с действительными значениями является паранормальным явлением. $X:=\mathbb {R} ^{2}$:
  • $(x,y)\mapsto |x|$
  • $(x,y)\mapsto |x|+|y|$
• Реальные карты $(x,y)\mapsto {\sqrt {\left|x^{2}-y^{2}\right|}}$ и $(x,y)\mapsto \left|x^{2}-y^{2}\right|^{3/2}$ это не паранормальные явления $X:=\mathbb {R} ^{2}.$
• Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ является базисом Гамеля в векторном пространстве $X$ затем карта с действительным значением, которая отправляет $x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X$ (где все скаляры, кроме конечного числа $s_{i}$ от 0) до $\sum _{i\in I}{\sqrt {\left|s_{i}\right|}}$ это паранорма на $X,$ который удовлетворяет $p(sx)={\sqrt {|s|}}p(x)$ для всех $x\in X$ и скаляры $s.$
• Функция $p(x):=|\sin(\pi x)|+\min\{2,|x|\}$это паранорма на $\mathbb {R}$ что не сбалансировано, но, тем не менее, эквивалентно обычной норме по $R.$ Обратите внимание, что функция $x\mapsto |\sin(\pi x)|$ является субаддитивным.
• Позволять $X_{\mathbb {C} }$ — комплексное векторное пространство и пусть $X_{\mathbb {R} }$ обозначать $X_{\mathbb {C} }$ рассматривается как векторное пространство над $\mathbb {R} .$ Любая паранормальная ситуация $X_{\mathbb {C} }$ это тоже паранормально $X_{\mathbb {R} }.$

F -полунормы

Если $X$ является векторным пространством над действительными или комплексными числами, тогда F -полунорма на $X$ ( $F$ означает Фреше ) — действительное отображение. $p:X\to \mathbb {R}$ со следующими четырьмя свойствами:

1. Неотрицательный : $p\geq 0.$
2. Субаддитив : $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ для всех $x,y\in X$
3. Сбалансированный : $p(ax)\leq p(x)$ для $x\in X$ все скаляры $a$ удовлетворяющий $|a|\leq 1;$
   • Это условие гарантирует, что каждое множество вида $\{z\in X:p(z)\leq r\}$ или $\{z\in X:p(z)<r\}$ для некоторых $r\geq 0$ представляет собой сбалансированный набор .
4. Для каждого $x\in X,$ $p\left({\tfrac {1}{n}}x\right)\to 0$ как $n\to \infty$
   • Последовательность $\left({\tfrac {1}{n}}\right)_{n=1}^{\infty }$ можно заменить любой положительной последовательностью, сходящейся к нулю.

- полунорма F называется F -нормой, если она, кроме того, удовлетворяет:

5. Всего / Положительно-определенный : $p(x)=0$ подразумевает $x=0.$

-полунорма F называется монотонной , если она удовлетворяет:

6. Монотонный : $p(rx)<p(sx)$ для всех ненулевых $x\in X$ и все реально $s$ и $t$ такой, что $s<t.$

F - полунормированные пространства

F - полунормированное пространство (соответственно F -нормированное пространство ) это пара $(X,p)$ состоящий из векторного пространства $X$ и F -полунорма (соответственно F -норма) $p$ на $X.$

Если $(X,p)$ и $(Z,q)$ являются F -полунормированными пространствами, то отображение $f:X\to Z$ называется изометрическим вложением если $q(f(x)-f(y))=p(x,y){\text{ for all }}x,y\in X.$

Всякое изометрическое вложение одного F -полунормированного пространства в другое является топологическим вложением , но обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры F -полунорм

• Каждый положительный скаляр, кратный F -полунорме (соответственно F -норме, полунорме), снова является F -полунормой (соответственно F -норме, полунорме).
• Сумма конечного числа F -полунорм (соответственно F -норм) является F -полунормой (соответственно F -нормой).
• Если $p$ и $q$ являются F -полунормами на $X$ то и их поточечная супремум тоже $x\mapsto \sup\{p(x),q(x)\}.$ То же самое относится и к супремуму любого непустого конечного семейства F -полунорм на $X.$
• Ограничение F -полунормы (соответственно F -нормы) на векторное подпространство представляет собой F -полунорму (соответственно F -норму).
• Неотрицательная действительная функция на $X$ является полунормой тогда и только тогда, когда она является выпуклой F -полунормой или, что то же самое, тогда и только тогда, когда она является выпуклой сбалансированной G -полунормой. В частности, каждая полунорма является F -полунормой.
• Для любого $0<p<1,$ карта $f$ на $\mathbb {R} ^{n}$ определяется $$[f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)]^{p}=\left|x_{1}\right|^{p}+\cdots \left|x_{n}\right|^{p}$$ является F -нормой, которая не является нормой.
• Если $L:X\to Y$ является линейным отображением, и если $q$ является F -полунормой на $Y,$ затем $q\circ L$ является F -полунормой на $X.$
• Позволять $X_{\mathbb {C} }$ — комплексное векторное пространство и пусть $X_{\mathbb {R} }$ обозначать $X_{\mathbb {C} }$ рассматривается как векторное пространство над $\mathbb {R} .$ Любая F -полунорма на $X_{\mathbb {C} }$ также является F -полунормой на $X_{\mathbb {R} }.$

Свойства F -полунорм

Каждая F -полунорма является паранормой, и каждая паранорма эквивалентна некоторой F -полунорме. Каждая F -полунорма в векторном пространстве $X$ это значение на $X.$ В частности, $p(x)=0,$ и $p(x)=p(-x)$ для всех $x\in X.$

Топология, индуцированная одной F -полунормой

Теорема - Позволять $p$ быть F -полунормой в векторном пространстве $X.$ Тогда карта $d:X\times X\to \mathbb {R}$ определяется $d(x,y):=p(x-y)$ является трансляционно-инвариантной псевдометрикой на $X$ который определяет векторную топологию $\tau$ на $X.$ Если $p$ является F -нормой, тогда $d$ является метрикой. Когда $X$ наделен этой топологией, то $p$ представляет собой непрерывное отображение на $X.$

Сбалансированные наборы $\{x\in X~:~p(x)\leq r\},$ как $r$ пробегает положительные действительные числа, образуют базис окрестности в начале координат этой топологии, состоящей из замкнутого множества. Аналогично, сбалансированные множества $\{x\in X~:~p(x)<r\},$ как $r$ пробегает по положительным действительным числам, образуют базис окрестности в начале координат этой топологии, состоящей из открытых множеств.

Топология, индуцированная семейством F -полунорм.

Предположим, что ${\mathcal {L}}$ представляет собой непустой набор F -полунорм в векторном пространстве $X$ и для любого конечного подмножества ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}}$ и любой $r>0,$ позволять $$U_{{\mathcal {F}},r}:=\bigcap _{p\in {\mathcal {F}}}\{x\in X:p(x)<r\}.$$

Набор $\left\{U_{{\mathcal {F}},r}~:~r>0,{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}},{\mathcal {F}}{\text{ finite }}\right\}$ образует основу фильтра на $X$ который также образует базис окрестности в начале координат векторной топологии на $X$ обозначается $\tau _{\mathcal {L}}.$ Каждый $U_{{\mathcal {F}},r}$ представляет собой сбалансированное и поглощающее подмножество $X.$ Эти наборы удовлетворяют $$U_{{\mathcal {F}},r/2}+U_{{\mathcal {F}},r/2}\subseteq U_{{\mathcal {F}},r}.$$

• $\tau _{\mathcal {L}}$ это самая грубая векторная топология на $X$ делая каждый $p\in {\mathcal {L}}$ непрерывный.
• $\tau _{\mathcal {L}}$ является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда для любого ненулевого $x\in X,$ существует какой-то $p\in {\mathcal {L}}$ такой, что $p(x)>0.$
• Если ${\mathcal {F}}$ есть множество всех непрерывных F -полунорм на $\left(X,\tau _{\mathcal {L}}\right)$ затем $\tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.$
• Если ${\mathcal {F}}$ есть множество всех поточечных точных непустых конечных подмножеств ${\mathcal {F}}$ из ${\mathcal {L}}$ затем ${\mathcal {F}}$ представляет собой направленное семейство F -полунорм и $\tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.$

Комбинация Фреше

Предположим, что $p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ представляет собой семейство неотрицательных субаддитивных функций в векторном пространстве. $X.$

Комбинация Фреше из $p_{\bullet }$ определяется как действительнозначная карта $$p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {p_{i}(x)}{2^{i}\left[1+p_{i}(x)\right]}}.$$

Как F -полунорма

Предположим, что $p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ представляет собой возрастающую последовательность полунорм на $X$ и пусть $p$ быть комбинацией Фреше $p_{\bullet }.$ Затем $p$ является F -полунормой на $X$ что индуцирует ту же локально выпуклую топологию, что и семейство $p_{\bullet }$ полунорм.

С $p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ возрастает, базис открытых окрестностей начала координат состоит из всех множеств вида $\left\{x\in X~:~p_{i}(x)<r\right\}$ как $i$ распространяется на все положительные целые числа и $r>0$ распространяется на все положительные действительные числа.

Трансляционно -инвариантная псевдометрика на $X$ индуцированный этой F -полунормой $p$ является $$d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {p_{i}(x-y)}{1+p_{i}(x-y)}}.$$

Эта метрика была открыта Фреше в его диссертации 1906 года для пространств вещественных и комплексных последовательностей с поточечными операциями.

Как паранорма

Если каждый $p_{i}$ это паранормально, значит, так и есть $p$ и более того, $p$ индуцирует ту же топологию на $X$ как семья $p_{\bullet }$ паранормальных явлений. Это также верно в отношении следующих паранормальных явлений: $X$:

• $q(x):=\inf _{}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x)+{\frac {1}{n}}~:~n>0{\text{ is an integer }}\right\}.$
• $r(x):=\sum _{n=1}^{\infty }\min \left\{{\frac {1}{2^{n}}},p_{n}(x)\right\}.$

Обобщение

Комбинацию Фреше можно обобщить с помощью ограниченной функции реметризации.

А ограниченная функция реметризации — непрерывное неотрицательное неубывающее отображение $R:[0,\infty )\to [0,\infty )$ имеющий ограниченный диапазон, является субаддитивным (это означает, что $R(s+t)\leq R(s)+R(t)$ для всех $s,t\geq 0$), и удовлетворяет $R(s)=0$ тогда и только тогда, когда $s=0.$

Примеры ограниченных функций реметризации включают: $\arctan t,$ $\tanh t,$ $t\mapsto \min\{t,1\},$ и $t\mapsto {\frac {t}{1+t}}.$ Если $d$ является псевдометрикой (соответственно метрикой) на $X$ и $R$ является ограниченной функцией реметризации, тогда $R\circ d$ является ограниченной псевдометрикой (соответственно ограниченной метрикой) на $X$ что равномерно эквивалентно $d.$

Предположим, что $p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ является семейством неотрицательных F -полунорм в векторном пространстве $X,$ $R$ является ограниченной функцией реметризации, а $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность положительных действительных чисел, сумма которых конечна. Затем $$p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}R\left(p_{i}(x)\right)$$определяет ограниченную F -полунорму, равномерно эквивалентную $p_{\bullet }.$ Он обладает тем свойством, что для любой сети $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ в $X,$ $p\left(x_{\bullet }\right)\to 0$ тогда и только тогда, когда $p_{i}\left(x_{\bullet }\right)\to 0$ для всех $i.$$p$ является F -нормой тогда и только тогда, когда $p_{\bullet }$ отдельные пункты по $X.$

Характеристики

О (псевдо)метриках, индуцированных (полу)нормами

Псевдометрика (соответственно метрика) $d$ индуцируется полунормой (соответственно нормой) в векторном пространстве $X$ тогда и только тогда, когда $d$ является трансляционно-инвариантным и абсолютно однородным , что означает, что для всех скаляров $s$ и все $x,y\in X,$ в этом случае функция, определяемая $p(x):=d(x,0)$ является полунормой (соответственно нормой) и псевдометрикой (соответственно метрикой), индуцированной $p$ равно $d.$

О псевдометризуемых TVS

Если $(X,\tau )$ является топологическим векторным пространством (ТВП) (где, в частности, отметим, что $\tau$ предполагается векторной топологией), то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ псевдометризуема (т.е. векторная топология $\tau$ индуцируется псевдометрикой на $X$).
2. $X$ имеет счетную базу окрестностей в начале координат.
3. Топология на $X$ индуцируется трансляционно-инвариантной псевдометрикой на $X.$
4. Топология на $X$ индуцируется F -полунормой.
5. Топология на $X$ вызвано паранормальным явлением.

Из метризуемых ТВС

Если $(X,\tau )$ является TVS, то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ метризуема.
2. $X$ хаусдорфово и псевдометризуемо .
3. $X$ является Хаусдорфом и имеет в начале координат счетную базу окрестностей.
4. Топология на $X$ индуцируется трансляционно-инвариантной метрикой на $X.$
5. Топология на $X$ индуцируется F -нормой.
6. Топология на $X$ индуцируется монотонной F -нормой.
7. Топология на $X$ вызвано тотальной паранормальностью.

Теорема Биркгофа – Какутани — Если $(X,\tau )$ является топологическим векторным пространством, то следующие три условия эквивалентны:

1. Происхождение $\{0\}$ закрыт в $X,$ и существует счетная база окрестностей для $0$ в $X.$
2. $(X,\tau )$ метризуемо ( как топологическое пространство).
3. Существует трансляционно-инвариантная метрика на $X$ что вызывает $X$ топология $\tau ,$ которая представляет собой данную топологию на $X.$

По теореме Биркгофа–Какутани следует, что существует эквивалентная метрика , которая является трансляционно-инвариантной.

О локально выпуклых псевдометризуемых TVS

Если $(X,\tau )$ является TVS, то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ и локально выпукло псевдометризуемо.
2. $X$ имеет счетную базу окрестностей в начале координат, состоящую из выпуклых множеств.
3. Топология $X$ индуцируется счетным семейством (непрерывных) полунорм.
4. Топология $X$ индуцируется счетной возрастающей последовательностью (непрерывных) полунорм $\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ (увеличение означает, что для всех $i,$ $p_{i}\geq p_{i+1}.$
5. Топология $X$ индуцируется F -полунормой вида: $$p(x)=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\operatorname {arctan} p_{n}(x)$$где $\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ являются (непрерывными) полунормами на $X.$

Коэффициенты

Позволять $M$ быть векторным подпространством топологического векторного пространства $(X,\tau ).$

• Если $X$ является псевдометризуемым TVS, то так же $X/M.$
• Если $X$ является полной псевдометризуемой TVS и $M$ является замкнутым векторным подпространством $X$ затем $X/M$ завершен.
• Если $X$ является метризуемым TVS и $M$ является замкнутым векторным подпространством $X$ затем $X/M$ метризуема.
• Если $p$ является F -полунормой на $X,$ тогда карта $P:X/M\to \mathbb {R}$ определяется $$P(x+M):=\inf _{}\{p(x+m):m\in M\}$$является F -полунормой на $X/M$ что индуцирует обычную фактортопологию на $X/M.$ Если вдобавок $p$ является F -нормой на $X$ и если $M$ является замкнутым векторным подпространством $X$ затем $P$ является F -нормой на $X.$

Примеры и достаточные условия

• Каждое полунормированное пространство $(X,p)$ псевдометризуема с канонической псевдометрикой, заданной формулой $d(x,y):=p(x-y)$ для всех $x,y\in X.$.
• Если $(X,d)$ является псевдометрической TVS с псевдометрикой, инвариантной к трансляции $d,$ затем $p(x):=d(x,0)$ определяет паранормальность. Однако, если $d$ является трансляционно-инвариантной псевдометрикой в ​​векторном пространстве $X$ (без условия сложения, что $(X,d)$ является псевдометрическим TVS ), то $d$ не обязательно должна быть F -полунормой и не паранормально.
• Если ТВС имеет ограниченную окрестность начала координат, то она псевдометризуема; обратное, вообще говоря, неверно.
• Если хаусдорфова ТВС имеет ограниченную окрестность начала координат, то она метризуема.
• Предполагать $X$ является либо DF-пространством , либо LM-пространством . Если $X$ является секвенциальным пространством , то оно либо метризуемо, либо является монтелевским DF-пространством.

Если $X$ является ли Хаусдорф локально выпуклым TVS, тогда $X$ с сильной топологией , $\left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right),$ метризуемо тогда и только тогда, когда существует счетное множество ${\mathcal {B}}$ ограниченных подмножеств $X$ такая, что каждое ограниченное подмножество $X$ содержится в некотором элементе ${\mathcal {B}}.$

Сильное двойное пространство $X_{b}^{\prime }$ метризуемого локально выпуклого пространства (например, пространства Фреше ) $X$ является DF-пространством . Сильным двойником DF-пространства является пространство Фреше . Сильным двойником рефлексивного пространства Фреше является борнологическое пространство . Сильное бидуальное пространство (т.е. сильное двойственное к сильному двойственному пространству) метризуемого локально выпуклого пространства является пространством Фреше. Если $X$ является метризуемым локально выпуклым пространством, то его сильное двойственное пространство $X_{b}^{\prime }$ обладает одним из следующих свойств тогда и только тогда, когда он обладает всеми этими свойствами: (1) борнологический , (2) инфраствольный , (3) ствольный .

Нормируемость

Топологическое векторное пространство полунормируемо тогда и только тогда, когда оно имеет выпуклую ограниченную окрестность начала координат. Более того, ТВС нормируема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и полунормируема. Всякая метризуемая TVS в конечномерном векторном пространстве является нормируемой локально выпуклой полной TVS , будучи TVS-изоморфной евклидову пространству . Следовательно, любая метризуемая ТВС, не являющаяся нормируемой, должна быть бесконечномерной.

Если $M$ — метризуемая локально выпуклая ТВС , обладающая счетной фундаментальной системой ограниченных множеств, то $M$ это нормально.

Если $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством , то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ это нормально .
2. $X$ имеет (фон Неймановскую) ограниченную окрестность начала координат.
3. сильное двойное пространство $X_{b}^{\prime }$ из $X$ это нормально.

и если это локально выпуклое пространство $X$ также метризуемо, то к этому списку можно добавить:

4. сильное двойное пространство $X$ метризуема.
5. сильное двойное пространство $X$ — Фреше–Урысона . локально выпуклое пространство

В частности, если метризуемое локально выпуклое пространство $X$ (такое как пространство Фреше ) не является нормируемым, то его сильное двойственное пространство $X_{b}^{\prime }$ не является пространством Фреше–Урысона и, следовательно, это полное хаусдорфово локально выпуклое пространство $X_{b}^{\prime }$ также не является ни метризуемым, ни нормируемым.

Другим следствием этого является то, что если $X$ является рефлексивной локально выпуклой TVS, сильная двойственная $X_{b}^{\prime }$ метризуемо тогда $X_{b}^{\prime }$ обязательно является рефлексивным пространством Фреше, $X$ является DF-пространством , оба $X$ и $X_{b}^{\prime }$ обязательно являются полными хаусдорфовыми ультраборнологическими выделенными перепончатыми пространствами и, более того, $X_{b}^{\prime }$ является нормальным тогда и только тогда, когда $X$ является нормальным тогда и только тогда, когда $X$ является Фреше–Урысоном тогда и только тогда, когда $X$ метризуема. В частности, такое пространство $X$ либо является банаховым пространством , либо даже не пространством Фреше–Урысона.

Метрически ограниченные множества и ограниченные множества

Предположим, что $(X,d)$ является псевдометрическим пространством и $B\subseteq X.$ Набор $B$ ограничен метрически или $d$-ограничен, если существует действительное число $R>0$ такой, что $d(x,y)\leq R$ для всех $x,y\in B$; самый маленький такой $R$ тогда называется диаметром или $d$-диаметр ​ $B.$ Если $B$ ограничен в псевдометризуемом TVS $X$ тогда оно метрически ограничено; обратное, вообще говоря, неверно, но верно для локально выпуклых метризуемых TVS.

Свойства псевдометризуемых ТВС.

Теорема — Все бесконечномерные сепарабельные полные метризуемые ТВС гомеоморфны .

• Всякое метризуемое локально выпуклое TVS является квазибочоночным пространством . борнологическое пространство и пространство Макки .
• Всякое полное псевдометризуемое TVS является бочоночным пространством и пространством Бэра (и, следовательно, нетощим). Однако существуют метризуемые пространства Бэра, которые не являются полными .
• Если $X$ — метризуемое локально выпуклое пространство, то сильное двойственное пространство $X$ является борнологическим тогда и только тогда, когда оно ствольное , тогда и только тогда, когда оно инфраствольное .
• Если $X$ является полной псевдометризуемой TVS и $M$ является замкнутым векторным подпространством $X,$ затем $X/M$ завершен.
• Сильным двойником локально выпуклой метризуемой TVS является перепончатое пространство .
• Если $(X,\tau )$ и $(X,\nu )$ являются полными метризуемыми TVS (т.е. F-пространствами ), и если $\nu$ грубее, чем $\tau$ затем $\tau =\nu$; это уже не гарантируется, если какая-либо из этих метризуемых TVS не является полной. Говоря иначе, если $(X,\tau )$ и $(X,\nu )$ оба являются F-пространствами , но с разной топологией, то ни одно из $\tau$ и $\nu$ содержит другое как подмножество. Одним из конкретных последствий этого является, например, то, что если $(X,p)$ является банаховым пространством и $(X,q)$ — это какое-то другое нормированное пространство, чья индуцированная нормой топология тоньше (или, альтернативно, грубее), чем топология $(X,p)$ (т.е. если $p\leq Cq$ или если $q\leq Cp$ для некоторой константы $C>0$), то единственный способ $(X,q)$ может быть банаховым пространством (т.е. также быть полным), если эти две нормы $p$ и $q$ эквивалентны ​ ; если они не эквивалентны, то $(X,q)$ не может быть банаховым пространством. Еще одним следствием, если $(X,p)$ является банаховым пространством и $(X,\nu )$ является пространством Фреше , то отображение $p:(X,\nu )\to \mathbb {R}$ непрерывно тогда и только тогда, когда пространство Фреше $(X,\nu )$ это ТВС $(X,p)$ (здесь банахово пространство $(X,p)$ рассматривается как ТВС, то есть его норма « забыта », но топология запоминается).
• Метризуемое локально выпуклое пространство нормируется тогда и только тогда, когда его сильное двойственное пространство является локально выпуклым пространством Фреше–Урысона .
• Любое произведение полных метризуемых TVS является пространством Бэра .
• Произведение метризуемых ТВС метризуемо тогда и только тогда, когда все эти ТВС, за исключением не более чем счетного числа, имеют размерность $0.$
• Произведение псевдометризуемых ТВС псевдометризуемо тогда и только тогда, когда все эти ТВС, за исключением не более чем счетного числа, имеют тривиальную топологию.
• Каждое полное псевдометризуемое TVS является бочоночным пространством и пространством Бэра (и, следовательно, нетощим).
• Размерность полной метризуемой ТВС либо конечна, либо несчетна.

Полнота

Основная статья: Полное топологическое векторное пространство

Каждое топологическое векторное пространство (и, в более общем плане, топологическая группа ) имеет каноническую равномерную структуру , индуцированную его топологией, которая позволяет применять к нему понятия полноты и равномерной непрерывности. Если $X$ является метризуемым TVS и $d$ это показатель, определяющий $X$топологии, то возможно, что $X$ полно как TVS (т.е. относительно его однородности), но метрика $d$ является не ( полной метрикой такие метрики существуют даже для $X=\mathbb {R}$). Таким образом, если $X$ — TVS, топология которого индуцирована псевдометрическим $d,$ тогда понятие полноты $X$ (как ТВС) и понятие полноты псевдометрического пространства $(X,d)$ не всегда эквивалентны. Следующая теорема дает условие, когда они эквивалентны:

Теорема — Если $X$ — это псевдометризуемая ТВС, топология которой индуцирована трансляционно-инвариантной псевдометрикой $d,$ затем $d$ является полной псевдометрикой на $X$ тогда и только тогда, когда $X$ завершен как TVS.

Теорема  (Клее) — Пусть $d$ быть любым метрика в векторном пространстве $X$ такая, что топология $\tau$ вызванный $d$ на $X$ делает $(X,\tau )$ в топологическое векторное пространство. Если $(X,d)$ является полным метрическим пространством, то $(X,\tau )$ это полноценный ТВС.

Теорема — Если $X$ это TVS, топология которого вызвана паранормой $p,$ затем $X$ полно тогда и только тогда, когда для каждой последовательности $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $X,$ если $\sum _{i=1}^{\infty }p\left(x_{i}\right)<\infty$ затем $\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}$ сходится в $X.$

Если $M$ — замкнутое векторное подпространство полной псевдометризуемой ТВС $X,$ тогда факторпространство $X/M$ завершен. Если $M$ является полным векторным подпространством метризуемого TVS $X$ и если факторпространство $X/M$ завершено, то так же $X.$ Если $X$ тогда не полный $M:=X,$ но не полное векторное подпространство $X.$

топологическая Бэру Сепарабельная по группа метризуема тогда и только тогда, когда она космична.

Подмножества и подпоследовательности

• Позволять $M$ — сепарабельное локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство и пусть $C$ быть его завершением. Если $S$ является ограниченным подмножеством $C$ тогда существует ограниченное подмножество $R$ из $X$ такой, что $S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.$
• Всякое вполне ограниченное подмножество локально выпуклой метризуемой TVS $X$ содержится в замкнутой выпуклой сбалансированной оболочке некоторой последовательности из $X$ который сходится к $0.$
• В псевдометризуемом TVS каждое рожденное животное является окрестностью источника.
• Если $d$ является трансляционно-инвариантной метрикой в ​​векторном пространстве $X,$ затем $d(nx,0)\leq nd(x,0)$ для всех $x\in X$ и каждое положительное целое число $n.$
• Если $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ является нулевой последовательностью (т. е. сходится к началу координат) в метризуемой TVS, то существует последовательность $\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ положительных действительных чисел, расходящихся к $\infty$ такой, что $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0.$
• Подмножество полного метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно полно. Если пространство $X$ не является полным, то $X$ является закрытым подмножеством $X$ это не полно.
• Если $X$ является метризуемым локально выпуклым TVS, то для любого ограниченного подмножества $B$ из $X,$ существует ограниченный диск $D$ в $X$ такой, что $B\subseteq X_{D},$ и оба $X$ и вспомогательное нормированное пространство $X_{D}$ индуцировать ту же топологию подпространства на $B.$

Теорема Банаха-Сакса - Если $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ — последовательность в локально выпуклой метризуемой TVS $(X,\tau )$ который слабо сходится к некоторому $x\in X,$ тогда существует последовательность $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $X$ такой, что $y_{\bullet }\to x$ в $(X,\tau )$ и каждый $y_{i}$ представляет собой выпуклую комбинацию конечного числа $x_{n}.$

Условие счетности Макки — Предположим, что $X$ является локально выпуклой метризуемой TVS и что $\left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ является счетной последовательностью ограниченных подмножеств $X.$ Тогда существует ограниченное подмножество $B$ из $X$ и последовательность $\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ положительных действительных чисел таких, что $B_{i}\subseteq r_{i}B$ для всех $i.$

Обобщенная серия

Как описано в разделе этой статьи, посвященном обобщенным рядам , для любого $I$- индексированная семья семья $\left(r_{i}\right)_{i\in I}$ векторов из TVS $X,$ можно определить их сумму $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ как предел сети конечных частичных сумм $F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}$ где домен $\operatorname {FiniteSubsets} (I)$ направлен ​ ​ $\,\subseteq .\,$ Если $I=\mathbb {N}$ и $X=\mathbb {R} ,$ например, тогда обобщенный ряд $\textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }r_{i}$ сходится тогда и только тогда, когда $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}$ сходится безусловно в обычном смысле (что для действительных чисел эквивалентно абсолютной сходимости ). Если обобщенный ряд $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ сходится в метризуемой TVS, то множество $\left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}$ обязательно счетно (то есть либо конечно, либо счетно бесконечно ); другими словами, все, кроме не более чем счетного числа $r_{i}$ будет равен нулю, и поэтому этот обобщенный ряд $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}$ на самом деле представляет собой сумму не более счетного числа ненулевых членов.

Линейные карты

Если $X$ является псевдометризуемым TVS и $A$ отображает ограниченные подмножества $X$ ограниченным подмножествам $Y,$ затем $A$ является непрерывным. Разрывные линейные функционалы существуют на любой бесконечномерной псевдометризуемой TVS. Таким образом, псевдометризуемый TVS конечномерен тогда и только тогда, когда его непрерывное двойственное пространство равно его алгебраическому двойственному пространству .

Если $F:X\to Y$ представляет собой линейную карту между TVS и $X$ метризуемо, то следующие условия эквивалентны:

1. $F$ является непрерывным;
2. $F$ является (локально) ограниченным отображением (т. е. $F$ отображает (фон Неймана) ограниченные подмножества $X$ ограниченным подмножествам $Y$);
3. $F$ является секвенциально непрерывным ;
4. изображение под $F$ каждой нулевой последовательности в $X$ это ограниченное множество где по определению нулевая последовательность — это последовательность, сходящаяся к началу координат.
5. $F$ отображает нулевые последовательности в нулевые последовательности;

Открытые и почти открытые карты

Теорема : Если $X$ является полной псевдометризуемой TVS, $Y$ является хаусдорфовой TVS, и $T:X\to Y$ является замкнутой и почти открытой линейной сюръекцией, то $T$ это открытая карта.

Теорема : Если $T:X\to Y$ — сюръективный линейный оператор из локально выпуклого пространства $X$ на бочковое пространство $Y$ (например, каждое полное псевдометризуемое пространство является бочоночным), тогда $T$ почти открыт .

Теорема : Если $T:X\to Y$ — сюръективный линейный оператор из TVS $X$ на пространство Бэра $Y$ затем $T$ почти открыт.

Теорема : Предположим, $T:X\to Y$ — непрерывный линейный оператор из полной псевдометризуемой TVS $X$ в ТВС Хаусдорфа $Y.$ Если изображение $T$ не скуден в $Y$ затем $T:X\to Y$ является сюръективным открытым отображением и $Y$ является полным метризуемым пространством.

Свойство расширения Хана-Банаха

Основная статья: теорема Хана-Банаха

Векторное подпространство $M$ ТВС $X$ обладает свойством продолжения, если любой непрерывный линейный функционал на $M$ можно продолжить до непрерывного линейного функционала на $X.$ Скажи, что ТВС $X$ имеет Хана-Банаха свойство расширения ( HBEP ), если каждое векторное подпространство $X$ имеет свойство расширения.

Теорема Хана-Банаха гарантирует, что каждое хаусдорфово локально выпуклое пространство имеет HBEP. Для полных метризуемых ТВС имеет место обратное:

Теорема   (Калтона) . Любая полная метризуемая ТВС со свойством расширения Хана-Банаха локально выпукла.

Если векторное пространство $X$ имеет несчетную размерность, и если мы наделим ее тончайшей векторной топологией, то это ТВС с HBEP, который не является ни локально выпуклым, ни метризуемым.

См. также

• Асимметричная норма - Обобщение понятия нормы.
• Полное метрическое пространство - Метрическая геометрия
• Полное топологическое векторное пространство - TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся к одной точке.
• Эквивалентность метрик
• F-пространство - топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой.
• Пространство Фреше - локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
• Обобщенная метрика – Метрическая геометрия
• K-пространство (функциональный анализ)
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Метрическое пространство - математическое пространство с понятием расстояния.
• Псевдометрическое пространство - Обобщение метрических пространств в математике.
• Связь норм и показателей – математическое пространство с понятием расстояния. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Полунорма - функция с неотрицательным действительным знаком в действительном или комплексном векторном пространстве, которая удовлетворяет неравенству треугольника и является абсолютно однородной. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Сублинейная функция - Тип функции в линейной алгебре.
• Единообразное пространство - Топологическое пространство с понятием однородных свойств.
• Теорема Урсеску - обобщение замкнутого графа, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности

Примечания

Доказательства

Библиография

• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . ОСЛК   17499190 .
• Бурбаки, Николя (1950). «О некоторых топологических векторных пространствах» . Анналы Института Фурье (на французском языке). 2 :5–16 (1951). дои : 10.5802/aif.16 . МР   0042609 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Основные принципы математических наук. Том 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90400-9 . OCLC   180577972 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• Хусейн, Такдир (1978). Бочечность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09096-7 . OCLC   4493665 .