Слабая сходимость (гильбертово пространство)

В математике — слабая сходимость гильбертовом пространстве это сходимость последовательности . точек в слабой топологии в

Определение

Последовательность ​ точек $(x_{n})$ в гильбертовом пространстве H называется слабо сходящейся к точке x в H, если

$\lim _{n\to \infty }\langle x_{n},y\rangle =\langle x,y\rangle$

для y в H. всех Здесь, $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ понимается как скалярный продукт в гильбертовом пространстве. Обозначения

$x_{n}\rightharpoonup x$

иногда используется для обозначения такого рода конвергенции.

Характеристики

• Если последовательность сходится сильно (т. е. сходится по норме), то она сходится и слабо.
• Поскольку всякое замкнутое и ограниченное множество слабо относительно компактно (его замыкание в слабой топологии компактно), каждая ограниченная последовательность $x_{n}$ в гильбертовом пространстве H содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. Обратите внимание, что замкнутые и ограниченные множества, вообще говоря, не являются слабо компактными в гильбертовых пространствах (рассмотрим множество, состоящее из ортонормированного базиса в бесконечномерном гильбертовом пространстве, которое замкнуто и ограничено, но не является слабо компактным, поскольку оно не содержит 0). Однако ограниченные и слабо замкнутые множества слабо компактны, поэтому, как следствие, каждое выпуклое ограниченное замкнутое множество слабо компактно.
• Вследствие принципа равномерной ограниченности каждая слабо сходящаяся последовательность ограничена.
• Норма (последовательно) слабо полунепрерывна снизу : если $x_{n}$ слабо сходится к x , то

$\Vert x\Vert \leq \liminf _{n\to \infty }\Vert x_{n}\Vert ,$

и это неравенство является строгим, если сходимость не является сильной. Например, бесконечные ортонормированные последовательности слабо сходятся к нулю, как показано ниже.

• Если $x_{n}\to x$ слабо и $\lVert x_{n}\rVert \to \lVert x\rVert$, затем $x_{n}\to x$ сильно:

$\langle x-x_{n},x-x_{n}\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x_{n},x_{n}\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x,x_{n}\rangle \rightarrow 0.$

• Если гильбертово пространство конечномерно, т. е. евклидово пространство , то слабая и сильная сходимость эквивалентны.

Пример

Первые три функции в последовательности $f_{n}(x)=\sin(nx)$ на $[0,2\pi ]$. Как $n\rightarrow \infty$ $f_{n}$ слабо сходится к $f=0$.

Гильбертово пространство $L^{2}[0,2\pi ]$ — пространство суммируемых с квадратом функций на интервале $[0,2\pi ]$ оснащен внутренним продуктом, определяемым

$\langle f,g\rangle =\int _{0}^{2\pi }f(x)\cdot g(x)\,dx,$

(см . Л ^п космос ). Последовательность функций $f_{1},f_{2},\ldots$ определяется

$f_{n}(x)=\sin(nx)$

слабо сходится к нулевой функции в $L^{2}[0,2\pi ]$, как интеграл

$\int _{0}^{2\pi }\sin(nx)\cdot g(x)\,dx.$

стремится к нулю для любой интегрируемой с квадратом функции $g$ на $[0,2\pi ]$ когда $n$ стремится к бесконечности, что соответствует лемме Римана–Лебега , т.е.

$\langle f_{n},g\rangle \to \langle 0,g\rangle =0.$

Хотя $f_{n}$ имеет возрастающее количество нулей в $[0,2\pi ]$ как $n$ стремится к бесконечности, она, конечно, не равна нулевой функции ни при каком $n$. Обратите внимание, что $f_{n}$ не сходится к 0 в $L_{\infty }$ или $L_{2}$ нормы. Это несходство является одной из причин, почему этот тип конвергенции считается «слабым».

Слабая сходимость ортонормированных последовательностей

Рассмотрим последовательность $e_{n}$ который был построен как ортонормированный, т.е.

$\langle e_{n},e_{m}\rangle =\delta _{mn}$

где $\delta _{mn}$ равен единице, если m = n, и нулю в противном случае. Мы утверждаем, что если последовательность бесконечна, то она слабо сходится к нулю. Простое доказательство состоит в следующем. Для x ∈ H имеем

$\sum _{n}|\langle e_{n},x\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}$ ( неравенство Бесселя )

где равенство имеет место, когда { } _en является базисом гильбертова пространства. Поэтому

$|\langle e_{n},x\rangle |^{2}\rightarrow 0$ (поскольку приведенный выше ряд сходится, соответствующая ему последовательность должна стремиться к нулю)

т.е.

$\langle e_{n},x\rangle \rightarrow 0.$

Теорема Банаха – Сакса

Теорема Банаха–Сакса утверждает, что каждая ограниченная последовательность $x_{n}$ содержит подпоследовательность $x_{n_{k}}$ и точка x такая, что

${\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}$

сильно сходится к x при стремлении N к бесконечности.

Обобщения

См. Также: Слабая топология и Слабая топология (полярная топология).

Определение слабой сходимости можно распространить на банаховы пространства . Последовательность точек $(x_{n})$ в банаховом пространстве B называется слабо сходящимся к точке x из B, если $$f(x_{n})\to f(x)$$для любого ограниченного линейного функционала $f$ определено на $B$, то есть для любого $f$ в двойном пространстве $B'$. Если $B$ является пространством Lp на $\Omega$ и $p<+\infty$, то любой такой $f$ имеет форму $$f(x)=\int _{\Omega }x\,y\,d\mu$$для некоторых $y\in \,L^{q}(\Omega )$, где $\mu$ это мера по $\Omega$ и ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ являются сопряженными индексами .

В случае, когда $B$ является гильбертовым пространством, то по о представлении Рисса теореме $$f(\cdot )=\langle \cdot ,y\rangle$$для некоторых $y$ в $B$, поэтому мы получаем определение слабой сходимости в гильбертовом пространстве.

См. также

• Двойная топология
• Операторные топологии - топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве.