Принцип равномерной ограниченности

Для определения равномерно ограниченных функций см. Равномерную ограниченность . О гипотезах по теории чисел и алгебраической геометрии см. Гипотеза о равномерной ограниченности (значения) .

В математике принцип равномерной ограниченности или теорема Банаха–Штайнхауза является одним из фундаментальных результатов функционального анализа . Вместе с теоремой Хана-Банаха и теоремой об открытом отображении она считается одним из краеугольных камней в этой области. В своей основной форме он утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов (и, следовательно, ограниченных операторов ), областью определения которых является банахово пространство , поточечная ограниченность эквивалентна равномерной ограниченности в операторной норме .

Теорема была впервые опубликована в 1927 году Стефаном Банахом и Хьюго Штейнхаусом , но она также была независимо доказана Гансом Ханом .

Теорема

Принцип равномерной ограниченности — Пусть $X$ быть банаховым пространством , $Y$ нормированное векторное пространство и $B(X,Y)$ пространство всех непрерывных линейных операторов из $X$ в $Y$. Предположим, что $F$ представляет собой набор непрерывных линейных операторов из $X$ к $Y.$ Если для каждого $x\in X$, $$\sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,$$ затем $$\sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}=\sup _{\stackrel {T\in F,}{\|x\|\leq 1}}\|T(x)\|_{Y}<\infty .$$ В случае, если $X$ не является тривиальным векторным пространством, то полунеравенство, используемое в супремуме первого члена в этой последней цепочке равенств (которое имеет $x$ радиус по замкнутому единичному шару ) можно заменить правильным равенством (которое имеет $x$ пробег по замкнутой единичной сфере ).

Полнота $X$ позволяет провести следующее короткое доказательство, используя теорему Бэра о категориях .

Доказательство

Пусть X — банахово пространство. Предположим, что для каждого $x\in X,$ $$\sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .$$

Для каждого целого числа $n\in \mathbb {N} ,$ позволять $$X_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}.$$

Каждый набор $X_{n}$ является замкнутым множеством и по предположению $$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .$$

По теореме Бэра о категории для непустого полного метрического пространства $X,$ существует какой-то $m\in \mathbb {N}$ такой, что $X_{m}$ имеет непустую внутреннюю часть ; то есть существуют $x_{0}\in X_{m}$ и $\varepsilon >0$ такой, что $${\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}~:=~\left\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \right\}~\subseteq ~X_{m}.$$

Позволять $u\in X$ с $\|u\|\leq 1$ и $T\in F.$ Затем: $${\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T\left(x_{0}\right)\right\|_{Y}&[{\text{by linearity of }}T]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{since }}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}$$

Взяв верх над $u$ в единичном шаре $X$ и более $T\in F$ отсюда следует, что $$\sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}~\leq ~2\varepsilon ^{-1}m~<~\infty .$$

Существуют также простые доказательства, не использующие теорему Бэра ( Сокал, 2011 ).

Следствия

Следствие . Если последовательность ограниченных операторов $\left(T_{n}\right)$ сходится поточечно, то есть предел $\left(T_{n}(x)\right)$ существует для всех $x\in X,$ то эти поточечные пределы определяют ограниченный линейный оператор $T.$

Приведенное выше следствие не утверждает, что $T_{n}$ сходится к $T$ в операторной норме, т. е. равномерно на ограниченных множествах. Однако, поскольку $\left\{T_{n}\right\}$ ограничен по операторной норме, а предельный оператор $T$ является непрерывным, стандартным " $3\varepsilon$"оценка показывает, что $T_{n}$ сходится к $T$ равномерно на компактах .

Доказательство

По сути то же самое, что и доказательство того, что поточечно сходящаяся последовательность равнонепрерывных функций на компакте сходится к непрерывной функции.

По принципу равномерной ограниченности пусть $M=\max\{\sup _{n}\|T_{n}\|,\|T\|\}$ — равномерная верхняя граница операторных норм.

Починим любой компакт $K\subset X$. Тогда для любого $\epsilon >0$, конечное покрытие (используйте компактность) $K$ конечным набором открытых шаров $\{B(x_{i},r)\}_{i=1,...,N}$ радиуса $r={\frac {\epsilon }{M}}$

С $T_{n}\to T$ точечно на каждом из $x_{1},...,x_{N}$, для всех больших $n$, $\|T_{n}(x_{i})-T(x_{i})\|\leq \epsilon$ для всех $i=1,...,N$.

Тогда по неравенству треугольника находим для всех больших $n$, $\forall x\in K,\|T_{n}(x)-T(x)\|\leq 3\epsilon$.

Следствие . Любое слабо ограниченное подмножество. $S\subseteq Y$ в нормированном пространстве $Y$ ограничен.

Действительно, элементы $S$ определить поточечно ограниченное семейство непрерывных линейных форм в банаховом пространстве $X:=Y',$ которое представляет собой непрерывное двойственное пространство $Y.$ По принципу равномерной ограниченности нормы элементов $S,$ как функционалы на $X,$ то есть нормы во втором двойственном $Y'',$ ограничены. Но для каждого $s\in S,$ норма во втором двойственном совпадает с нормой в $Y,$ по следствию теоремы Хана–Банаха .

Позволять $L(X,Y)$ обозначим непрерывные операторы из $X$ к $Y,$ наделен операторной нормой . Если коллекция $F$ неограничен в $L(X,Y),$ то из принципа равномерной ограниченности следует: $$R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing .$$

Фактически, $R$ плотный в $X.$ Дополнение $R$ в $X$ является счетным объединением замкнутых множеств ${\textstyle \bigcup X_{n}.}$ Согласно рассуждениям, использованным при доказательстве теоремы, каждый $X_{n}$ нигде не плотно , т.е. подмножество ${\textstyle \bigcup X_{n}}$ имеет первую категорию . Поэтому $R$ является дополнением подмножества первой категории в пространстве Бэра. По определению пространства Бэра такие множества (называемые комбинаторными или остаточными множествами ) плотны. Такие рассуждения приводят к принципу сгущения особенностей , который можно сформулировать следующим образом:

Теорема — Пусть $X$ быть банаховым пространством, $\left(Y_{n}\right)$ последовательность нормированных векторных пространств, и для каждого $n,$ позволять $F_{n}$ неограниченная семья в $L\left(X,Y_{n}\right).$ Тогда набор $$R:=\left\{x\in X\ :\ {\text{ for all }}n\in \mathbb {N} ,\sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}=\infty \right\}$$ является остаточным множеством и, следовательно, плотным по $X.$

Доказательство

Дополнение $R$ это счетный союз $$\bigcup _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}$$ комплектов первой категории. Следовательно, его остаточный набор $R$ плотный.

Пример: поточечная сходимость ряда Фурье

Позволять $\mathbb {T}$ будь кругом , и пусть $C(\mathbb {T} )$ — банахово пространство непрерывных функций на $\mathbb {T} ,$ с единой нормой . Используя принцип равномерной ограниченности, можно показать, что существует элемент из $C(\mathbb {T} )$ для которого ряд Фурье не сходится поточечно.

Для $f\in C(\mathbb {T} ),$ его ряд Фурье определяется выражением $$\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},$$ а N -я симметричная частичная сумма равна $$S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,$$ где $D_{N}$ это $N$-е ядро ​​Дирихле . Исправить $x\in \mathbb {T}$ и рассмотрим сходимость $\left\{S_{N}(f)(x)\right\}.$ Функционал $\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C}$ определяется $$\varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),$$ ограничен. Норма $\varphi _{N,x},$ в дуале $C(\mathbb {T} ),$ является нормой подписанной меры $(2(2\pi )^{-1}D_{N}(x-t)dt,$ а именно $$\left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.$$

Можно убедиться, что $${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .$$

Итак, коллекция $\left(\varphi _{N,x}\right)$ неограничен в $C(\mathbb {T} )^{\ast },$ двойник $C(\mathbb {T} ).$ Поэтому по принципу равномерной ограниченности для любого $x\in \mathbb {T} ,$ множество непрерывных функций, ряд Фурье которых расходится при $x$ плотный в $C(\mathbb {T} ).$

Еще больший вывод можно сделать, применив принцип сгущения особенностей. Позволять $\left(x_{m}\right)$ быть плотной последовательностью в $\mathbb {T} .$ Определять $\varphi _{N,x_{m}}$ аналогично описанному выше. Тогда принцип сгущения особенностей говорит, что множество непрерывных функций, ряд Фурье которых расходится в каждой точке $x_{m}$ плотный в $C(\mathbb {T} )$ (однако ряд Фурье непрерывной функции $f$ сходится к $f(x)$ почти для каждого $x\in \mathbb {T} ,$ по теореме Карлесона ).

Обобщения

В топологическом векторном пространстве (ТВП) $X,$ «Ограниченное подмножество» относится конкретно к понятию ограниченного подмножества фон Неймана . Если $X$ также является нормированным или полунормированным пространством , скажем, с (полу)нормой $\|\cdot \|,$ тогда подмножество $B$ ограничено (по фон Нейману) тогда и только тогда, когда оно ограничено по норме , что по определению означает ${\textstyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}$

Бочковые пространства

Основная статья: Бочковое пространство

Попытки найти классы локально выпуклых топологических векторных пространств, на которых справедлив принцип равномерной ограниченности, в конечном итоге привели к бочоночным пространствам . То есть наименее ограничительной средой для принципа равномерной ограниченности является бочкообразное пространство, где справедлива следующая обобщенная версия теоремы ( Бурбаки 1987 , Теорема III.2.1):

Теорема . Учитывая бочкообразное пространство. $X$ и локально выпуклое пространство $Y,$ то любое семейство поточечно ограниченных непрерывных линейных отображений из $X$ к $Y$ равностепенно ) (и даже равномерно равнонепрерывно .

В качестве альтернативы, утверждение также справедливо всякий раз, когда $X$ является пространством Бэра и $Y$ является локально выпуклым пространством.

Равномерная ограниченность в топологических векторных пространствах

Основная статья: Равномерно ограниченные множества (топологическое векторное пространство)

Семья ​ ${\mathcal {B}}$ подмножеств топологического векторного пространства $Y$ говорят, что он равномерно ограничен в $Y,$ если существует некоторое ограниченное подмножество $D$ из $Y$ такой, что $$B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},$$ что произойдет тогда и только тогда, когда $$\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B$$ является ограниченным подмножеством $Y$; если $Y$ является нормированным пространством , то это происходит тогда и только тогда, когда существует некоторое реальное пространство. $M\geq 0$ такой, что ${\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|\leq M.}$ В частности, если $H$ это семейство карт из $X$ к $Y$ и если $C\subseteq X$ тогда семья $\{h(C):h\in H\}$ равномерно ограничен в $Y$ тогда и только тогда, когда существует некоторое ограниченное подмножество $D$ из $Y$ такой, что $h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,$ что произойдет тогда и только тогда, когда ${\textstyle H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}$ является ограниченным подмножеством $Y.$

Предложение - Позволять $H\subseteq L(X,Y)$ быть набором непрерывных линейных операторов между двумя топологическими векторными пространствами $X$ и $Y$ и пусть $C\subseteq X$ быть любым ограниченным подмножеством $X.$ Тогда семейство множеств $\{h(C):h\in H\}$ равномерно ограничен в $Y$ если выполняется любое из следующих условий:

1. $H$ является равнонепрерывным.
2. $C$ является выпуклым компактным хаусдорфовым подпространством ​ $X$ и для каждого $c\in C,$ орбита $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ является ограниченным подмножеством $Y.$

Обобщения, включающие нескудные подмножества

понятие нетощего множества , область определения Хотя в следующей версии равномерного ограниченного принципа используется $X$ не предполагается , что это пространство Бэра .

Теорема - Позволять $H\subseteq L(X,Y)$ быть набором непрерывных линейных операторов между двумя топологическими векторными пространствами $X$ и $Y$ (не обязательно Хаусдорф или локально выпуклый). Для каждого $x\in X,$ обозначим орбиту ​ $x$ к $$H(x):=\{h(x):h\in H\}$$ и пусть $B$ обозначаем множество всех $x\in X$ чья орбита $H(x)$ является ограниченным подмножеством $Y.$ Если $B$ относится ко второй категории (т. е. нескудному) в $X$ затем $B=X$ и $H$ является равнонепрерывным.

Каждое собственное векторное подпространство TVS $X$ имеет пустой салон $X.$ В частности, каждое замкнутое собственное векторное подпространство нигде не плотно в $X$ и, таким образом, относятся к первой категории (скудным) в $X$ (и, таким образом, то же самое верно и для всех его подмножеств). Следовательно, любое векторное подпространство ТВС $X$ то есть второй категории (нескудных) в $X$ должно быть плотным подмножеством $X$ (поскольку в противном случае его закрытие в $X$ было бы замкнутое собственное векторное подпространство $X$ и, следовательно, относятся к первой категории).

Доказательство

Доказательство того, что $H$ является равнонепрерывным:

Позволять $W,V\subseteq Y$ быть сбалансированными окрестностями начала координат в $Y$ удовлетворяющий ${\overline {V}}+{\overline {V}}\subseteq W.$ Необходимо показать, что существует окрестность $N\subseteq X$ происхождения в $X$ такой, что $h(N)\subseteq W$ для каждого $h\in H.$ Позволять $$C~:=~\bigcap _{h\in H}h^{-1}\left({\overline {V}}\right),$$ которое является закрытым подмножеством $X$ (поскольку это пересечение замкнутых подмножеств), что для каждого $h\in H,$ также удовлетворяет $h(C)\subseteq {\overline {V}}$ и $$h(C-C)~=~h(C)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~=~{\overline {V}}+{\overline {V}}~\subseteq ~W$$ (как будет показано, набор $C-C$ фактически является окрестностью начала координат в $X$ потому что топологическая внутренность $C$ в $X$ не пусто). Если $b\in B$ затем $H(b)$ будучи ограниченным $Y$ подразумевает, что существует некоторое целое число $n\in \mathbb {N}$ такой, что $H(b)\subseteq nV$ так что если $h\in H,$ затем $b~\in ~h^{-1}\left(nV\right)~=~nh^{-1}(V).$ С $h\in H$ был произвольным, $$b~\in ~\bigcap _{h\in H}nh^{-1}(V)~=~n\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)~\subseteq ~nC.$$ Это доказывает, что $$B~\subseteq ~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nC.$$ Потому что $B$ относится ко второй категории $X,$ то же самое должно быть верно хотя бы для одного из множеств $nC$ для некоторых $n\in \mathbb {N} .$ Карта $X\to X$ определяется ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{n}}x}$ является ( сюръективным ) гомеоморфизмом , поэтому множество ${\textstyle {\frac {1}{n}}(nC)=C}$ обязательно относится ко второй категории в $X.$ Потому что $C$ является закрытым и относится ко второй категории в $X,$ его топологическая внутренность в $X$ не пуст. Выбирать $c\in \operatorname {Int} _{X}C.$ Потому что карта $X\to X$ определяется $x\mapsto c-x$ является гомеоморфизмом, множество $$N~:=~c-\operatorname {Int} _{X}C~=~\operatorname {Int} _{X}(c-C)$$ это район $0=c-c$ в $X,$ что означает, что то же самое верно и для его надмножества $C-C.$ И так для каждого $h\in H,$ $$h(N)~\subseteq ~h(c-C)~=~h(c)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~\subseteq ~W.$$ Это доказывает, что $H$ является равнонепрерывным. КЭД

---

Доказательство того, что $B=X$:

Потому что $H$ равнонепрерывно, если $S\subseteq X$ ограничен $X$ затем $H(S)$ равномерно ограничен в $Y.$ В частности, для любого $x\in X,$ потому что $S:=\{x\}$ является ограниченным подмножеством $X,$ $H(\{x\})=H(x)$ является равномерно ограниченным подмножеством $Y.$ Таким образом $B=X.$ КЭД

Последовательности непрерывных линейных отображений

Следующая теорема устанавливает условия, при которых поточечный предел последовательности непрерывных линейных отображений сам по себе является непрерывным.

Теорема — Предположим, что $h_{1},h_{2},\ldots$ представляет собой последовательность непрерывных линейных отображений между двумя топологическими векторными пространствами. $X$ и $Y.$

1. Если набор $C$ из всех $x\in X$ для чего $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots$ является последовательностью Коши в $Y$ относится ко второй категории $X,$ затем $C=X.$
2. Если набор $L$ из всех $x\in X$ при котором предел $h(x):=\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)$ существует в $Y$ относится ко второй категории $X$ и если $Y$ является полным метризуемым топологическим векторным пространством (таким как пространство Фреше или F-пространство ), тогда $L=X$ и $h:X\to Y$ является непрерывным линейным отображением.

Теорема - Если $h_{1},h_{2},\ldots$ — последовательность непрерывных линейных отображений F-пространства $X$ в топологическое векторное пространство Хаусдорфа $Y$ такой, что для каждого $x\in X,$ предел $$h(x)~:=~\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)$$ существует в $Y,$ затем $h:X\to Y$ является непрерывным линейным отображением, а отображения $h,h_{1},h_{2},\ldots$ являются равнонепрерывными.

Если, кроме того, область определения является банаховым пространством , а ко-область является нормированным пространством , то $\|h\|\leq \liminf _{n\to \infty }\left\|h_{n}\right\|<\infty .$

Полная метризуемая область

Дьедонне (1970) доказывает более слабую форму этой теоремы с использованием пространств Фреше, а не обычных банаховых пространств.

Теорема - Позволять $H\subseteq L(X,Y)$ — набор непрерывных линейных операторов из полного метризуемого топологического векторного пространства. $X$ (например, пространство Фреше или F-пространство ) в Хаусдорфа . топологическое векторное пространство $Y.$ Если для каждого $x\in X,$ орбита ​ $$H(x):=\{h(x):h\in H\}$$ является ограниченным подмножеством $Y$ затем $H$ является равнонепрерывным.

Так, в частности, если $Y$ также является нормированным пространством , и если $$\sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty \quad {\text{ for every }}x\in X,$$ затем $H$ является равнонепрерывным.

См. также

• Бочковое пространство - тип топологического векторного пространства.
• Теорема Урсеску - обобщение замкнутого графа, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности

Библиография

• Банах, Стивен ; Штайнхаус, Хьюго (1927), «О принципе конденсации особенностей» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 9 : 50–61, doi : 10.4064/fm-9-1-50-61 . (на французском языке)
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Математические монографии (на французском языке). Том 1. Варшава: Субсидии Фонда национальной культуры. Збл   0005.20901 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Дьедонне, Жан (1970), Трактат об анализе, Том 2 , Academic Press .
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09096-0 . OCLC   4493665 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (1966), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Штерн, А.И. (2001) [1994], «Равномерный принцип ограниченности» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Сокал, Алан (2011), «Действительно простое элементарное доказательство теоремы о равномерной ограниченности», Amer. Математика. Monthly , 118 (5): 450–452, arXiv : 1005.1585 , doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 , S2CID   41853641 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .