Непрерывный линейный оператор

В функциональном анализе и смежных областях математики непрерывный линейный оператор или непрерывное линейное отображение представляет собой непрерывное линейное преобразование между топологическими векторными пространствами .

Оператор между двумя нормированными пространствами является ограниченным линейным оператором тогда и только тогда, когда он является непрерывным линейным оператором.

Непрерывные линейные операторы

См. Также: Непрерывная функция (топология) и Разрывная линейная карта.

Характеристики непрерывности

См. также: Ограниченный оператор.

Предположим, что $F:X\to Y$ — линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами (ТВП). Следующие действия эквивалентны:

1. $F$ является непрерывным.
2. $F$ является непрерывным в какой-то момент $x\in X.$
3. $F$ непрерывен в начале координат в $X.$

Если $Y$ , локально выпукла то этот список можно расширить, включив в него:

4. для каждой непрерывной полунормы $q$ на $Y,$ существует непрерывная полунорма $p$ на $X$ такой, что $q\circ F\leq p.$

Если $X$ и $Y$ оба являются хаусдорфовыми локально выпуклыми пространствами, то этот список можно расширить, включив в него:

5. $F$ слабо непрерывен и его транспонируют ${}^{t}F:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ отображает равнонепрерывные подмножества $Y^{\prime }$ к равнонепрерывным подмножествам $X^{\prime }.$

Если $X$ является секвенциальным пространством (например, псевдометризуемым пространством ), то этот список можно расширить, включив в него:

6. $F$ в секвенциально непрерывна некоторой (или, что то же самое, в каждой) точке своей области определения.

Если $X$ псевдометризуемо или метризуемо (например , нормированное или банахово пространство ), то мы можем добавить к этому списку:

7. $F$ является ограниченным линейным оператором (т. е. отображает ограниченные подмножества $X$ ограниченным подмножествам $Y$).

Если $Y$ является полунормируемым пространством (например, нормированным пространством ), то этот список можно расширить, включив в него:

8. $F$ отображает некоторую окрестность 0 в ограниченное подмножество $Y.$

Если $X$ и $Y$ являются как нормированными , так и полунормированными пространствами (обе полунормы обозначаются через $\|\cdot \|$), то этот список можно расширить, включив в него:

9. для каждого $r>0$ существует какой-то $\delta >0$ такой, что $${\text{ for all }}x,y\in X,{\text{ if }}\|x-y\|<\delta {\text{ then }}\|Fx-Fy\|<r.$$

Если $X$ и $Y$ являются хаусдорфовыми локально-выпуклыми пространствами с $Y$ конечномерен, то этот список можно расширить, включив в него:

10. график $F$ закрыт в $X\times Y.$

Непрерывность и ограниченность

Через, $F:X\to Y$ представляет собой линейное отображение топологических векторных пространств (ТВП).

Ограниченное подмножество

См. Также: Ограниченное множество (топологическое векторное пространство).

Понятие «ограниченного множества» для топологического векторного пространства — это понятие ограниченного множества фон Неймана . Если пространство также является нормированным пространством (или полунормированным пространством ), то подмножество $S$ ограничено по фон Нейману тогда и только тогда, когда оно по норме ограничено , что означает, что $\sup _{s\in S}\|s\|<\infty .$ Подмножество нормированного (или полунормированного) пространства называется ограниченным, если оно ограничено по норме (или, что то же самое, ограничено по фон Нейману). Например, скалярное поле ( $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$) с абсолютным значением $|\cdot |$ является нормированным пространством, поэтому подмножество $S$ ограничен тогда и только тогда, когда $\sup _{s\in S}|s|$ конечно, что происходит тогда и только тогда, когда $S$ содержится в некотором открытом (или замкнутом) шаре с центром в начале координат (нуле).

Любой перевод, скалярное кратное и подмножество ограниченного множества снова ограничены.

Функция, ограниченная на множестве

Если $S\subseteq X$ тогда это набор $F:X\to Y$ Говорят, что это ограниченный $S$ если $F(S)$ является ограниченным подмножеством $Y,$ что, если $(Y,\|\cdot \|)$ является нормированным (или полунормированным) пространством, происходит тогда и только тогда, когда $\sup _{s\in S}\|F(s)\|<\infty .$ Линейная карта $F$ ограничено на множестве $S$ тогда и только тогда, когда оно ограничено $x+S:=\{x+s:s\in S\}$ для каждого $x\in X$ (потому что $F(x+S)=F(x)+F(S)$ и любой перевод ограниченного множества снова ограничен) тогда и только тогда, когда он ограничен на $cS:=\{cs:s\in S\}$ для каждого ненулевого скаляра $c\neq 0$ (потому что $F(cS)=cF(S)$ и любое скалярное кратное ограниченному множеству снова ограничено). Следовательно, если $(X,\|\cdot \|)$ является нормированным или полунормированным пространством, то линейное отображение $F:X\to Y$ ограничен на некотором (т. е. на каждом) невырожденном открытом или замкнутом шаре (не обязательно с центром в начале координат и любого радиуса) тогда и только тогда, когда он ограничен на замкнутом единичном шаре с центром в начале координат $\{x\in X:\|x\|\leq 1\}.$

Ограниченные линейные карты

См. также: Ограниченный линейный оператор.

По определению линейное отображение $F:X\to Y$ между TVS называется ограниченным и называется ограниченный линейный оператор , если для любого (фон Неймана) ограниченного подмножества $B\subseteq X$ своего домена, $F(B)$ является ограниченным подмножеством его кодомена; или, говоря более кратко, если оно ограничено на каждом ограниченном подмножестве своей области определения. Когда домен $X$ является нормированным (или полунормированным) пространством, то достаточно проверить это условие для открытого или закрытого единичного шара с центром в начале координат. Явно, если $B_{1}$ обозначает этот шар, тогда $F:X\to Y$ является ограниченным линейным оператором тогда и только тогда, когда $F\left(B_{1}\right)$ является ограниченным подмножеством $Y;$ если $Y$ также является (полу)нормированным пространством, то это происходит тогда и только тогда, когда норма оператора $\|F\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\|F(x)\|<\infty$ конечно. Всякий секвенциально непрерывный линейный оператор ограничен.

Функция, ограниченная в окрестности, и локальная ограниченность

См. Также: Локальная ограниченность

Напротив, карта $F:X\to Y$ Говорят, что это ограничена окрестностью точки $x\in X$ или локально ограничен в $x$ если существует окрестности $U$ этого момента в $X$ такой, что $F(U)$ является ограниченным подмножеством $Y.$ Это " ограничен в окрестности " (некоторой точки), если существует некоторая точка $x$ в своей области, в которой оно локально ограничено, и в этом случае это линейное отображение $F$ обязательно локально ограничено в каждой точке своей области определения. Термин " «локально ограниченный » иногда используется для обозначения карты, которая локально ограничена в каждой точке ее области определения, но некоторые авторы функционального анализа вместо этого определяют «локально ограниченный» как синоним « ограниченного линейного оператора », которые связаны, но не эквивалентны. По этой причине в этой статье будет избегаться термин «локально ограниченный» и вместо этого будет говориться «локально ограниченный в каждой точке» (нет разногласий по поводу определения «локально ограниченного в точке »).

Ограниченность в окрестности подразумевает непрерывность, подразумевает ограниченность

Линейное отображение « ограничено в окрестности » (некоторой точки) тогда и только тогда, когда оно локально ограничено в каждой точке своей области определения, и в этом случае оно обязательно непрерывно. (даже если его область определения не является нормированным пространством ) и, следовательно, также ограниченным (поскольку непрерывный линейный оператор всегда является ограниченным линейным оператором ).

Для любой линейной карты, если она ограничена в окрестности , то она непрерывна, а если оно непрерывно, то оно ограничено . Обратные утверждения в общем случае неверны, но оба они верны, когда областью определения линейного отображения является нормированное пространство . Примеры и дополнительная информация приведены ниже.

Непрерывный и ограниченный, но не ограниченный в окрестности

Следующий пример показывает, что линейное отображение может быть непрерывным (и, следовательно, ограниченным), но не ограниченным ни в одной окрестности. В частности, это демонстрирует, что «ограниченность окрестностью» не всегда является синонимом « ограниченности ».

Пример : непрерывное и ограниченное линейное отображение, не ограниченное ни в одной окрестности : если $\operatorname {Id} :X\to X$ — тождественное отображение на некотором локально выпуклом топологическом векторном пространстве , то это линейное отображение всегда непрерывно (действительно, даже TVS-изоморфизм ) и ограничено , но $\operatorname {Id}$ ограничена в окрестности тогда и только тогда, когда существует ограниченная окрестность начала координат в $X,$ что эквивалентно $X$ являющееся полунормируемым пространством (что, если $X$ является хаусдорфовым, то же самое, что быть нормируемым пространством ). Это показывает, что линейное отображение может быть непрерывным, но не ограниченным в какой-либо окрестности. Действительно, этот пример показывает, что всякое локально выпуклое пространство , не являющееся полунормируемым, имеет линейный TVS- автоморфизм , не ограниченный ни в одной окрестности любой точки. Таким образом, хотя всякое линейное отображение, ограниченное в некоторой окрестности, обязательно непрерывно, обратное, вообще говоря, не гарантируется.

Гарантия общения

Подводя итог нижеприведенному обсуждению, можно сказать, что для линейного отображения в нормированном (или полунормированном) пространстве непрерывность, ограниченность и ограниченность в окрестности эквивалентны . Линейное отображение, область или ко-область которого нормируемы (или полунормируемы), непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено в некоторой окрестности. А ограниченный линейный оператор со значением в локально-выпуклом пространстве будет непрерывным, если его область определения (псевдо)метризуема. или борнологический .

Гарантия того, что «непрерывный» подразумевает «ограниченный окрестностью»

TVS называется локально ограниченным , если существует окрестность, которая также является ограниченным множеством . Например, каждое нормированное или полунормированное пространство является локально ограниченным TVS, поскольку единичный шар с центром в начале координат является ограниченной окрестностью начала координат. Если $B$ является ограниченной окрестностью начала координат в (локально ограниченном) TVS, то его образ при любом непрерывном линейном отображении будет ограниченным множеством (поэтому это отображение ограничено в этой окрестности $B$). Следовательно, линейное отображение локально ограниченной ТВС в любую другую ТВС непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено в окрестности . Более того, любой TVS с этим свойством должен быть локально ограниченным TVS. Явно, если $X$ является TVS таким, что каждое непрерывное линейное отображение (в любую TVS), область определения которого равна $X$ обязательно ограничено в окрестности, то $X$ должен быть локально ограниченным TVS (поскольку тождественная функция $X\to X$ всегда является непрерывным линейным отображением).

Любое линейное отображение ТВС в локально ограниченное ТВС (например, любой линейный функционал) непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено в окрестности. И наоборот, если $Y$ является ТВС такой, что каждое непрерывное линейное отображение (из любой ТВС) с кодобластью $Y$ обязательно ограничено в окрестности , то $Y$ должен быть локально ограниченным TVS. В частности, линейный функционал на произвольной TVS непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен в окрестности.

Таким образом, если область определения или ко-область линейного отображения нормируема или полунормируема, то непрерывность будет эквивалентна ограниченности в окрестности.

Гарантия того, что «ограниченное» подразумевает «непрерывное»

Непрерывный линейный оператор всегда является ограниченным линейным оператором . Но важно то, что в наиболее общей ситуации линейного оператора между произвольными топологическими векторными пространствами линейный оператор может быть ограниченным , но не быть непрерывным.

Линейное отображение, область которого псевдометризуема (например, любое нормированное пространство ), ограничено тогда и только тогда, когда оно непрерывно. То же самое верно и для линейного отображения борнологического пространства в локально-выпуклое пространство .

Гарантия того, что «ограниченный» подразумевает «ограниченный окрестностью»

В общем, без дополнительной информации о линейной карте, ее области или кодомене «ограниченность» карты не эквивалентна тому, что она «ограничена в окрестности». Если $F:X\to Y$ — ограниченный линейный оператор из нормированного пространства $X$ в какой-нибудь ТВС тогда $F:X\to Y$ обязательно непрерывен; это потому что любой открытый шар $B$ с центром в начале координат $X$ является ограниченным подмножеством (что означает, что $F(B)$ ограничен, поскольку $F$ — ограниченное линейное отображение) и окрестность начала координат в $X,$ так что $F$ таким образом, ограничено в этой окрестности $B$ происхождения, что (как упоминалось выше) гарантирует преемственность.

Непрерывные линейные функционалы

См. Также: Сублинейная функция.

Каждый линейный функционал в топологическом векторном пространстве (ТВП) является линейным оператором, поэтому к нему применимы все свойства, описанные выше для непрерывных линейных операторов. Однако из-за их специализированного характера мы можем сказать о непрерывных линейных функционалах даже больше, чем о более общих непрерывных линейных операторах.

Характеристика непрерывных линейных функционалов

Позволять $X$ быть топологическим векторным пространством (TVS) над полем $\mathbb {F}$ ( $X$ не обязательно должен быть Хаусдорфовым или локально выпуклым ) и пусть $f:X\to \mathbb {F}$ быть линейным функционалом на $X.$ Следующие действия эквивалентны:

1. $f$ является непрерывным.
2. $f$ равномерно непрерывен на $X.$
3. $f$ является непрерывным в некоторой точке $X.$
4. $f$ непрерывен в начале координат.
   • По определению, $f$ называется непрерывным в начале координат, если для любого открытого (или закрытого) шара $B_{r}$ радиуса $r>0$ сосредоточено в $0$ в кодомене $\mathbb {F} ,$ существует какое-то соседство $U$ происхождения в $X$ такой, что $f(U)\subseteq B_{r}.$
   • Если $B_{r}$ — закрытый шар, то выполняется условие $f(U)\subseteq B_{r}$ имеет место тогда и только тогда, когда $\sup _{u\in U}|f(u)|\leq r.$
     • Важно, чтобы $B_{r}$ быть замкнутым шаром в этой супремумной характеристике. Предполагая, что $B_{r}$ вместо этого это открытый шар, тогда $\sup _{u\in U}|f(u)|<r$ является достаточным, но не необходимым условием $f(U)\subseteq B_{r}$ быть правдой (рассмотрим, например, когда $f=\operatorname {Id}$ это карта идентичности на $X=\mathbb {F}$ и $U=B_{r}$), тогда как нестрогое неравенство $\sup _{u\in U}|f(u)|\leq r$ напротив, является необходимым, но недостаточным условием для $f(U)\subseteq B_{r}$ быть правдой (рассмотрим, например, $X=\mathbb {R} ,f=\operatorname {Id} ,$ и закрытый район $U=[-r,r]$). Это одна из нескольких причин, почему многие определения, включающие линейные функционалы, такие как, например, полярные множества , включают закрытые (а не открытые) окрестности и нестрогие $\,\leq \,$ (вместо строгого $\,<\,$) неравенства.
5. $f$ ограничено в окрестности (некоторой точки). Сказал по-другому, $f$ является локально ограниченной в некоторой точке своей области определения.
   • Явно это означает, что существует некоторая окрестность $U$ какого-то момента $x\in X$ такой, что $f(U)$ является ограниченным подмножеством $\mathbb {F} ;$ то есть такой, что ${\textstyle \displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<\infty .}$ Это превосходство над окрестностями $U$ равно $0$ тогда и только тогда, когда $f=0.$
   • Важно отметить, что линейный функционал, «ограниченный в окрестности», в общем случае не эквивалентен тому, чтобы быть « ограниченным линейным функционалом », поскольку (как описано выше) линейное отображение может быть ограниченным , но не непрерывным. Однако непрерывность и ограниченность эквивалентны, если область представляет собой нормированное или полунормированное пространство ; то есть для линейного функционала в нормированном пространстве быть «ограниченным» эквивалентно «ограниченности в окрестности».
6. $f$ ограничено в окрестности начала координат . Сказал по-другому, $f$ является локально ограниченным в начале координат.
   • Равенство $\sup _{x\in sU}|f(x)|=|s|\sup _{u\in U}|f(u)|$ справедливо для всех скаляров $s$ и когда $s\neq 0$ затем $sU$ будет окрестностью начала координат. Так, в частности, если ${\textstyle R:=\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|}$ является положительным действительным числом, то для каждого положительного действительного числа $r>0,$ набор $N_{r}:={\tfrac {r}{R}}U$ является окрестностью начала координат и $\displaystyle \sup _{n\in N_{r}}|f(n)|=r.$ С использованием $r:=1$ доказывает следующее утверждение, когда $R\neq 0.$
7. Существует какое-то соседство $U$ происхождения такой, что $\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$
   • Это неравенство справедливо тогда и только тогда, когда $\sup _{x\in rU}|f(x)|\leq r$ для каждого настоящего $r>0,$ который показывает, что положительные скалярные кратные $\{rU:r>0\}$ этого единственного района $U$ будет удовлетворять определению непрерывности в начале координат, данному в (4) выше.
   • По определению множества $U^{\circ },$ который называется (абсолютной) полярой $U,$ неравенство $\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$ имеет место тогда и только тогда, когда $f\in U^{\circ }.$ Полярные множества, а также это конкретное неравенство играют важную роль в теории двойственности .
8. $f$ является локально ограниченной в каждой точке своей области определения.
9. Ядро $f$ закрыт в $X.$
10. Или $f=0$ или же ядро $f$ не плотный в $X.$
11. Существует непрерывная полунорма $p$ на $X$ такой, что $|f|\leq p.$
    • В частности, $f$ непрерывна тогда и только тогда, когда полунорма $p:=|f|$ является непрерывным.
12. График $f$ закрыт.
13. $\operatorname {Re} f$ является непрерывным, где $\operatorname {Re} f$ обозначает действительную часть $f.$

Если $X$ и $Y$ являются комплексными векторными пространствами, то этот список можно расширить, включив в него:

14. Мнимая часть $\operatorname {Im} f$ из $f$ является непрерывным.

Если домен $X$ является последовательным пространством , то этот список можно расширить, включив в него:

15. $f$ в секвенциально непрерывна некоторой (или, что то же самое, в каждой) точке своей области определения.

Если домен $X$ является метризуемым или псевдометризуемым (например, пространство Фреше или нормированное пространство ), то этот список можно расширить, включив в него:

16. $f$ является ограниченным линейным оператором (то есть он отображает ограниченные подмножества своей области определения в ограниченные подмножества своей кодомена).

Если домен $X$ является борнологическим пространством (например, псевдометризуемым TVS ) и $Y$ , локально выпукла то этот список можно расширить, включив в него:

17. $f$ — ограниченный линейный оператор .
18. $f$ секвенциально непрерывна в некоторой (или, что то же самое, в каждой) точке своей области определения.
19. $f$ секвенциально непрерывна в начале координат.

и если вдобавок $X$ является векторным пространством над действительными числами (что, в частности, означает, что $f$ имеет действительное значение), то этот список можно расширить, включив в него:

20. Существует непрерывная полунорма $p$ на $X$ такой, что $f\leq p.$
21. Для некоторых реальных $r,$ полупространство $\{x\in X:f(x)\leq r\}$ закрыт.
22. Для любого реального $r,$ полупространство $\{x\in X:f(x)\leq r\}$ закрыт.

Если $X$ является сложным, то либо все три из $f,$ $\operatorname {Re} f,$ и $\operatorname {Im} f$ непрерывны . (соответственно ограничены ), либо все три разрывны (соответственно неограничены)

Примеры

Любое линейное отображение, областью действия которого является конечномерное топологическое векторное пространство Хаусдорфа (TVS), является непрерывным. Это неверно, если конечномерная ТВС не является хаусдорфовой.

Каждая (постоянная) карта $X\to Y$ между TVS, тождественно равным нулю, является линейным отображением, непрерывным, ограниченным и ограниченным в окрестности $X$ происхождения. В частности, каждая TVS имеет непустое непрерывное дуальное пространство (хотя отображение постоянного нуля может быть ее единственным непрерывным линейным функционалом).

Предполагать $X$ это любой Хаусдорф ТВС. Тогда каждый линейный функционал на $X$ обязательно непрерывно тогда и только тогда, когда каждое векторное подпространство $X$ закрыт. Каждый линейный функционал на $X$ обязательно является ограниченным линейным функционалом тогда и только тогда, когда каждое ограниченное подмножество $X$ содержится в конечномерном векторном подпространстве.

Характеристики

Локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство нормируется тогда и только тогда , когда каждый ограниченный линейный функционал на нем непрерывен.

Непрерывный линейный оператор отображает ограниченные множества в ограниченные множества.

Доказательство использует тот факт, что перевод открытого множества в линейное топологическое пространство снова является открытым множеством и равенство $$F^{-1}(D)+x=F^{-1}(D+F(x))$$для любого подмножества $D$ из $Y$ и любой $x\in X,$ что верно в аддитивности силу $F.$

Свойства непрерывных линейных функционалов

Если $X$ представляет собой сложное нормированное пространство и $f$ является линейным функционалом от $X,$ затем $\|f\|=\|\operatorname {Re} f\|$ (где, в частности, одна сторона бесконечна тогда и только тогда, когда другая сторона бесконечна).

Любой нетривиальный непрерывный линейный функционал на TVS $X$ это открытая карта . Если $f$ является линейным функционалом в действительном векторном пространстве $X$ и если $p$ является полунормой по $X,$ затем $|f|\leq p$ тогда и только тогда, когда $f\leq p.$

Если $f:X\to \mathbb {F}$ является линейным функционалом и $U\subseteq X$ является непустым подмножеством, то, определив множества $$f(U):=\{f(u):u\in U\}\quad {\text{ and }}\quad |f(U)|:=\{|f(u)|:u\in U\},$$высший $\,\sup _{u\in U}|f(u)|\,$ можно записать более кратко как $\,\sup |f(U)|\,$ потому что $$\sup |f(U)|~=~\sup\{|f(u)|:u\in U\}~=~\sup _{u\in U}|f(u)|.$$Если $s$ тогда это скаляр $$\sup |f(sU)|~=~|s|\sup |f(U)|$$так что если $r>0$ действительное число и $B_{\leq r}:=\{c\in \mathbb {F} :|c|\leq r\}$ представляет собой закрытый шар радиуса $r$ с центром в начале координат, то следующие условия эквивалентны:

1. ${\textstyle f(U)\subseteq B_{\leq 1}}$
2. ${\textstyle \sup |f(U)|\leq 1}$
3. ${\textstyle \sup |f(rU)|\leq r}$
4. ${\textstyle f(rU)\subseteq B_{\leq r}.}$

См. также

• Ограниченный линейный оператор — линейное преобразование между топологическими векторными пространствами. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Компактный оператор - Тип непрерывного линейного оператора
• Непрерывное линейное расширение - Математический метод функционального анализа
• Сжатие (теория операторов) - Ограниченные операторы с субъединичной нормой
• Прерывистая линейная карта
• Наилучшая локально выпуклая топология - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Линейные функционалы — линейная карта векторного пространства в его поле скаляров. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Положительный линейный функционал – упорядоченное векторное пространство с частичным порядком. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Неограниченный оператор - линейный оператор, определенный в плотном линейном подпространстве.

Ссылки

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Издательство Interscience. ISBN  0-471-60848-3 . OCLC   18412261 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чальджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (январь 1991 г.). Функциональный анализ . МакГроу-Хилл Наука/инженерия/математика. ISBN  978-0-07-054236-5 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .