Равнонепрерывность

В математическом анализе семейство функций является равнонепрерывным , если все функции непрерывны и имеют одинаковую вариацию в заданной окрестности в точном смысле, описанном здесь. В частности, эта концепция применима к счетным семействам и, следовательно, к последовательностям функций.

Равнонепрерывность появляется в формулировке теоремы Асколи , которая утверждает, что подмножество C ( X ), пространства непрерывных функций на компакте Хаусдорфа X , компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, поточечно ограничено и равностепенно непрерывно. Как следствие, последовательность в C ( X ) равномерно сходится тогда и только тогда, когда она равностепенно непрерывна и сходится поточечно к функции (не обязательно непрерывной априори). В частности, предел равнонепрерывной поточечно сходящейся последовательности непрерывных функций f _n либо в метрическом пространстве, либо в локально компактном пространстве является непрерывным. , кроме того, f _n голоморфны Если , то и предел голоморфен.

Принцип равномерной ограниченности утверждает, что поточечно ограниченное семейство непрерывных линейных операторов между банаховыми пространствами равностепенно непрерывно.

Равнонепрерывность между метрическими пространствами

Пусть X и Y — два метрических пространства , а F — функций от X до Y. семейство Обозначим через d соответствующие метрики этих пространств.

Семейство F является равнонепрерывным в точке x ₀ ∈ X , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что d ( ƒ ( x ₀ ), ƒ ( x )) < ε для всех ƒ ∈ F и всех x такой, что d ( x ₀ , x ) < δ. Семейство поточечно равностепенно непрерывно, если оно равностепенно непрерывно в каждой точке X .

Семейство F , равномерно равнонепрерывно если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что d ( ƒ ( x ₁ ), ƒ ( x ₂ )) < ε для всех ƒ ∈ F и всех x ₁ , x ₂ ∈ X такой, что d ( x ₁ , x ₂ ) < δ.

Для сравнения, утверждение «все функции ƒ в F непрерывны» означает, что для каждого ε > 0, каждого ƒ ∈ F и каждого x ₀ ∈ X существует δ > 0 такое, что d ( ƒ ( x ₀ ), ƒ ( x )) < ε для всех x ∈ X таких, что d ( x ₀ , x ) < δ.

• Для непрерывности ε, ƒ и x0 _{δ может зависеть от} .
• Для равномерной непрерывности δ может зависеть от ε и ƒ .
• Для поточечной равнонепрерывности может зависеть от ε и x0 _δ .
• При равномерной равнонепрерывности δ может зависеть только от ε.

В более общем смысле, когда X является топологическим пространством, набор F функций от X до Y называется равностепенно непрерывным в точке x , если для каждого ε > 0 x имеет окрестность U _x такую, что

$d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon$

для всех y ∈ U _x и ƒ ∈ F . Это определение обычно появляется в контексте топологических векторных пространств .

Когда X компактно, множество равномерно равнонепрерывно тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно в каждой точке, по сути, по той же причине, по которой равномерная непрерывность и непрерывность совпадают на компактных пространствах. Используемый сам по себе термин «равнонепрерывность» может относиться как к точечному, так и к единообразному понятию, в зависимости от контекста. На компакте эти понятия совпадают.

Некоторые основные свойства следуют непосредственно из определения. Всякое конечное множество непрерывных функций равнонепрерывно. Замыкание эквинепрерывного множества снова эквинепрерывно. Каждый член равномерно равностепенно непрерывного множества функций равномерно непрерывен , и каждое конечное множество равномерно непрерывных функций равномерно равностепенно непрерывно.

Примеры

• Множество функций с общей константой Липшица (равномерно) равнонепрерывно. В частности, это имеет место, если множество состоит из функций, производные которых ограничены одной и той же константой.
• Принцип равномерной ограниченности дает достаточное условие эквинепрерывности множества непрерывных линейных операторов.
• Семейство итераций аналитической функции равностепенно непрерывно на множестве Фату .

Контрпримеры

• Последовательность функций f _n (x) = arctan(nx) не является равностепенно непрерывной, поскольку определение нарушается при x ₀ =0.

Равнонепрерывность карт, оцениваемых в топологических группах

Предположим, что T — топологическое пространство, а Y — аддитивная топологическая группа (т. е. группа, наделенная топологией, делающей ее операции непрерывными). Топологические векторные пространства являются яркими примерами топологических групп, и каждая топологическая группа имеет связанную с ней каноническую однородность .

Определение : Семейство H отображений из T в Y называется равнонепрерывным в точке t ∈ T , если для каждой окрестности V точки 0 в Y существует некоторая окрестность U точки t в T такая, что h ( U ) ⊆ h ( t ) + V для h ∈ H. каждого Мы говорим, что H равностепенно непрерывно , если оно равностепенно непрерывно в каждой точке T .

Заметим, что если H равностепенно непрерывно в точке, то любое отображение из H непрерывно в этой точке. Ясно, что любое конечное множество непрерывных отображений T в Y равностепенно непрерывно.

Равнонепрерывные линейные карты

Поскольку каждое топологическое векторное пространство (TVS) является топологической группой, определение равнонепрерывного семейства отображений, данное для топологических групп, переносится на TVS без изменений.

Характеризация эквинепрерывных линейных отображений

Семья $H$ карт вида $X\to Y$ между двумя топологическими векторными пространствами называется равнонепрерывным в точке $x\in X$ если для каждого района $V$ происхождения в $Y$ существует какое-то соседство $U$ происхождения в $X$ такой, что $h(x+U)\subseteq h(x)+V$ для всех $h\in H.$

Если $H$ это семейство карт и $U$ это набор, тогда пусть $H(U):=\bigcup _{h\in H}h(U).$ С обозначениями, если $U$ и $V$ тогда это наборы $h(U)\subseteq V$ для всех $h\in H$ тогда и только тогда, когда $H(U)\subseteq V.$

Позволять $X$ и $Y$ быть топологическими векторными пространствами (TVS) и $H$ — семейство линейных операторов из $X$ в $Y.$ Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $H$ является равнонепрерывным;
2. $H$ равнонепрерывна в каждой точке $X.$
3. $H$ равнонепрерывна в некоторой точке $X.$
4. $H$ равнонепрерывна в начале координат.
   • то есть для каждого района $V$ происхождения в $Y,$ существует район $U$ происхождения в $X$ такой, что $H(U)\subseteq V$ (или, что то же самое, $h(U)\subseteq V$для каждого $h\in H$).
5. для каждого района $V$ происхождения в $Y,$ $\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)$ является окрестностью начала координат в $X.$
6. закрытие $H$ в $L_{\sigma }(X;Y)$ является равнонепрерывным.
   • $L_{\sigma }(X;Y)$ обозначает $L(X;Y)$наделен топологией поточечной сходимости.
7. сбалансированный корпус ​ $H$ является равнонепрерывным.

в то время как если $Y$ , локально выпукла то этот список можно расширить, включив в него:

8. оболочка выпуклая ​ $H$ является равнонепрерывным.
9. выпуклая сбалансированная оболочка $H$ является равнонепрерывным.

в то время как если $X$ и $Y$ , локально выпуклы то этот список можно расширить, включив в него:

10. для каждой непрерывной полунормы $q$ на $Y,$ существует непрерывная полунорма $p$ на $X$ такой, что $q\circ h\leq p$ для всех $h\in H.$
    • Здесь, $q\circ h\leq p$ означает, что $q(h(x))\leq p(x)$ для всех $x\in X.$

в то время как если $X$ имеет ствол и $Y$ локально выпукла, то этот список можно расширить, включив в него:

11. $H$ ограничен $L_{\sigma }(X;Y)$;
12. $H$ ограничен $L_{b}(X;Y).$
    • $L_{b}(X;Y)$ обозначает $L(X;Y)$наделенный топологией ограниченной сходимости (т. е. равномерной сходимости на ограниченных подмножествах $X.$

в то время как если $X$ и $Y$ являются банаховыми пространствами , то этот список можно расширить, включив в него:

13. $\sup\{\|T\|:T\in H\}<\infty$ (то есть, $H$ равномерно ограничен по операторной норме ).

Характеристика равнонепрерывных линейных функционалов

Позволять $X$ быть топологическим векторным пространством (TVS) над полем $\mathbb {F}$ с непрерывным двойным пространством $X^{\prime }.$ Семья $H$ линейных функционалов на $X$ называется равнонепрерывным в некоторой точке $x\in X$ если для каждого района $V$ происхождения в $\mathbb {F}$ существует какое-то соседство $U$ происхождения в $X$ такой, что $h(x+U)\subseteq h(x)+V$ для всех $h\in H.$

Для любого подмножества $H\subseteq X^{\prime },$ следующие эквивалентны:

1. $H$ является равнонепрерывным.
2. $H$ равнонепрерывна в начале координат.
3. $H$ равнонепрерывна в некоторой точке $X.$
4. $H$ содержится в поляре некоторой окрестности начала координат в $X$
5. полярный ) ( пре $H$ является окрестностью начала координат в $X.$
6. слабое * закрытие $H$ в $X^{\prime }$ является равнонепрерывным.
7. сбалансированный корпус ​ $H$ является равнонепрерывным.
8. оболочка выпуклая ​ $H$ является равнонепрерывным.
9. выпуклая сбалансированная оболочка $H$ является равнонепрерывным.

в то время как если $X$ нормирован , то этот список может быть расширен за счет включения:

10. $H$ является сильно ограниченным подмножеством $X^{\prime }.$

в то время как если $X$ является бочкообразным пространством , то этот список можно расширить, включив в него:

11. $H$ относительно компактен в слабой* топологии на $X^{\prime }.$
12. $H$ является слабо* ограниченным (т.е. $H$ является $\sigma \left(X^{\prime },X\right)-$ограниченный $X^{\prime }$).
13. $H$ ограничен в топологии ограниченной сходимости (т. е. $H$ является $b\left(X^{\prime },X\right)-$ограниченный $X^{\prime }$).

Свойства эквинепрерывных линейных отображений

Принцип равномерной ограниченности (также известный как теорема Банаха – Штейнгауза) утверждает, что множество $H$ линейных отображений между банаховыми пространствами равнонепрерывно, если оно поточечно ограничено; то есть, $\sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty$ для каждого $x\in X.$ Результат можно обобщить на случай, когда $Y$ является локально выпуклым и $X$ это бочкообразное пространство .

Свойства эквинепрерывных линейных функционалов

Из теоремы Алаоглу следует, что слабое замыкание равнонепрерывного подмножества $X^{\prime }$ слаб-* компактен; таким образом, каждое равностепенно непрерывное подмножество является слабо* относительно компактным.

Если $X$ есть любой локально выпуклый TVS, то семейство всех бочек в $X$ и семейство всех подмножеств $X^{\prime }$ выпуклые, уравновешенные, замкнутые и ограниченные в $X_{\sigma }^{\prime },$ соответствуют друг другу по полярности (относительно $\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$). Отсюда следует, что локально выпуклая TVS $X$ является бочоночным тогда и только тогда, когда каждое ограниченное подмножество $X_{\sigma }^{\prime }$ является равнонепрерывным.

Теорема . Предположим, что $X$ является отделимым TVS. Тогда каждое замкнутое равнонепрерывное подмножество $X_{\sigma }^{\prime }$ — компактное метризуемое пространство (в топологии подпространства). Если вдобавок $X$ метризуемо тогда $X_{\sigma }^{\prime }$ является разделимым.

Равнонепрерывность и равномерная сходимость

Пусть X — компактное хаусдорфово пространство и снабдим C ( X ) равномерной нормой , сделав таким образом C ( X ) банаховым пространством , а значит, и метрическим пространством. Тогда теорема Арзела–Асколи утверждает, что подмножество C ( X ) компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Это аналогично теореме Гейне–Бореля , которая утверждает, что подмножества R ^н компактны тогда и только тогда, когда они замкнуты и ограничены. Как следствие, каждая равномерно ограниченная равнонепрерывная последовательность в C ( X ) содержит подпоследовательность, которая сходится равномерно к непрерывной функции X. на

Согласно теореме Арсела–Асколи, последовательность в C ( X ) сходится равномерно тогда и только тогда, когда она равностепенно непрерывна и сходится поточечно. Условие утверждения можно немного ослабить: последовательность из C ( X ) сходится равномерно, если она равнонепрерывна и сходится поточечно на плотном подмножестве к некоторой функции на X (не предполагаемой непрерывной).

Доказательство

Предположим, равностепенная _{что fj} последовательность непрерывных функций на плотном подмножестве D множества X. — Пусть ε > 0 задано. В силу равнонепрерывности для каждого z ∈ D существует окрестность U _z точки z такая, что

$|f_{j}(x)-f_{j}(z)|<\epsilon /3$

для всех j и x ∈ U _z . Благодаря плотности и компактности мы можем найти конечное подмножество D′ ⊂ D такое, что X является объединением U _z над z ∈ D′ . Поскольку f _j сходится поточечно на D′ , существует N > 0 такое, что

$|f_{j}(z)-f_{k}(z)|<\epsilon /3$

всякий раз, когда ∈ D ′ и j , k > N. z Отсюда следует, что

$\sup _{X}|f_{j}-f_{k}|<\epsilon$

для j , k > N. всех Фактически, если x ∈ X , то x ∈ U _z для некоторого z ∈ D′, и поэтому мы получаем:

$|f_{j}(x)-f_{k}(x)|\leq |f_{j}(x)-f_{j}(z)|+|f_{j}(z)-f_{k}(z)|+|f_{k}(z)-f_{k}(x)|<\epsilon$.

Следовательно, f _j является Коши в C ( X ) и, следовательно, сходится по полноте.

Эта более слабая версия обычно используется для доказательства теоремы Арзела–Асколи для сепарабельных компактов. Другое следствие состоит в том, что предел равнонепрерывной поточечно сходящейся последовательности непрерывных функций в метрическом пространстве или в локально компактном пространстве непрерывен. (См. пример ниже.) Вышеупомянутое предположение о компактности X не может быть ослаблено. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим непрерывную функцию g с компактным носителем на R с g (0) = 1 и рассмотрим равностепенную последовательность функций { ƒ _n } на R, определенную формулой ƒ _n ( x ) = g ( x − n ) . Тогда ƒ _n сходится поточечно к 0, но не сходится к 0 равномерно.

Этот критерий равномерной сходимости часто бывает полезен в реальном и комплексном анализе. Предположим, нам дана последовательность непрерывных функций, которая поточечно сходится на некотором открытом подмножестве G в R. ^н . Как отмечалось выше, на самом деле он сходится равномерно на компактном подмножестве G , если он равностепенно непрерывен на компактном множестве. На практике доказать равнонепрерывность зачастую не так уж и сложно. Например, если последовательность состоит из дифференцируемых функций или функций с некоторой регулярностью (например, функции являются решениями дифференциального уравнения), то теорема о среднем значении или некоторые другие виды оценок могут использоваться, чтобы показать, что последовательность равнонепрерывна. Отсюда следует, что предел последовательности непрерывен на каждом компактном подмножестве G ; таким образом, непрерывен на G . Аналогичный аргумент можно привести, когда функции голоморфны. Можно использовать, например, оценку Коши , чтобы показать равнонепрерывность (на компактном подмножестве) и заключить, что предел голоморфен. Заметим, что здесь существенна равнонепрерывность. Например, ƒ _n ( x ) = arctan n   x сходится к кратному разрывной знаковой функции .

Обобщения

Равнонепрерывность в топологических пространствах

Самый общий сценарий, в котором может быть определена равнонепрерывность, относится к топологическим пространствам , тогда как равномерная равнонепрерывность требует, чтобы фильтр окрестностей одной точки был каким-то образом сопоставим с фильтром окрестностей другой точки. Последнее чаще всего достигается посредством единой структуры , дающей единообразное пространство . Соответствующими определениями в этих случаях являются следующие:

Множество A функций, непрерывных между двумя топологическими пространствами X и Y , топологически равнонепрерывно в точках x ∈ X и y ∈ Y , если для любого открытого множества O около y существуют окрестности U точек x и V точки y такие, что для любого f ∈ A , если пересечение f [ U ] и V непусто, f [ U ⊆ O. ] Тогда A говорят, что топологически равностепенно непрерывна в точке x ∈ X , если она топологически равностепенно непрерывна в точках x и y для каждого y ∈ Y . Наконец, A является равностепенной непрерывностью если она равностепенно непрерывна в точке x для всех точек x ∈ X. ,

Множество A непрерывных функций между двумя равномерными пространствами X и Y является равномерно равнонепрерывным , если для каждого элемента W равномерности на Y множество

{ ( u,v ) ∈ X × X : для всех f ∈ A . ( ж ( ты ), ж ( v )) ∈ W }

является членом равномерности на X

Введение в однородные пространства

Основная статья: Единое пространство

Теперь мы кратко опишем основную идею, лежащую в основе единообразия.

Равномерность 𝒱 — ​​это непустой набор подмножеств Y × Y , где, помимо многих других свойств, каждое V ∈ 𝒱 , V содержит диагональ Y (т. е. {( y , y ) ∈ Y } ). Каждый элемент 𝒱 называется антуражем .

Равномерности обобщают идею (взятую из метрических пространств ) о точках, которые являются « r -близкими» (при r > 0 ), что означает, что их расстояние < r . Чтобы прояснить это, предположим, что ( Y , d ) - метрическое пространство (поэтому диагональ Y - это множество {( y , z ) ∈ Y × Y : d ( y , z ) = 0} )Для любого r > 0 пусть

U _р знак равно {( y , z ) ∈ Y × Y : d ( y , z ) < р }

обозначаем множество всех пар точек, которые являются r -близкими. Обратите внимание: если бы мы «забыли» о существовании d , то для любого r > 0 мы все равно смогли бы определить, являются ли две точки r Y - близкими, используя только множества U _r . Таким образом, множества U _r инкапсулируют всю информацию, необходимую для определения таких вещей, как равномерная непрерывность и равномерная сходимость, без необходимости использования какой-либо метрики. Аксиоматизация наиболее основных свойств этих множеств приводит к определению однородности . Действительно, множества U _r порождают однородность, канонически связанную с метрическим пространством ( Y , d ) .

Преимущество этого обобщения состоит в том, что теперь мы можем распространить некоторые важные определения, имеющие смысл для метрических пространств (например, полноты ), на более широкую категорию топологических пространств. В частности, к топологическим группам и топологическим векторным пространствам .

Более слабая концепция — это концепция равномерной непрерывности.

Множество A непрерывных функций между двумя топологическими пространствами X и Y называется равномерно непрерывным в точках x ∈ X и y ∈ Y, если для любого открытого множества O , содержащего y, существуют окрестности U точки x и V точки y такие, что f [ U ] ⊆ O всякий раз, когда ж ( Икс ) ∈ V . Он равномерно непрерывен в точке x, он равномерно непрерывен в точках x и y для каждого y ∈ Y , и равномерно непрерывен , если он равномерно непрерывен в точке x для каждого x ∈ X. если

Стохастическая равнонепрерывность

Основная статья: Стохастическая равнонепрерывность

Стохастическая равнонепрерывность — это версия равнонепрерывности, используемая в контексте последовательностей функций случайных величин и их сходимости .

См. также

• Абсолютная непрерывность - форма непрерывности функций.
• Классификация разрывов . Математический анализ точек разрыва.
• Грубая функция
• Непрерывная функция – математическая функция без резких изменений.
• Непрерывная функция (теория множеств) - последовательность ординалов, такая, что значения, принимаемые на предельных стадиях, являются пределами (предельная верхняя граница и предельная нижняя) всех значений на предыдущих этапах. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Непрерывный случайный процесс - Случайный процесс, который является непрерывной функцией времени или индексного параметра.
• Преемственность Дини
• Функция сохранения направления — аналог непрерывной функции в дискретных пространствах.
• Микронепрерывность - математический термин
• Нормальная функция - Функция ординалов в математике.
• Кусочно — функция, определяемая несколькими подфункциями.
• Симметрично непрерывная функция
• Равномерная непрерывность – Равномерное ограничение изменения функций

Ссылки

• «Равнонепрерывность» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1980), Функциональный анализ (переработанное и дополненное издание), Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN  978-0-12-585050-6 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .

• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill .
• Шефер, Хельмут Х. (1966), Топологические векторные пространства , Нью-Йорк: The Macmillan Company.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .