Стохастическая равнонепрерывность

В теории оценивания статистике стохастическая в равнонепрерывность — это свойство оценщиков (процедур оценки), которое полезно при работе с их асимптотическим поведением по мере увеличения объема данных. Это версия равнонепрерывности, используемая в контексте функций случайных величин : то есть случайных функций . Это свойство относится к скорости сходимости последовательностей случайных величин и требует, чтобы эта скорость была по существу одинаковой в пределах области пространства параметров рассматриваемой .

Например, стохастическая равнонепрерывность, наряду с другими условиями, может использоваться для демонстрации равномерной слабой сходимости, которую можно использовать для доказательства сходимости оценок экстремума .

Определение

Позволять $\{H_{n}(\theta ):n\geq 1\}$ быть семейством случайных функций, определенных из $\Theta \rightarrow \mathbb {R}$, где $\Theta$ — любое нормированное метрическое пространство. Здесь $\{H_{n}(\theta )\}$ может представлять собой последовательность оценщиков, применяемых к наборам данных размера n , учитывая, что данные происходят из совокупности, для которой параметр, индексирующий статистическую модель для данных, равен θ . Случайность функций возникает в процессе генерации данных , при котором набор наблюдаемых данных считается реализацией вероятностной или статистической модели. Однако в $\{H_{n}(\theta )\}$, θ относится к модели, которая в настоящее время постулируется или подгоняется, а не к базовой модели, которая, как предполагается, представляет механизм, генерирующий данные. Затем $\{H_{n}\}$ стохастически равнонепрерывно, если для любого $\epsilon >0$ и $\eta >0$, есть $\delta >0$ такой, что:

$\limsup _{n\rightarrow \infty }\Pr \left(\sup _{\theta \in \Theta }\sup _{\theta '\in B(\theta ,\delta )}|H_{n}(\theta ')-H_{n}(\theta )|>\epsilon \right)<\eta .$

Здесь B ( θ, δ ) представляет собой шар в пространстве параметров с центром в точке θ и радиус которого зависит от δ .

Дальнейшее чтение

• Поллард, Дэвид (1984). «Стохастическая равнонепрерывность» . Сходимость случайных процессов . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 138–142. ISBN  0-387-90990-7 .