Скудный набор

В математической области общей топологии ( скудное множество также называемое скудным множеством или множеством первой категории ) — это подмножество топологического пространства , которое мало или незначительно в точном смысле, подробно описанном ниже. Множество, не являющееся скудным, называется нетощим или относится ко второй категории . Ниже приведены определения других связанных терминов.

Скудные подмножества фиксированного пространства образуют σ-идеал подмножеств; то есть любое подмножество скудного множества является скудным, а объединение счетного числа скудных множеств является скудным.

Тощие множества играют важную роль в формулировке понятия пространства Бэра и теоремы Бэра о категориях , которая используется при доказательстве ряда фундаментальных результатов функционального анализа .

Определения

Через, $X$ будет топологическим пространством .

В определении скудного множества используется понятие нигде не плотного подмножества. $X,$ то есть подмножество $X$ чье закрытие имеет пустую внутреннюю часть . Подробности смотрите в соответствующей статье.

Подмножество $X$ называется скудный в $X,$ а скудное подмножество $X,$ или из первая категория в $X$ если это счетное объединение нигде не плотных подмножеств $X$. В противном случае подмножество называется нескудный в $X,$ а нескучное подмножество $X,$ или из вторая категория в $X.$ Классификатор «в $X$" можно опустить, если окружающее пространство фиксировано и понимается из контекста.

Топологическое пространство называется скудное (соответственно, nonmeagre ), если оно является скудным (соответственно нетощим) подмножеством самого себя.

Подмножество $A$ из $X$ называется заходите ​ $X,$ или остаток в $X,$ если его дополнение $X\setminus A$ скуден в $X$. (Такое использование префикса «co» согласуется с его использованием в других терминах, таких как « cofinite ».)Входит подмножество $X$ тогда и только тогда, когда оно равно счетному пересечению множеств, каждое из которых внутренне плотно в $X.$

Замечания по терминологии

Не следует путать понятия «незначительное» и «среднее». Если пространство $X$ является скудным, каждое подмножество одновременно скудно и скудно, и нетощих множеств не существует. Если пространство $X$ нетощее, ни одно множество не является одновременно скудным и со-сведенным, всякое со-сходное множество не скудно, и могут существовать несократимые множества, которые не являются со-с-сведенными, т. е. с нетощим дополнением. См. раздел «Примеры» ниже.

В качестве дополнительной терминологии, если подмножество $A$ топологического пространства $X$ задана топология подпространства, индуцированная из $X$, можно говорить о том, что это скудное пространство, а именно скудное подмножество самого себя (если рассматривать его как самостоятельное топологическое пространство). В этом случае $A$ также можно назвать скудным подпространством $X$, что означает скудное пространство при заданной топологии подпространства. Важно отметить, что это не то же самое, что быть скудным во всем пространстве. $X$. (См. взаимосвязь между ними в разделах «Свойства» и «Примеры» ниже.) Точно так же нетощее подпространство будет набором, который неточен сам по себе, что не то же самое, что быть нетощим во всем пространстве. Однако имейте в виду, что в контексте топологических векторных пространств некоторые авторы могут использовать фразу «тощее/немалое подпространство» для обозначения векторного подпространства, которое представляет собой скудное/немалое множество относительно всего пространства.

Термины «первая категория» и «вторая категория» были оригинальными, использованными Рене Бэром в его диссертации 1899 года. Скудная в 1948 году терминология была введена Бурбаки .

Примеры

Пустое множество всегда является замкнутым, нигде не плотным (и, следовательно, скудным) подмножеством любого топологического пространства.

В необъятном пространстве $X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )$ набор $[2,3]\cap \mathbb {Q}$ скуден. Набор $[0,1]$ является немалым и соразмерным.

В необъятном пространстве $X=[0,2]$ набор $[0,1]$ является немалым. Но это не сходство, а его дополнение. $(1,2]$ также невелик.

Счетное T ₁ пространство без изолированной точки является тощим. Поэтому оно также скудно в любом пространстве, которое содержит его в качестве подпространства. Например, $\mathbb {Q}$ является скудным подпространством $\mathbb {R}$ (т. е. скудный сам по себе с топологией подпространства, индуцированной из $\mathbb {R}$) и скудное подмножество $\mathbb {R} .$

Множество Кантора нигде не является плотным. $\mathbb {R}$ и, следовательно, скудный в $\mathbb {R} .$ Но оно само по себе нетощее, так как представляет собой полное метрическое пространство .

Набор $([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}$ нигде не густо $\mathbb {R}$, но он скуден в $\mathbb {R}$. Оно само по себе нетощее (поскольку как подпространство содержит изолированную точку).

Линия $\mathbb {R} \times \{0\}$ скуден в самолете $\mathbb {R} ^{2}.$ Но это нетощее подпространство, то есть оно нетощее само по себе.

Набор $S=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})$ скудное подмножество представляет собой $\mathbb {R} ^{2}$ хотя это скудное подмножество $\mathbb {R} \times \{0\}$ является неметричным подпространством ( т.е. $\mathbb {R}$ не является скудным топологическим пространством). Счетное хаусдорфово пространство без изолированных точек является тощим, тогда как любое топологическое пространство, содержащее изолированную точку, нетощее. Поскольку рациональные числа счетны, они скудны как подмножество действительных чисел и как пространство, то есть они не образуют пространство Бэра .

Любое топологическое пространство, содержащее изолированную точку , нетощее. (потому что никакое множество, содержащее изолированную точку, не может быть нигде плотным). В частности, всякое непустое дискретное пространство нетощее.

Есть подмножество $H$ реальных чисел $\mathbb {R}$ который разбивает каждое непустое открытое множество на два нескучных множества. То есть для каждого непустого открытого множества $U\subseteq \mathbb {R}$, наборы $U\cap H$ и $U\setminus H$ оба немаленькие.

В космосе $C([0,1])$ непрерывных действительных функций на $[0,1]$ с топологией равномерной сходимости множество $A$ непрерывных действительных функций на $[0,1]$ которые имеют производную в какой-то момент, скудны. С $C([0,1])$ — полное метрическое пространство, оно нетощее. Итак, дополнение $A$, состоящая из непрерывных вещественных и нигде не дифференцируемых функций на $[0,1],$ бывает скупым и не скудным. В частности, это множество не пусто. Это один из способов показать существование непрерывных, нигде не дифференцируемых функций.

На бесконечномерном банахе существует разрывный линейный функционал , ядро ​​которого нетощее. Кроме того, согласно аксиоме Мартина на каждом сепарабельном банаховом пространстве существует разрывный линейный функционал с тощим ядром (это утверждение опровергает гипотезу Виланского – Кли ).

Характеристики и достаточные условия

Каждое непустое пространство Бэра нетощее. В частности, по теореме Бэра о категории всякое непустое полное метрическое пространство и всякое непустое локально компактное хаусдорфово пространство неменее.

Каждое непустое пространство Бэра нетосто, но существуют нетощие пространства, которые не являются пространствами Бэра. Поскольку полные (псевдо) метрические пространства , как и хаусдорфовые локально компактные пространства , являются пространствами Бэра , они также являются немерными пространствами.

Любое подмножество скудного множества является скудным множеством, как и объединение счетного числа скудных множеств. Если $h:X\to X$ является гомеоморфизмом , то подмножество $S\subseteq X$ скудно тогда и только тогда, когда $h(S)$ скуден.

Каждое нигде не плотное подмножество является скудным множеством. Следовательно, любое замкнутое подмножество $X$ чей интерьер в $X$ пусто, относится к первой категории $X$ (то есть это скудное подмножество $X$).

The Теорема о банаховой категории утверждает, что в любом пространстве $X,$ объединение любого семейства открытых множеств первой категории имеет первую категорию.

Все подмножества и все счетные объединения тощих множеств тощие. Таким образом, скудные подмножества фиксированного пространства образуют σ-идеал подмножеств, подходящее понятие пренебрежимо малого множества . Двойственным образом все надмножества и все счетные пересечения сходящихся множеств являются соединёнными. Каждое надмножество нетощего множества является нетощим.

Предполагать $A\subseteq Y\subseteq X,$ где $Y$ имеет топологию подпространства, индуцированную из $X.$ Набор $A$ может быть скудным в $X$ не будучи скудным в $Y.$ Однако справедливы следующие результаты:

• Если $A$ скуден в $Y,$ затем $A$ скуден в $X.$
• Если $Y$ открыт в $X,$ затем $A$ скуден в $Y$ тогда и только тогда, когда $A$ скуден в $X.$
• Если $Y$ плотный в $X,$ затем $A$ скуден в $Y$ тогда и только тогда, когда $A$ скуден в $X.$

И соответственно для нескучных множеств:

• Если $A$ невелик в $X,$ затем $A$ невелик в $Y.$
• Если $Y$ открыт в $X,$ затем $A$ невелик в $Y$ тогда и только тогда, когда $A$ невелик в $X.$
• Если $Y$ плотный в $X,$ затем $A$ невелик в $Y$ тогда и только тогда, когда $A$ невелик в $X.$

В частности, каждое подмножество $X$ это скудно само по себе скудно $X.$ Каждое подмножество $X$ это немаленькое в $X$ само по себе невелико. А для открытого множества или плотного множества в $X,$ быть скудным в $X$ эквивалентно скудности само по себе, и то же самое происходит с нескудным имуществом.

Топологическое пространство $X$ нетолен тогда и только тогда, когда каждое счетное пересечение плотных открытых множеств в $X$ непусто.

Характеристики

Неточное локально выпуклое топологическое векторное пространство — это бочкообразное пространство .

Каждое нигде не плотное подмножество $X$ скуден. Следовательно, любое замкнутое подмножество с пустой внутренностью является тощим. Таким образом, закрытое подмножество $X$ это вторая категория в $X$ должен иметь непустую внутреннюю часть $X$ (потому что в противном случае оно было бы нигде не плотным и, следовательно, относилось бы к первой категории).

Если $B\subseteq X$ относится ко второй категории $X$ и если $S_{1},S_{2},\ldots$ являются подмножествами $X$ такой, что $B\subseteq S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots$ тогда хотя бы один $S_{n}$ относится ко второй категории $X.$

Скудные подмножества и мера Лебега

Нигде не существует плотных подмножеств (которые, таким образом, являются скудными подмножествами), которые имеют положительную меру Лебега .

Скудный набор $\mathbb {R}$ не обязательно должна иметь нулевую меру Лебега и даже может иметь полную меру. Например, в интервале $[0,1]$ толстые канторовы множества , как и множество Смита–Вольтерра–Кантора , нигде не замкнуты и могут быть построены с мерой, сколь угодно близкой к $1.$ Объединение счетного числа таких множеств с мерой, приближающейся к $1$ дает скудное подмножество $[0,1]$ с мерой $1.$

Двойственным образом могут существовать немежные множества с нулевой мерой. Дополнение любого скудного набора мер $1$ в $[0,1]$ (например, в предыдущем абзаце) имеет меру $0$ и согласен $[0,1],$ и, следовательно, не скудный по $[0,1]$ с $[0,1]$ является пространством Бэра.

Вот еще один пример нескудного множества в $\mathbb {R}$ с мерой $0$: $$\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(r_{n}-\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m},r_{n}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m}\right)$$где $r_{1},r_{2},\ldots$ – это последовательность, перечисляющая рациональные числа.

Связь с иерархией Бореля

Подобно тому, как нигде плотное подмножество не обязательно должно быть замкнутым, а всегда содержится в замкнутом нигде плотном подмножестве (т. е. его замыкании), скудное множество не обязательно должно быть замкнутым. $F_{\sigma }$ множество (счетное объединение замкнутых множеств), но всегда содержится в $F_{\sigma }$ множество, созданное из ниоткуда плотными множествами (путем замыкания каждого множества).

Двойственным образом, подобно тому как дополнение нигде не плотного множества не обязательно должно быть открытым, но имеет плотную внутреннюю часть (содержит плотное открытое множество), сходное множество не обязательно должно быть $G_{\delta }$ множество (счетное пересечение открытых множеств), но содержит плотное $G_{\delta }$ множество, образованное из плотных открытых множеств.

Игра Банаха–Мазура

Скудные множества имеют полезную альтернативную характеристику в терминах игры Банаха–Мазура . Позволять $Y$ быть топологическим пространством, ${\mathcal {W}}$ быть семейством подмножеств $Y$ которые имеют непустую внутренность и каждое непустое открытое множество имеет подмножество, принадлежащее ${\mathcal {W}},$ и $X$ быть любым подмножеством $Y.$ Далее идет игра Банаха–Мазура. $MZ(X,Y,{\mathcal {W}}).$ В игре Банах-Мазур два игрока $P$ и $Q,$ поочередно выбирайте последовательно меньшие элементы ${\mathcal {W}}$ для создания последовательности $W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .$ Игрок $P$ выигрывает, если пересечение этой последовательности содержит точку в $X$; в противном случае игрок $Q$ побеждает.

Теорема — Для любого ${\mathcal {W}}$ отвечающий вышеуказанным критериям, игрок $Q$ имеет выигрышную стратегию тогда и только тогда, когда $X$ скуден.

Двойственность Эрдеша – Серпинского

Многие аргументы о скудных множествах также применимы к нулевым наборам , то есть наборам меры Лебега 0. Теорема двойственности Эрдеша – Серпинского утверждает, что, если гипотеза континуума верна, существует инволюция от вещественных чисел к действительным числам, где образ нулевого множества действительных чисел равен скудный набор, и наоборот. Фактически, изображение набора реалов под картой является нулевым тогда и только тогда, когда исходное множество было скудным, и наоборот.

См. также

• Бочковое пространство - тип топологического векторного пространства.
• Родовая собственность - владение собственностью для типичных примеров, для аналогов остаточного имущества.
• Незначительный набор - Математический набор, считающийся незначительным для аналогов скудного набора.
• Свойство Бэра – Отличие открытого множества от скудного.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Полет. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64563-4 . ОСЛК   246032063 .
• Окстоби, Джон К. (1980). «Теорема Банаховой категории» . Мера и категория (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 62–65. ISBN  0-387-90508-1 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .