Набор Смита – Вольтерры – Кантора

После удаления черных интервалов оставшиеся белые точки представляют собой нигде не плотное множество меры 1/2.

В математике множество Смита –Вольтерры–Кантора ( SVC ), ε-множество Кантора , или толстое множество Кантора — это пример набора точек на реальной прямой , который нигде не плотен (в частности, не содержит интервалов ), но имеет положительную меру . Множество Смита-Вольтерры-Кантора названо в честь математиков Генри Смита , Вито Вольтерры и Георга Кантора . В статье 1875 года Смит обсуждал нигде не плотный набор положительных мер на реальной линии: и Вольтерра представил аналогичный пример в 1881 году. Множество Кантора, каким мы его знаем сегодня, появилось в 1883 году. Множество Смита-Вольтерры-Кантора топологически эквивалентно множеству Кантора средней трети .

Строительство

Подобно построению множества Кантора , множество Смита–Вольтерры–Кантора строится путем удаления определенных интервалов из единичного интервала. $[0,1].$

Процесс начинается с удаления средней 1/4 из интервала $[0,1]$ (то же самое, что удалить 1/8 по обе стороны от средней точки в 1/2), поэтому оставшийся набор равен

$$\left[0,{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},1\right].$$

Следующие шаги заключаются в удалении подинтервалов шириной $1/4^{n}$ от середины каждого из $2^{n-1}$ оставшиеся интервалы. Итак, для второго шага интервалы $(5/32,7/32)$ и $(25/32,27/32)$ удаляются, оставляя

$$\left[0,{\tfrac {5}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {7}{32}},{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},{\tfrac {25}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {27}{32}},1\right].$$

Продолжая это удаление бесконечно, набор Смита-Вольтерры-Кантора станет набором точек, которые никогда не удаляются. На изображении ниже показан исходный набор и пять итераций этого процесса.

Каждая последующая итерация в конструкции множества Смита – Вольтерры – Кантора удаляет пропорционально меньше из оставшихся интервалов. Это контрастирует с множеством Кантора , где доля, удаленная из каждого интервала, остается постоянной. Таким образом, множество Смита–Вольтерры–Кантора имеет положительную меру, а множество Кантора имеет нулевую меру.

Свойства

По построению множество Смита–Вольтерра–Кантора не содержит интервалов и, следовательно, имеет пустую внутреннюю часть. Это также пересечение последовательности замкнутых множеств , а значит, она замкнута.В ходе процесса интервалы общей длины

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{2^{2n+2}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\,$$

удалены из $[0,1],$ показывая, что множество остальных точек имеет положительную меру 1/2. Это делает множество Смита-Вольтерра-Кантора примером замкнутого множества, граница которого имеет положительную меру Лебега .

Другие

В общем, можно удалить $r_{n}$ из каждого оставшегося подинтервала в $n$шаге алгоритма и в конечном итоге получим множество, подобное Кантору. Результирующий набор будет иметь положительную меру тогда и только тогда, когда сумма последовательности меньше меры начального интервала. Например, предположим, что средние интервалы длины $a^{n}$ удалены из $[0,1]$ для каждого $n$итерация, для некоторых $0\leq a\leq {\dfrac {1}{3}}.$ Тогда полученное множество имеет меру Лебега

$${\begin{aligned}1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a^{n+1}&=1-a\sum _{n=0}^{\infty }(2a)^{n}\\[5pt]&=1-a{\frac {1}{1-2a}}\\[5pt]&={\frac {1-3a}{1-2a}}\end{aligned}}$$

который идет от $0$ к $1$ как $a$ идет от $1/3$ к $0.$ ( $a>1/3$ в данной конструкции невозможно.)

Декартовы произведения множеств Смита – Вольтерра – Кантора можно использовать для поиска полностью несвязных множеств в более высоких измерениях с ненулевой мерой. Применяя теорему Данжуа-Рисса к двумерному множеству этого типа, можно найти кривую Осгуда , кривую Жордана такую, что точки на кривой имеют положительную площадь.

См. также

• Набор Смита – Вольтерры – Кантора используется при построении функции Вольтерра (см. Внешнюю ссылку).
• Множество Смита-Вольтерры-Кантора является примером компактного множества , которое не является измеримым по Жордану, см. Жорданову меру#Расширение на более сложные множества .
• Индикаторная функция множества Смита – Вольтерра – Кантора является примером ограниченной функции, которая не интегрируема по Риману на (0,1) и, более того, не равна почти всюду интегрируемой по Риману функции, см. Интеграл по Риману # Примеры .
• Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.