Оператор смены

В математике и, в частности, в функциональном анализе , оператор сдвига , также известный как оператор перевода , представляет собой оператор , который принимает функцию $x \mapsto f (x)$ к его переводу $Икс \mapsto ж (Икс + а)$ . ^[1] В анализе временных рядов оператор сдвига называется оператором задержки .

Операторы сдвига являются примерами линейных операторов , важных из-за их простоты и естественности. Действие оператора сдвига на функции действительной переменной играет важную роль в гармоническом анализе , например, оно появляется в определениях почти периодических функций , положительно определенных функций , производных и свертки . ^[2] Сдвиги последовательностей (функций целочисленной переменной) появляются в различных областях, таких как пространства Харди , теория абелевых многообразий и теория символической динамики , для которых карта пекаря является явным представлением. Понятие триангулированной категории является категоризированным аналогом оператора сдвига.

Определение

Функции действительной переменной

Оператор сдвига $T т$ (где ⁠ $t\in \mathbb {R}$ ⁠ ) принимает функцию $f$ на ⁠ $\mathbb {R}$ ⁠ к его переводу $f t$ ,

T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.

Практическое в операционном исчислении представление линейного оператора $T т$ с точки зрения простой производной ⁠ ${\tfrac {d}{dx}}$ ⁠ был введен Лагранжем ,

$T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,$

который можно интерпретировать оперативно через его формальное разложение Тейлора по $t$ ; и чье действие на моном $x н$ очевидно по биномиальной теореме и, следовательно, для всех рядов по $x$ и, следовательно, для всех функций $f (x),$ как указано выше. ^[3] Таким образом, это формальная кодировка расширения Тейлора в исчислении Хевисайда.

Таким образом, оператор предоставляет прототип ^[4] для знаменитого адвективного потока Ли для абелевых групп ,

\exp \left(t\beta (x){\frac {d}{dx}}\right)f(x)=\exp \left(t{\frac {d}{dh}}\right)F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),

где канонические координаты $h$ ( функции Абеля ) определены так, что

h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).

Например, из этого легко следует, что $\beta (x)=x$ дает масштабирование,

\exp \left(tx{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f(e^{t}x),

следовательно $\exp \left(i\pi x{\tfrac {d}{dx}}\right)f(x)=f(-x)$ (паритет); так же, $\beta (x)=x^{2}$ урожайность ^[5]

\exp \left(tx^{2}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),

$\beta (x)={\tfrac {1}{x}}$ урожайность

\exp \left({\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),

$\beta (x)=e^{x}$ урожайность

\exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),

и т. д.

Начальное условие потока и групповое свойство полностью определяют весь поток Ли, обеспечивая решение функционального уравнения сдвига ^[6]

f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).

Последовательности

Оператор сдвига влево действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел следующим образом:

S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )

а на двусторонних бесконечных последовательностях -

T:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.

Оператор правого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел следующим образом:

S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )

а на двусторонних бесконечных последовательностях -

T^{-1}:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.

Операторы правого и левого сдвига, действующие на двусторонние бесконечные последовательности, называются двусторонними сдвигами.

Абелевы группы

В общем, как показано выше, если $F$ — функция в абелевой группе $G$ , а $h$ — элемент $G$ , оператор сдвига $T г$ отображает $F$ в ^[6]^[7]

F_{g}(h)=F(h+g).

Свойства оператора сдвига

Оператор сдвига, действующий на вещественные или комплексные функции или последовательности, представляет собой линейный оператор, который сохраняет большинство стандартных норм , возникающих в функциональном анализе. Поэтому обычно это непрерывный оператор с нормой один.

Действие в гильбертовых пространствах

Оператор сдвига, действующий на двусторонние последовательности, является унитарным оператором на ⁠ $\ell _{2}(\mathbb {Z} ).$ ⁠ Оператор сдвига, действующий на функции действительной переменной, является унитарным оператором на ⁠ $L_{2}(\mathbb {R} ).$ ⁠

В обоих случаях оператор (левого) сдвига удовлетворяет следующему коммутационному соотношению с преобразованием Фурье: ${\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},$ где $М т$ — оператор умножения на $exp(itx)$ . Следовательно, спектр $T т$ является единичным кругом.

Односторонний сдвиг $S,$ действующий на ⁠ $\ell _{2}(\mathbb {N} )$ ⁠ — правильная изометрия с диапазоном , равным всем векторам , обращающимся в нуль в первой координате . Оператор $S$ является сжатием T $ -1$ , в том смысле, что $T^{-1}y=Sx{\text{ for each }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),$ где $y$ - вектор в ⁠ $\ell _{2}(\mathbb {Z} )$ ⁠ где $y я знак равно Икс я$ для $я \geq 0$ и $y я знак равно 0$ для $я < 0$ . Это наблюдение лежит в основе построения многих унитарных расширений изометрий.

Спектр представляет S $собой$ единичный круг . Сдвиг $S$ является одним из примеров оператора Фредгольма ; он имеет индекс Фредгольма -1.

Обобщение

Жан Дельсарт ввел понятие обобщенного оператора сдвига (также называемого оператором обобщенного смещения ); дальнейшее развитие получил Борис Левитан . ^[2]^[8]^[9]

Семейство операторов ⁠ $\{L^{x}\}_{x\in X}$ ⁠ действующий на пространстве $Φ$ функций из множества $X$ в ⁠ $\mathbb {C}$ ⁠ называется семейством операторов обобщенного сдвига, если выполняются следующие свойства:

Ассоциативность : пусть $(R^{y}f)(x)=(L^{x}f)(y).$ Затем $L^{x}R^{y}=R^{y}L^{x}.$
Существует $e$ в $X$ такое, что $L и$ является идентификационным оператором .

В этом случае множество $X$ называется гипергруппой .

См. также

Примечания

^ Вайсштейн, Эрик В. «Оператор смены» . Математический мир .
^ Перейти обратно: ^а ^б Марченко, В.А. (2006). «Обобщенный сдвиг, операторы преобразования и обратные задачи». Математические события ХХ века . Берлин: Шпрингер. стр. 145–162. дои : 10.1007/3-540-29462-7_8 . ISBN 978-3-540-23235-3 . МР 2182783 .
^ Джордан, Чарльз (1939/1965). Исчисление конечных разностей (AMS Chelsea Publishing), ISBN 978-0828400336 .
^ М. Хамермеш (1989), Теория групп и ее применение к физическим проблемам (Дуврские книги по физике), Hamermesh ISBM 978-0486661810, глава 8-6, стр. 294-5, онлайн .
^ стр. 75 Георга Шефферса (1891): Софус Ли, Лекции по дифференциальным уравнениям с известными бесконечно малыми преобразованиями , Тойбнер, Лейпциг, 1891. ISBN 978-3743343078 онлайн
^ Перейти обратно: ^а ^б Аксель, Дж. (2006), Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, ISBN 978-0486445236 .
^ «Однопараметрическая непрерывная группа эквивалентна группе переводов». М. Хамермеш, там же .
^ Левитан, Б.М. ; Литвинов, Г.Л. (2001) [1994], «Операторы обобщенного смещения» , Энциклопедия математики , EMS Press
^ Бредихина, Е.А. (2001) [1994], "Почти-периодическая функция" , Энциклопедия Математики , EMS Press

Библиография

Партингтон, Джонатан Р. (15 марта 2004 г.). Линейные операторы и линейные системы . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511616693 . ISBN 978-0-521-83734-7 .
Марвин Розенблюм и Джеймс Ровняк, Классы Харди и теория операторов , (1985) Oxford University Press.

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Оператор смены» . Математический мир .

[mar-2] Перейти обратно: ^а ^б Марченко, В.А. (2006). «Обобщенный сдвиг, операторы преобразования и обратные задачи». Математические события ХХ века . Берлин: Шпрингер. стр. 145–162. дои : 10.1007/3-540-29462-7_8 . ISBN 978-3-540-23235-3 . МР 2182783 .

[3] Джордан, Чарльз (1939/1965). Исчисление конечных разностей (AMS Chelsea Publishing), ISBN 978-0828400336 .

[4] М. Хамермеш (1989), Теория групп и ее применение к физическим проблемам (Дуврские книги по физике), Hamermesh ISBM 978-0486661810, глава 8-6, стр. 294-5, онлайн .

[5] стр. 75 Георга Шефферса (1891): Софус Ли, Лекции по дифференциальным уравнениям с известными бесконечно малыми преобразованиями , Тойбнер, Лейпциг, 1891. ISBN 978-3743343078 онлайн

[acz-6] Перейти обратно: ^а ^б Аксель, Дж. (2006), Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, ISBN 978-0486445236 .

[7] «Однопараметрическая непрерывная группа эквивалентна группе переводов». М. Хамермеш, там же .

[8] Левитан, Б.М. ; Литвинов, Г.Л. (2001) [1994], «Операторы обобщенного смещения» , Энциклопедия математики , EMS Press

[9] Бредихина, Е.А. (2001) [1994], "Почти-периодическая функция" , Энциклопедия Математики , EMS Press

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]