Квазинормальный оператор

В теории операторов квазинормальные операторы — класс ограниченных операторов, определяемых ослаблением требований нормального оператора .

Каждый квазинормальный оператор является субнормальным оператором . Любой квазинормальный оператор в конечномерном гильбертовом пространстве является нормальным.

Определение и некоторые свойства

Определение

Пусть A — ограниченный оператор в гильбертовом пространстве H , тогда A называется квазинормальным, если A коммутирует с A*A , т.е.

$A(A^{*}A)=(A^{*}A)A.\,$

Характеристики

Нормальный оператор обязательно квазинормален.

Пусть A = UP — разложение A . полярное Если A квазинормально, то UP = PU . Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что положительный множитель P в полярном разложении имеет форму ( A*A ) ^{1 ⁄ 2} , уникальный положительный квадратный корень из A*A . Квазинормальность означает, что A коммутирует с A*A . Как следствие непрерывного функционального исчисления для самосопряженных операторов , A коммутирует с P = ( A*A ) ^{1 ⁄ 2} также, т.е.

$UPP=PUP.\,$

Итак, = PU в диапазоне P. UP С другой стороны, если h ∈ H лежит в ядре P , очевидно, UP h = 0. Но PU h также и = 0. потому что U — частичная изометрия начальное пространство которой является замыканием диапазона P. , Наконец, из самосопряженности P следует, что H является прямой суммой его образа и ядра. Таким образом, приведенный аргумент доказывает, что UP = PU на всем H .

С другой стороны, легко проверить, что если UP = PU , то A должно быть квазинормальным. Таким образом, оператор A квазинормален тогда и только тогда, когда UP = PU .

Когда H конечномерен, каждый квазинормальный оператор A является нормальным. Это связано с тем, что в конечномерном случае частичную изометрию U в полярном разложении A = UP можно считать унитарной. Это тогда дает

$A^{*}A=(UP)^{*}UP=PU(PU)^{*}=AA^{*}.\,$

В общем, частичная изометрия не может быть расширена до унитарного оператора, и поэтому квазинормальный оператор не обязательно должен быть нормальным. Например, рассмотрим односторонний сдвиг T . T квазинормально, потому что T*T — тождественный оператор. Но Т явно ненормален.

Квазинормальные инвариантные подпространства

Вообще неизвестно, имеет ли ограниченный оператор A в гильбертовом пространстве H нетривиальное инвариантное подпространство. Однако когда А нормально, утвердительный ответ даёт спектральная теорема . Каждый нормальный оператор A получается интегрированием тождественной функции по спектральной мере E = { E _B } на спектре A , σ ( A ):

$A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,dE(\lambda ).\,$

Для любого борелевского множества B ⊂ σ ( A ) проекция E _B коммутирует с A следовательно, образ EB _A. является инвариантным подпространством и ,

Сказанное выше можно распространить непосредственно на квазинормальные операторы. Сказать, что A коммутирует с A*A , значит сказать, что A коммутирует с ( A*A ). ^{1 ⁄ 2} . Но это означает, что A коммутирует с любым проектором E _B в спектральной мере ( A*A ) ^{1 ⁄ 2} , что доказывает утверждение об инвариантном подпространстве. На самом деле можно сделать вывод и нечто более сильное. Диапазон EB _{его ортогональное дополнение также} фактически является редуцирующим подпространством A , инвариантно относительно A. т.е.

Ссылки

• П. Халмош, Книга задач гильбертова пространства, Спрингер, Нью-Йорк, 1982.