Эллиптический комплекс

В математике , в частности в уравнениях в частных производных и дифференциальной геометрии , эллиптический комплекс обобщает понятие эллиптического оператора на последовательности. Эллиптические комплексы изолируют те особенности, общие для комплекса де Рама и комплекса Дольбо , которые необходимы для реализации теории Ходжа . Они также возникают в связи с теоремой Атьи-Зингера об индексе и теоремой Атьи-Ботта о неподвижной точке .

Определение

Если E ₀ , E ₁ , ..., E _k — векторные расслоения на гладком многообразии M (обычно считаемом компактным), то дифференциальный комплекс — это последовательность

$\Gamma (E_{0}){\stackrel {P_{1}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{1}){\stackrel {P_{2}}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {P_{k}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{k})$

дифференциальных операторов между пучками сечений E _i таких, что +1 _{Pi ∘} Pi = ₀ . Дифференциальный комплекс с операторами первого порядка называется эллиптическим, если последовательность символов

$0\rightarrow \pi ^{*}E_{0}{\stackrel {\sigma (P_{1})}{\longrightarrow }}\pi ^{*}E_{1}{\stackrel {\sigma (P_{2})}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {\sigma (P_{k})}{\longrightarrow }}\pi ^{*}E_{k}\rightarrow 0$

является точным вне нулевого участка. Здесь π — проекция кокасательного расслоения T*M на M , а π* — образ векторного расслоения.

См. также

• Цепной комплекс

Ссылки

Атья, МФ; Зингер, ИМ (1968). «Индекс эллиптических операторов: I» . Анналы математики . 87 (3): 484. дои : 10.2307/1970715 . JSTOR   1970715 .