Пространство Дирихле

В математике пространство Дирихле в области $\Omega \subseteq \mathbb {C} ,\,{\mathcal {D}}(\Omega )$ (названный в честь Питера Густава Лежена Дирихле ) — это воспроизводящее ядро ​​гильбертово пространство голоморфных функций , содержащееся внутри пространства Харди. $H^{2}(\Omega )$, для которого интеграл Дирихле , определяемый формулой

${\mathcal {D}}(f):={1 \over \pi }\iint _{\Omega }|f^{\prime }(z)|^{2}\,dA={1 \over 4\pi }\iint _{\Omega }|\partial _{x}f|^{2}+|\partial _{y}f|^{2}\,dx\,dy$

конечна (здесь dA обозначает площадь меры Лебега на комплексной плоскости $\mathbb {C}$). Последний представляет собой интеграл, встречающийся в принципе Дирихле для гармонических функций . Интеграл Дирихле определяет полунорму на ${\mathcal {D}}(\Omega )$. это не является нормой , поскольку В целом ${\mathcal {D}}(f)=0$ всякий раз, когда f является постоянной функцией .

Для $f,\,g\in {\mathcal {D}}(\Omega )$, мы определяем

${\mathcal {D}}(f,\,g):={1 \over \pi }\iint _{\Omega }f'(z){\overline {g'(z)}}\,dA(z).$

Это полувнутренний продукт, и явно ${\mathcal {D}}(f,\,f)={\mathcal {D}}(f)$. Мы можем оборудовать ${\mathcal {D}}(\Omega )$ с внутренним продуктом, заданным выражением

$\langle f,g\rangle _{{\mathcal {D}}(\Omega )}:=\langle f,\,g\rangle _{H^{2}(\Omega )}+{\mathcal {D}}(f,\,g)\;\;\;\;\;(f,\,g\in {\mathcal {D}}(\Omega )),$

где $\langle \cdot ,\,\cdot \rangle _{H^{2}(\Omega )}$ является обычным внутренним произведением на $H^{2}(\Omega ).$ Соответствующая норма $\|\cdot \|_{{\mathcal {D}}(\Omega )}$ дается

$\|f\|_{{\mathcal {D}}(\Omega )}^{2}:=\|f\|_{H^{2}(\Omega )}^{2}+{\mathcal {D}}(f)\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}(\Omega )).$

Обратите внимание, что это определение не уникально, другой распространенный вариант — взять $\|f\|^{2}=|f(c)|^{2}+{\mathcal {D}}(f)$, для некоторых фиксированных $c\in \Omega$.

Пространство Дирихле — это не алгебра , а пространство ${\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )$ является банаховой алгеброй относительно нормы

$\|f\|_{{\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )}:=\|f\|_{H^{\infty }(\Omega )}+{\mathcal {D}}(f)^{1/2}\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )).$

У нас обычно есть $\Omega =\mathbb {D}$ ( единичный диск комплексной плоскости $\mathbb {C}$), в таком случае ${\mathcal {D}}(\mathbb {D} ):={\mathcal {D}}$, и если

$f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}),$

затем

$D(f)=\sum _{n\geq 1}n|a_{n}|^{2},$

и

$\|f\|_{\mathcal {D}}^{2}=\sum _{n\geq 0}(n+1)|a_{n}|^{2}.$

Четко, ${\mathcal {D}}$ содержит все полиномы и, в более общем плане, все функции $f$, голоморфный на $\mathbb {D}$ такой, что $f'$ ограничен ​ ​ $\mathbb {D}$.

Воспроизводящееся ядро ​ ${\mathcal {D}}$ в $w\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ дается

$k_{w}(z)={\frac {1}{z{\overline {w}}}}\log \left({\frac {1}{1-z{\overline {w}}}}\right)\;\;\;\;\;(z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}).$

См. также

• Банахово пространство
• пространство Бергмана
• Харди космос
• Гильбертово пространство

Ссылки

• Аркоцци, Никола; Рохберг, Ричард; Сойер, Эрик Т.; Уик, Бретт Д. (2011), «Пространство Дирихле: обзор» (PDF) , New York J. Math. , 17а : 45–86
• Эль-Фаллах, Омар; Келлай, Карим; Машреги, Джавад; Рэнсфорд, Томас (2014). Введение в пространство Дирихле . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-04752-5 .