Группа Стейнберга (К-теория)

В алгебраической К-теории , области математики , группа Стейнберга $\operatorname {St} (A)$ кольца $A$ является универсальным центральным расширением стабильной коммутатора общей линейной группы $A$.

Он назван в честь Роберта Стейнберга и связан с нижним $K$-группы , в частности $K_{2}$ и $K_{3}$.

Определение

Абстрактно, учитывая кольцо $A$, группа Штейнберга $\operatorname {St} (A)$ является универсальным центральным расширением стабильной коммутанта полной линейной группы (коммутант совершенен и, следовательно, имеет универсальное центральное расширение).

Презентация с использованием генераторов и отношений

Конкретное представление с использованием генераторов и отношений выглядит следующим образом. Элементарные матрицы — т.е. матрицы вида ${e_{pq}}(\lambda ):=\mathbf {1} +{a_{pq}}(\lambda )$, где $\mathbf {1}$ - единичная матрица, ${a_{pq}}(\lambda )$ это матрица с $\lambda$ в $(p,q)$- запись и нули в другом месте, и $p\neq q$ — удовлетворяют следующим соотношениям, называемым отношениями Штейнберга :

${\begin{aligned}e_{ij}(\lambda )e_{ij}(\mu )&=e_{ij}(\lambda +\mu );&&\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{jk}(\mu )\right]&=e_{ik}(\lambda \mu ),&&{\text{for }}i\neq k;\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{kl}(\mu )\right]&=\mathbf {1} ,&&{\text{for }}i\neq l{\text{ and }}j\neq k.\end{aligned}}$

Неустойчивая Штейнберга. группа порядка $r$ над $A$, обозначенный ${\operatorname {St} _{r}}(A)$, определяется генераторами ${x_{ij}}(\lambda )$, где $1\leq i\neq j\leq r$ и $\lambda \in A$, причем эти генераторы подчиняются соотношениям Стейнберга. Стабильная группа Штейнберга , обозначаемая $\operatorname {St} (A)$, является прямым пределом системы ${\operatorname {St} _{r}}(A)\to {\operatorname {St} _{r+1}}(A)$. Ее также можно рассматривать как группу Стейнберга бесконечного порядка.

Картирование ${x_{ij}}(\lambda )\mapsto {e_{ij}}(\lambda )$ дает групповой гомоморфизм $\varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)$. Поскольку элементарные матрицы порождают подгруппу коммутатора , это отображение сюръективно на подгруппу коммутатора.

Интерпретация как фундаментальная группа

Группа Штейнберга — группа пространства Володина , представляющая собой объединение классифицирующих пространств унипотентных фундаментальная подгрупп $\operatorname {GL} (A)$.

Связь с К -теорией

К ₁

${K_{1}}(A)$ это коядро карты $\varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)$, как $K_{1}$ это абелианизация ${\operatorname {GL} _{\infty }}(A)$ и отображение $\varphi$ сюръективен на подгруппу коммутатора.

К ₂

${K_{2}}(A)$ является центром группы Штейнберга. Это было определение Милнора, и оно также следует из более общих определений высшего $K$-группы.

Это также ядро ​​отображения $\varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)$. Действительно, существует точная последовательность

$1\to {K_{2}}(A)\to \operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)\to {K_{1}}(A)\to 1.$

Эквивалентно, это множитель Шура группы элементарных матриц , поэтому это также группа гомологий : ${K_{2}}(A)={H_{2}}(E(A);\mathbb {Z} )$.

К ₃

Герстен (1973) показал, что ${K_{3}}(A)={H_{3}}(\operatorname {St} (A);\mathbb {Z} )$.

Ссылки

• Герстен, С.М. (1973), " $K_{3}$ кольца $H_{3}$ группы Стейнберга», Труды Американского математического общества , 37 (2), Американское математическое общество: 366–368, doi : 10.2307/2039440 , JSTOR   2039440
• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебру $K$-теория , Анналы математических исследований, вып. 72, Издательство Принстонского университета , MR   0349811
• Стейнберг, Роберт (1968), Лекции о группах Шевалле , Йельский университет, Нью-Хейвен, Коннектикут, MR   0466335 , заархивировано из оригинала 10 сентября 2012 г.