Относительная точка зрения Гротендика
Относительная точка зрения Гротендика — это эвристика, применяемая в определенных абстрактных математических ситуациях, с грубым смыслом принятия к рассмотрению семейств «объектов», явно зависящих от параметров , в качестве основной области исследования, а не одного такого объекта. Он назван в честь Александра Гротендика , который широко использовал его при рассмотрении фундаментальных аспектов алгебраической геометрии . За пределами этой области оно оказало особое влияние на теорию категорий и категориальную логику .
В обычной формулировке точка зрения рассматривает не объекты X данной категории C , а морфизмы
- е : Икс → S
где S — неподвижный объект. формализована в идее категории срезов объектов C «над» S. Эта идея Для перехода от одного фрагмента к другому требуется изменение базы ; с технической точки зрения изменение базы становится серьезной проблемой для всего подхода (см., например, условия Бека – Шевалле ).
Изменение базы «вдоль» данного морфизма
- г : Т → С
обычно задается продуктом волокна , создающим объект над T из объекта S. над Терминология «волокон» имеет важное значение: основная эвристика заключается в том, что X над S представляет собой семейство слоев, по одному на каждую «точку» S ; тогда продукт слоя является семейством на T , которое описывается слоями для каждой точки T является волокном в ее образе в S . Этот теоретико-множественный язык слишком наивен, чтобы соответствовать требуемому контексту, конечно, из алгебраической геометрии. Однако это сочетается с использованием леммы Йонеды для замены идеи «точки» идеей рассмотрения объекта, такого как S , «так же хорошо, как» представимый функтор, который он устанавливает.
Теорему Гротендика -Римана-Роха, датированную примерно 1956 годом, обычно называют ключевым моментом для введения этого круга идей. Более классические типы теорем Римана–Роха восстанавливаются в случае, когда S — одна точка (т.е. конечный объект в рабочей категории C ). Использование других S — это способ получить версии теорем «с параметрами», т. е. допускающие непрерывное изменение, для чего «замороженная» версия сводит параметры к константам .
В других приложениях этот образ мышления использовался в теории топоса , чтобы прояснить роль теории множеств в фундаментальных вопросах. Предполагая, что у нас нет приверженности одной «теории множеств» (все топосы в некотором смысле являются в равной степени теориями множеств для некоторой интуиционистской логики ), можно утверждать все относительно некоторой данной теории множеств, которая действует как базовый топос.
См. также
[ редактировать ]В этой статье используется терминология из теории категорий .
Ссылки
[ редактировать ]- «Смена базы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]