Групповая схема

В математике групповая схема — это тип объекта алгебраической геометрии, наделенный законом композиции. Групповые схемы естественным образом возникают как симметрии схем и обобщают алгебраические группы в том смысле, что все алгебраические группы имеют структуру групповой схемы, но групповые схемы не обязательно связны, гладки или определены над полем. Эта дополнительная общность позволяет изучать более богатые бесконечно малые структуры, а также помогает понимать вопросы арифметического значения и отвечать на них. Категория многообразий групповых схем ведет себя несколько лучше, чем категория групп , поскольку все гомоморфизмы имеют ядра и существует корректная теория деформации . Групповые схемы, не являющиеся алгебраическими группами, играют важную роль в арифметической геометрии и алгебраической топологии , поскольку они возникают в контексте представлений Галуа и задач модулей . Первоначальное развитие теории групповых схем принадлежит Александру Гротендику , Мишелю Рейно и Мишелю Демазюру. в начале 1960-х годов.

Определение

Групповая схема — это групповой объект в категории схем , который имеет расслоенные продукты и некоторый конечный S. объект То есть это S -схема G, снабженная одним из эквивалентных наборов данных

тройка морфизмов µ: G × _SG G → , e: S → G и ι: G → G , удовлетворяющая обычным совместимости групп (а именно ассоциативности µ, тождественности и обратным аксиомам)
функтор из схем над S в категорию групп , такой, что композиция с функтором забывания множеств G эквивалентна предпучку, соответствующему при вложении Йонеды . (См. также: групповой функтор .)

Гомоморфизм групповых схем — это отображение схем, допускающее умножение. Это можно точно сформулировать, либо сказав, что отображение f удовлетворяет уравнению f µ = µ( f × f ), либо сказав, что f является естественным преобразованием функторов из схем в группы (а не просто множества).

Левое действие групповой схемы G на схеме X — это морфизм G × _S X → X , индуцирующий левое действие группы G ( T ) на множестве X ( T для любой S -схемы T. ) Правильные действия определяются аналогично. Любая групповая схема допускает естественные левые и правые действия над базовой схемой путем умножения и сопряжения . Сопряжение — это действие автоморфизмами, т. е. оно коммутирует со структурой группы, и это индуцирует линейные действия на естественно производных объектах, таких как ее алгебра Ли и алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов.

- групповая S схема G коммутативна, если группа ( T ) является абелевой группой для всех S -схем T. G Существует несколько других эквивалентных условий, таких как сопряжение, вызывающее тривиальное действие, или отображение инверсии ι, являющееся автоморфизмом групповой схемы.

Конструкции

Учитывая группу G , можно сформировать постоянную групповую GS _схему . В качестве схемы это непересекающееся объединение копий S , и, выбрав идентификацию этих копий с элементами G , можно определить умножение, единицу и обратные отображения посредством транспорта структуры . В качестве функтора он переводит любую S -схему T в произведение копий группы G , где количество копий равно числу компонентов T. связности GS _G аффинна над S тогда и только тогда, когда — конечная группа. Однако можно взять проективный предел конечных групповых схем, чтобы получить проконечные групповые схемы, которые появляются при изучении фундаментальных групп и представлений Галуа или в теории фундаментальной групповой схемы , и они аффинны бесконечного типа. В более общем смысле, взяв локально постоянный пучок групп на S , можно получить локально постоянную групповую схему, для которой монодромия на базе может индуцировать нетривиальные автоморфизмы на слоях.
Наличие расслоений схем позволяет построить несколько конструкций. Конечные прямые произведения групповых схем имеют каноническую структуру групповых схем. При действии одной групповой схемы на другую посредством автоморфизмов можно образовать полупрямые произведения, следуя обычной теоретико-множественной конструкции. Ядра гомоморфизмов групповых схем представляют собой групповые схемы, взяв расслоенное произведение по единичному отображению из базы. Изменение базы отправляет групповые схемы в групповые схемы.
Групповые схемы могут быть сформированы из меньших групповых схем путем ограничения скаляров относительно некоторого морфизма базовых схем, хотя для обеспечения представимости полученного функтора необходимо выполнение условий конечности. Когда этот морфизм действует вдоль конечного расширения полей, он известен как ограничение Вейля .
Для любой абелевой группы A можно сформировать соответствующую диагонализируемую группу D ( A ), определенную как функтор, установив D ( A )( T ) как набор гомоморфизмов абелевой группы из A в обратимые глобальные сечения O _T для каждого S схема Т. - Если S аффинно, D ( A ) может быть сформирован как спектр группового кольца. В более общем смысле, можно формировать группы мультипликативного типа, позволяя A быть непостоянным пучком абелевых групп на S .
Для подгрупповой схемы H групповой схемы G функтор, переводящий S -схему T в G ( T )/ H ( T ), вообще говоря, не является пучком, и даже его пучок, вообще говоря, не представим в виде схемы. Однако если H конечна, плоская и замкнутая в G , то фактор представим и допускает каноническое левое G -действие путем переноса. Если ограничение этого действия на H тривиально, то H называется нормальным, и фактор-схема допускает естественный групповой закон. Представленность сохраняется во многих других случаях, например, когда H замкнуто в G и оба аффинны. ^[1]

Примеры

Мультипликативная группа G _m имеет проколотую аффинную линию в качестве базовой схемы и в качестве функтора отправляет S -схему T в мультипликативную группу обратимых глобальных секций структурного пучка. Ее можно описать как диагонализируемую группу D ( Z ), связанную с целыми числами. Над аффинной базой, такой как Spec A , это спектр кольца A [ x , y ]/( xy − 1), который также обозначается A [ x , x ⁻¹]. Карта единиц задается путем отправки x в единицу, умножение задается путем отправки x в x ⊗ x , а обратное задается путем отправки x в x ⁻¹. Алгебраические торы образуют важный класс коммутативных групповых схем, определяемых либо свойством быть локально на S произведением копий G _m , либо как группы мультипликативного типа, ассоциированные с конечно порожденными свободными абелевыми группами.
Общая линейная группа GL _n представляет собой аффинное алгебраическое многообразие, которое можно рассматривать как мультипликативную группу многообразия колец матриц n на n . В качестве функтора он отправляет S -схему T в группу обратимых n матриц размером на n , элементы которых являются глобальными сечениями T . Над аффинной базой ее можно построить как фактор кольца многочленов от n ² + 1 переменная по идеалу, кодирующему обратимость определителя. В качестве альтернативы его можно построить, используя 2 n ² переменные с отношениями, описывающими упорядоченную пару взаимно обратных матриц.
Для любого положительного целого числа n группа µ _n является ядром n-й преобразования степени из G _m в себя. В качестве функтора он отправляет любую S -схему T в группу глобальных сечений f схемы T таких, что f ^н = 1. Над аффинной базой, такой как Spec A , это спектр A [x]/( x ^н−1). Если n не обратимо по базе, то эта схема не является гладкой. В частности, над полем характеристики p µ _p не является гладким.
Аддитивная группа G _a имеет аффинную прямую A ¹ как его основная схема. В качестве функтора он отправляет любую S -схему T в базовую аддитивную группу глобальных секций структурного пучка. Над аффинной базой, такой как Spec A , это спектр кольца полиномов A [ x ]. Карта единиц задается путем отправки x в ноль, умножение задается путем отправки x в 1 ⊗ x + x ⊗ 1, а обратное значение задается путем отправки x в − x .
Если p = 0 в S для некоторого простого числа p , то взятие p- х степеней индуцирует эндоморфизм G _a , а ядром является групповая схема α _p . По аффинной базе, такой как Spec A , это спектр A [x]/( x ^п).
Группа автоморфизмов аффинной прямой изоморфна полупрямому произведению G _a на G _m , где аддитивная группа действует сдвигами, а мультипликативная группа - растяжениями. Подгруппа, фиксирующая выбранную базовую точку, изоморфна мультипликативной группе, и, если базовая точка является единицей аддитивной групповой структуры, отождествляет G _m с группой автоморфизмов G _a .
Гладкая кривая рода один с отмеченной точкой (т. е. эллиптическая кривая ) имеет уникальную структуру групповой схемы с этой точкой в качестве единицы. В отличие от предыдущих примеров положительной размерности, эллиптические кривые проективны (в частности, собственные).

Основные свойства

Предположим, что G — групповая схема конечного типа над полем k . Пусть G ⁰ — компонента связности единицы, т. е. схема максимальной связной подгруппы. Тогда G является расширением конечной этальной групповой схемы с помощью G ⁰. G имеет единственную максимальную приведенную подсхему G _red , и если k совершенно, то G _red — гладкое групповое многообразие, которое является подгрупповой схемой G . Факторсхема — это спектр локального кольца конечного ранга.

Любая аффинная групповая схема представляет собой спектр коммутативной алгебры Хопфа над базой S он задается относительным спектром OS -алгебры ₍ ). Отображения умножения, единицы и обратные отображения групповой схемы задаются структурами коумножения, коединицы и антипода в алгебре Хопфа. Структуры единицы и умножения в алгебре Хопфа являются неотъемлемой частью базовой схемы. Для произвольной групповой схемы G кольцо глобальных сечений также имеет структуру коммутативной алгебры Хопфа, и, взяв его спектр, можно получить максимальную аффинную факторгруппу. Многообразия аффинных групп известны как линейные алгебраические группы, поскольку их можно вложить как подгруппы общих линейных групп.

Полные схемы связных групп в некотором смысле противоположны схемам аффинных групп, поскольку из полноты следует, что все глобальные сечения являются в точности теми, которые вытянуты из базы, и, в частности, они не имеют нетривиальных отображений в аффинные схемы. Любое полное многообразие групп (здесь под многообразием подразумевается приведенная и геометрически неприводимая разделенная схема конечного типа над полем) автоматически коммутативно, согласно аргументу, включающему действие сопряжения на пространствах струй тождества. Полные групповые многообразия называются абелевыми многообразиями . Это обобщает понятие абелевой схемы; групповая схема G над базой S является абелевой, если структурный морфизм из G в S правильный и гладкий с геометрически связанными слоями. Они автоматически проективны и имеют множество приложений, например, в геометрической теории полей классов и во всей алгебраической геометрии. Однако полная групповая схема над полем не обязательно должна быть коммутативной; например, любая конечная групповая схема является полной.

Конечные плоские групповые схемы

Групповая схема G над нётеровой схемой S конечна и плоская тогда и только тогда, когда OG _— локально свободный OS _S -модуль конечного ранга. Ранг является локально постоянной функцией на S называется порядком G. и Порядок постоянной групповой схемы равен порядку соответствующей группы, и, вообще говоря, порядок хорошо ведет себя относительно замены базы и конечного плоского ограничения скаляров .

Среди конечных плоских групповых схем константы (см. пример выше) образуют специальный класс, и над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики категория конечных групп эквивалентна категории постоянных конечных групповых схем. Над базами с положительной характеристикой или более арифметической структурой существуют дополнительные типы изоморфизма. Например, если 2 обратимо по базе, все групповые схемы порядка 2 постоянны, но над 2-адическими целыми числами µ ₂ непостоянна, потому что специальный слой не является гладким. Существуют последовательности сильно разветвленных 2-адических колец, над которыми число типов изоморфизма групповых схем второго порядка возрастает сколь угодно велико. Более подробный анализ коммутативных конечных плоских групповых схем над p -адическими кольцами можно найти в работе Рейно о продолжениях.

Коммутативные конечные плоские групповые схемы часто встречаются в природе как схемы подгрупп абелевых и полуабелевых многообразий, а в положительной или смешанной характеристике они могут собирать много информации об окружающем многообразии. Например, p -кручение эллиптической кривой нулевой характеристики локально изоморфно постоянной элементарной абелевой групповой схеме порядка p ², но над F _p это конечная плоская групповая схема порядка p ² которая имеет либо p компонент связности (если кривая обыкновенная), либо одну компоненту связности (если кривая суперсингулярна ). Если мы рассмотрим семейство эллиптических кривых, p -кручение образует конечную плоскую групповую схему над параметризующим пространством, а суперсингулярное множество — это место, где слои соединяются. Это слияние компонент связности можно детально изучить, перейдя от модульной схемы к жесткому аналитическому пространству , где суперсингулярные точки заменяются дисками положительного радиуса.

Двойственность Картье

Двойственность Картье - это теоретико-схемный аналог двойственности Понтрягина, переводящий конечные коммутативные групповые схемы в конечные коммутативные групповые схемы.

Модули Дьедонне

Конечные плоские коммутативные групповые схемы над совершенным полем k положительной характеристики p можно изучать, перенеся их геометрическую структуру в (полу)линейно-алгебраическую среду. Основным объектом является кольцо Дьедонне D = W ( k ){ F , V }/( FV − p ), которое является фактором кольца некоммутативных многочленов с коэффициентами в векторах Витта от k . F и V — операторы Фробениуса и Вершибунга , которые могут нетривиально действовать на векторах Витта. Дьёдонн и Картье построили антиэквивалентность категорий между конечными коммутативными групповыми схемами над k порядка степени «p» и модулями над D с конечной W ( k )-длиной. Функтор модуля Дьедонне в одном направлении задается гомоморфизмами в абелев пучок CW ковекторов Витта. Этот пучок более или менее двойственен пучку векторов Витта (который на самом деле может быть представлен групповой схемой), поскольку он строится путем прямого предела векторов Витта конечной длины при последовательных отображениях Вершибунга V : W _n → W _{n +1} , а затем завершаю. Многие свойства коммутативных групповых схем можно увидеть, рассматривая соответствующие модули Дьедонне, например, связные p -групповые схемы соответствуют D -модулям, для которых F нильпотентен, а этальные групповые схемы соответствуют модулям, для которых F является изоморфизмом.

Теория Дьедонне существует в несколько более общей ситуации, чем конечные плоские группы над полем. В диссертации Оды 1967 года была установлена связь между модулями Дьедонне и первыми когомологиями де Рама абелевых многообразий, и примерно в то же время Гротендик предположил, что должна существовать кристаллическая версия теории, которую можно было бы использовать для анализа p -делимых групп. Действия Галуа на групповых схемах передаются через эквивалентности категорий, и соответствующая теория деформации представлений Галуа использовалась в гипотезе работе Уайлса по Шимуры-Таниямы .

См. также

Ссылки

^ Рейно, Мишель (1967), Переход к фактору по плоскому отношению эквивалентности , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0232781

Демазюр, Мишель; Александр Гротендик , ред. (1970). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1962–64 - Групповые диаграммы - (SGA 3) - том. 1 (Конспект лекций по математике 151 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. хv, 564.
Демазюр, Мишель; Александр Гротендик , ред. (1970). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1962–64 - Групповые диаграммы - (SGA 3) - том. 2 (Конспекты лекций по математике 152 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. IX, 654.
Демазюр, Мишель; Александр Гротендик , ред. (1970). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1962–64 - Групповые диаграммы - (SGA 3) - том. 3 (Конспекты лекций по математике 153 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. VII, 529.
Габриэль, Питер; Демазюр, Мишель (1980). Введение в алгебраическую геометрию и алгебраические группы . Амстердам: Паб Северной Голландии. компании ISBN 0-444-85443-6 .
Бертло, Брин, Мессинг Дьедонне. Теория кристалла II.
Лаумон, Обобщенное преобразование Фурье
Шац, Стивен С. (1986), «Групповые схемы, формальные группы и p -делимые группы», в Корнелле, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. (ред.), Арифметическая геометрия (Сторрс, Коннектикут, 1984) , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 29–78, ISBN 978-0-387-96311-2 , МР 0861972
Серр, Жан-Пьер (1984), Алгебраические группы и классовые тела , Публикации Математического института Университета Нанкаго, 7, Париж: Герман, ISBN 978-2-7056-1264-1 , МР 0907288
Джон Тейт , Конечные плоские групповые схемы , из модулярных форм и Великой теоремы Ферма.
Уотерхаус, Уильям (1979), Введение в схемы аффинных групп , Тексты для выпускников по математике, том. 66, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-6217-6 , ISBN. 978-0-387-90421-4 , МР 0547117

[1] Рейно, Мишель (1967), Переход к фактору по плоскому отношению эквивалентности , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0232781

[1]