Двойственность Картье

В математике, Двойственность Картье является аналогом двойственности Понтрягина для коммутативных групповых схем. Его представил Пьер Картье ( 1962 ).

Определение с использованием символов

Для любой конечной плоской коммутативной групповой схемы G над S ее двойственной по Картье группой характеров является функтор, который переводит любую S -схему T в абелеву группу гомоморфизмов групповых схем из замены базы. $G_{T}$ к $\mathbf {G'} _{m,T}$ и любое отображение S -схем в каноническое отображение групп характеров. Этот функтор представим конечной плоской S -групповой схемой, а двойственность Картье образует аддитивную инволютивную антиэквивалентность категории конечных плоских коммутативных S -групповых схем самой себе. Если G — постоянная коммутативная групповая схема, то ее двойственной по Картье группой является диагонализируемая группа D ( G ), и наоборот. Если S аффинно, то функтор двойственности задается двойственностью алгебр функций Хопфа.

Определение с использованием алгебр Хопфа

Конечная коммутативная групповая схема над полем соответствует конечномерной коммутативной кокоммутативной алгебре Хопфа . Двойственность Картье соответствует взятию двойственной алгебры Хопфа, замене умножения и коумножения.

Более общие случаи двойственности Картье

Определение двойственности Картье с пользой распространяется на гораздо более общие ситуации, когда результирующий функтор на схемах больше не представляется как групповая схема. Общие случаи включают fppf-пучки коммутативных групп над S и их комплексы. Эти более общие геометрические объекты могут быть полезны, когда кто-то хочет работать с категориями, которые имеют хорошее предельное поведение. Существуют случаи промежуточной абстракции, такие как коммутативные алгебраические группы над полем, где двойственность Картье дает антиэквивалентность с коммутативными аффинными формальными группами , поэтому, если G — аддитивная группа $\mathbf {G'} _{a}$, то ее двойник Картье является мультипликативной формальной группой ${\widehat {\mathbf {G} }}_{m}$, и если G — тор, то его дуальный по Картье этальный и без кручения. Для групп петель торов двойственность Картье определяет ручной символ в теории полей локальных геометрических классов . Жерар Ломон представил преобразование Фурье на основе теории пучков для квазикогерентных модулей над 1-мотивами , которое специализируется на многих из этих эквивалентностей.

Примеры

• Двойственный Картье циклической группе $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ порядка n — это корни n-й степени из единицы $\mu _{n}$.
• Над полем характеристики p групповая схема $\alpha _{p}$ (ядро эндоморфизма аддитивной группы, индуцированного взятием p -й степени) является собственным, двойственным к Картье.

Ссылки

• Картье, Пьер (1962), «Алгебраические группы и формальные группы», коллок. 1962 г. Теория алгебраических групп (Брюссель, 1962) , Universitaire, Лувен, Париж: Готье Виллар, стр. 87–111, МР   0148665
• Оорт, Франс (1966), Схемы коммутативных групп , Конспекты лекций по математике, том. 15, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, MR   0213365