Функция нескольких комплексных переменных

Теория функций многих комплексных переменных — это раздел математики, изучающий функции, заданные в комплексном координатном пространстве. $\mathbb {C} ^{n}$, то есть n -кортежей комплексных чисел . Название поля, связанного со свойствами этих функций, называется несколькими комплексными переменными (и аналитическим пространством ), которые в Предметной классификации математики имеют заголовок верхнего уровня.

Как и в комплексном анализе функций одной переменной , что является случаем n = 1 , изучаемые функции являются голоморфными или комплексно-аналитическими, так что локально они представляют собой степенные ряды по переменным z _i . Эквивалентно, они являются локально пределами полиномов равномерными ; или локально интегрируемые с квадратом решения n -мерных уравнений Коши – Римана . Для одной комплексной переменной каждый домен ( $D\subset \mathbb {C}$), является областью голоморфности некоторой функции, другими словами, каждая область имеет функцию, для которой она является областью голоморфности. Для некоторых комплексных переменных это не так; существуют домены ( $D\subset \mathbb {C} ^{n},\ n\geq 2$), которые не являются областью голоморфности какой-либо функции и поэтому не всегда являются областью голоморфности, поэтому область голоморфности является одной из тем в этой области. Исправление локальных данных мероморфных функций , т.е. проблема создания глобальной мероморфной функции из нулей и полюсов, называется проблемой Кузена. Кроме того, для изучения компактных комплексных многообразий и комплексных проективных многообразий принципиально важны интересные явления, происходящие с несколькими комплексными переменными ( $\mathbb {CP} ^{n}$) и имеет другой оттенок по сравнению со сложной аналитической геометрией в $\mathbb {C} ^{n}$ или на многообразиях Штейна , они очень похожи на изучение алгебраических многообразий, которое является изучением алгебраической геометрии, а не комплексной аналитической геометрии.

Историческая перспектива

Многие примеры таких функций были известны в математике девятнадцатого века; абелевы функции , тэта-функции и некоторые гипергеометрические ряды , а также, как пример обратной задачи; Задача обращения Якоби . та же функция одной переменной, которая зависит от некоторого комплексного параметра Естественно, кандидатом является . Однако теория на протяжении многих лет так и не стала полноценной областью математического анализа , поскольку не были раскрыты ее характерные явления. теперь Подготовительную теорему Вейерштрасса можно было бы классифицировать как коммутативную алгебру ; оно действительно подтвердило локальную картину разветвления , которая обращается к обобщению точек ветвления теории римановой поверхности .

Благодаря работам Фридриха Хартогса , Пьера Кузена , Э. Э. Леви и Киёси Оки в 1930-х годах начала появляться общая теория; другими работавшими в этом районе в то время были Генрих Бенке , Петер Туллен , Карл Штайн , Вильгельм Виртингер и Франческо Севери . Хартогс доказал некоторые основные результаты, такие как то, что каждая особенность устранима изолированная для любой аналитической функции. $$f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$$всякий раз, когда n > 1 . Естественно, с аналогами контурных интегралов будет сложнее справиться; когда n = 2, интеграл, окружающий точку, должен быть по трехмерному многообразию (поскольку мы находимся в четырех действительных измерениях), а итерация контурных (линейных) интегралов по двум отдельным комплексным переменным должна приходить к двойному интегралу по двумерному многообразию. поверхность. Это означает, что исчисление вычетов должно будет принять совершенно иной характер.

После 1945 года важная работа во Франции, на семинаре Анри Картана , и в Германии с Гансом Грауэртом и Рейнхольдом Реммертом быстро изменила картину теории. Был уточнен ряд вопросов, в частности вопрос аналитического продолжения . Здесь очевидно главное отличие от теории с одной переменной; в то время как для каждого открытого связного множества D в $\mathbb {C}$ мы можем найти функцию, которая аналитически нигде не продолжится за границу, чего нельзя сказать при n > 1 . На самом деле D такого типа имеют особую природу (особенно в комплексных координатных пространствах). $\mathbb {C} ^{n}$ и многообразия Штейна, удовлетворяющие условию, называемому псевдовыпуклостью ). Естественные области определения функций, продолженные до предела, называются многообразиями Штейна , и их природа заключалась в том, чтобы заставить группы пучков когомологий исчезнуть. С другой стороны, теорема Грауэрта – Рименшнейдера об исчезании известна как аналогичный результат для компактных комплексных многообразий. а гипотеза Грауэрта–Рименшнейдера является частным случаем гипотезы Нарасимхана. Фактически именно необходимость поставить (в частности) работу Оки на более четкую основу быстро привела к последовательному использованию пучков для формулировки теории (с серьезными последствиями для алгебраической геометрии , в частности, из-за работ Грауэрта).

С этого момента возникла основополагающая теория, которую можно было применить к аналитической геометрии . автоморфные формы нескольких переменных и уравнения в частных производных . Теория деформации сложных структур и комплексных многообразий была в общих чертах описана Кунихико Кодайрой и Д.С. Спенсером . Знаменитая GAGA Серра газета определил точку перехода от аналитической геометрии к алгебраической геометрии .

К. Л. Сигел жаловался, что в новой теории функций многих комплексных переменных мало функций , а это означает, что специальная функциональная часть теории подчиняется пучкам. Интерес для теории чисел , конечно, представляют конкретные обобщения модулярных форм . Классическими кандидатами являются модулярные формы Гильберта и модулярные формы Зигеля . В наши дни они связаны с алгебраическими группами (соответственно ограничением Вейля из полностью вещественного числового поля ( GL 2) и симплектической группой ), для которых случается, что автоморфные представления могут быть получены из аналитических функций. В каком-то смысле это не противоречит Сигелу; современная теория имеет свои, разные направления.

Последующие разработки включали теорию гиперфункции и теорему о острие клина , оба из которых были в некоторой степени вдохновлены квантовой теорией поля . Существует ряд других областей, таких как теория банаховой алгебры , которые опираются на несколько комплексных переменных.

Комплексное координатное пространство

Комплексное координатное пространство $\mathbb {C} ^{n}$ является произведением копий n декартовым $\mathbb {C}$, и когда $\mathbb {C} ^{n}$ является областью голоморфности, $\mathbb {C} ^{n}$ можно рассматривать как многообразие Штейна и более обобщенное пространство Штейна. $\mathbb {C} ^{n}$ также считается комплексным проективным многообразием , кэлеровым многообразием , и т. д. Это также n -мерное векторное пространство над комплексными числами , что дает его размерность 2 n над $\mathbb {R}$. Следовательно, как множество и как пространство топологическое $\mathbb {C} ^{n}$ может быть отождествлен с реальным координатным пространством $\mathbb {R} ^{2n}$ и его топологическая размерность , таким образом, равна 2 n .

На бескоординатном языке любое векторное пространство над комплексными числами можно рассматривать как вещественное векторное пространство с вдвое большим числом измерений, где комплексная структура задается линейным оператором J (таким, что J ² = − I ), который определяет умножение на мнимую единицу i .

Любое такое пространство, как реальное пространство, ориентировано . На комплексной плоскости, рассматриваемой как декартова плоскость , умножение на комплексное число w = u + iv может быть представлено вещественной матрицей

${\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}},$

с определителем

$u^{2}+v^{2}=|w|^{2}.$

Аналогично, если любой конечномерный комплексный линейный оператор выразить как действительную матрицу (которая будет составлена ​​из блоков 2 × 2 вышеупомянутого вида), то его определитель будет равен квадрату модуля соответствующего комплексного определителя. Это неотрицательное число, а это означает, что (действительная) ориентация пространства никогда не меняется на обратную с помощью комплексного оператора. То же самое относится и к якобианам голоморфных функций из $\mathbb {C} ^{n}$ к $\mathbb {C} ^{n}$.

Голоморфные функции

Определение

Функция f, определенная в области $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ и со значениями в $\mathbb {C}$ называется голоморфным в точке $z\in D$ если в этой точке оно комплексно-дифференцируемо в том смысле, что существует комплексное линейное отображение $L:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ такой, что

$f(z+h)=f(z)+L(h)+o(\lVert h\rVert )$

Функция f называется голоморфной, если она голоморфна во всех точках области D. определения

Если f голоморфно, то все частичные отображения:

$z\mapsto f(z_{1},\dots ,z_{i-1},z,z_{i+1},\dots ,z_{n})$

голоморфны как функции одной комплексной переменной: мы говорим, что f голоморфна по каждой переменной в отдельности. И наоборот, если f голоморфен по каждой переменной в отдельности, то f на самом деле голоморфен: это известно как теорема Хартога или лемма Осгуда при дополнительной гипотезе f непрерывности о .

Уравнения Коши – Римана.

В одной комплексной переменной функция $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ определенный на плоскости, голоморфен в точке $p\in \mathbb {C}$ тогда и только тогда, когда его действительная часть $u$ и его мнимая часть $v$ удовлетворяют так называемым уравнениям Коши-Римана при $p$ : $${\frac {\partial u}{\partial x}}(p)={\frac {\partial v}{\partial y}}(p)\quad {\text{ and }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}(p)=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(p)$$

В нескольких переменных функция $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ голоморфна тогда и только тогда, когда она голоморфна по каждой переменной в отдельности, а значит, тогда и только тогда, когда действительная часть $u$ и мнимая часть $v$ из $f$ удовлетворяющие уравнениям Коши Римана: $$\forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial v}{\partial y_{i}}}\quad {\text{ and }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}$$

Используя формализм производных Виртингера , это можно переформулировать как: $$\forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{i}}}}}=0,$$или даже более компактно, используя формализм комплексных дифференциальных форм , как: $${\bar {\partial }}f=0.$$

Интегральная формула Коши I (полидисковая версия)

Докажите достаточность двух условий (А) и (Б). Пусть f удовлетворяет условиям непрерывности и раздельной гомоморфности в D. области Каждый диск имеет спрямляемую кривую. $\gamma$, $\gamma _{\nu }$ — кусочная гладкость , класс ${\mathcal {C}}^{1}$ Замкнутая кривая Джордана. ( $\nu =1,2,\ldots ,n$) Позволять $D_{\nu }$ быть областью, окруженной каждым $\gamma _{\nu }$. Декартово замыкание произведения ${\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}$ является ${\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}\in D$. Также возьмем замкнутый полидиск ${\overline {\Delta }}$ так что это становится ${\overline {\Delta }}\subset {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}$. ( ${\overline {\Delta }}(z,r)=\left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};\left|\zeta _{\nu }-z_{\nu }\right|\leq r_{\nu }{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}$ и пусть $\{z\}_{\nu =1}^{n}$ быть центром каждого диска.) Повторно используя интегральную формулу Коши для одной переменной,

${\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\end{aligned}}$

Потому что $\partial D$ является спрямляемой жордановой замкнутой кривой и f является непрерывным, поэтому порядок произведений и сумм можно менять местами, чтобы повторный интеграл можно было вычислить как кратный интеграл . Поэтому,

$f(z_{1},\dots ,z_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}$ ( 1 )

Формула оценки Коши

Поскольку порядок произведений и сумм взаимозаменяем, из ( 1 ) получаем

${\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}={\frac {k_{1}\cdots k_{n}!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}.$ ( 2 )

f это класс ${\mathcal {C}}^{\infty }$-функция.

Из (2), если f голоморфно, на полидиске $\left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};|\zeta _{\nu }-z_{\nu }|\leq r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}$ и $|f|\leq {M}$, получается следующее уравнение оценки.

$\left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{{\partial z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}\right|\leq {\frac {Mk_{1}\cdots k_{n}!}{{r_{1}}^{k_{1}}\cdots {r_{n}}^{k_{n}}}}$

Следовательно, теорема Лиувилля верна.

Разложение голоморфных функций в степенной ряд на полидиске

Если функция f голоморфна, на полидиске $\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}$, из интегральной формулы Коши мы видим, что ее можно однозначно разложить до следующего степенного ряда.

${\begin{aligned}&f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,\\&c_{k_{1}\cdots k_{n}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-a_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-a_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}\end{aligned}}$

Кроме того, f , удовлетворяющая следующим условиям, называется аналитической функцией.

Для каждой точки $a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\subset \mathbb {C} ^{n}$, $f(z)$ выражается как разложение в степенной ряд, сходящийся к D :

$f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,$

Мы уже объясняли, что голоморфные функции на полидиске аналитичны. Кроме того, из теоремы, выведенной Вейерштрассом, мы можем видеть, что аналитическая функция на полидиске (сходящийся степенной ряд) голоморфна.

Если последовательность функций $f_{1},\ldots ,f_{n}$ сходящуюся равномерно на компактах внутри области D , предельная f функция $f_{v}$ также равномерно на компактах внутри области D . Кроме того, соответствующая частная производная от $f_{v}$ также компактно сходится в области D к соответствующей производной f .

${\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}=\sum _{v=1}^{\infty }{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f_{v}}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}$

Радиус сходимости степенного ряда

Можно определить комбинацию положительных действительных чисел $\{r_{\nu }\ (\nu =1,\dots ,n)\}$ такой, что степенной ряд ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$ сходится равномерно при $\left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}$ и не сходится равномерно при $\left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|>r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}$.

Таким образом, можно получить аналогичную комбинацию радиусов схождения. для одной комплексной переменной. Эта комбинация, как правило, не уникальна и существует бесконечное количество комбинаций.

Расширение серии Лорана

Позволять $\omega (z)$ быть голоморфным в кольце $\left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};r_{\nu }<|z|<R_{\nu },{\text{ for all }}\nu +1,\dots ,n\right\}$ и непрерывны по своей окружности, то существует следующее расширение:

${\begin{aligned}\omega (z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{|\zeta _{\nu }|=R_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )\times \left[{\frac {d^{k}}{dz^{k}}}{\frac {1}{\zeta -z}}\right]_{z=0}df_{\zeta }\cdot z^{k}\\[6pt]&+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\zeta _{\nu }|=r_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )\times \left(0,\cdots ,{\sqrt {\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}}\cdot \zeta _{n}^{\alpha _{1}-1}\cdots \zeta _{n}^{\alpha _{n}-1},\cdots 0\right)df_{\zeta }\cdot {\frac {1}{z^{k}}}\ (\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}=k)\end{aligned}}$

Интеграл во втором члене правой части проводится так, чтобы увидеть ноль слева в каждой плоскости, причем этот интегрированный ряд сходится равномерно в кольце $r'_{\nu }<|z|<R'_{\nu }$, где $r'_{\nu }>r_{\nu }$ и $R'_{\nu }<R_{\nu }$, и так можно объединить термин.

Формула Бохнера – Мартинелли (интегральная формула Коши II)

Интегральная формула Коши справедлива только для полидисков, а в области нескольких комплексных переменных полидиски являются лишь одной из многих возможных областей, поэтому мы вводим формулу Бохнера–Мартинелли .

Предположим, что f — непрерывно дифференцируемая функция на замыкании области D на $\mathbb {C} ^{n}$ с кусочно гладкой границей $\partial D$, и пусть символ $\land$ обозначает внешность или клиновое произведение дифференциальных форм. Тогда формула Бохнера–Мартинелли утверждает, что если z находится в области D , то для $\zeta$, г в $\mathbb {C} ^{n}$ ядро Бохнера – Мартинелли $\omega (\zeta ,z)$ является дифференциальной формой в $\zeta$ двухстепенной $(n,n-1)$, определяемый

$\omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2n}}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})\,d{\overline {\zeta }}_{1}\land d\zeta _{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \cdots \land d{\overline {\zeta }}_{n}\land d\zeta _{n}$

$\displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z).$

В частности, если f голоморфен, второй член обращается в нуль, поэтому

$\displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z).$

Теорема тождества

Голоморфные функции нескольких комплексных переменных удовлетворяют теореме тождества , как и для одной переменной: две голоморфные функции, определенные на одном и том же связном открытом множестве. $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ и которые совпадают на открытом подмножестве N из D , равны на всем открытом D. множестве Этот результат можно доказать на основании того факта, что голоморфные функции имеют расширения в степенные ряды, а также его можно вывести из случая с одной переменной. В отличие от случая одной переменной, возможно, что две разные голоморфные функции совпадают на множестве, имеющем точку накопления, например отображения $f(z_{1},z_{2})=0$ и $g(z_{1},z_{2})=z_{1}$совпадают на всей комплексной прямой $\mathbb {C} ^{2}$ определяется уравнением $z_{1}=0$.

Также верны принцип максимума , теорема об обратной функции и теоремы о неявной функции. Обобщенную версию теоремы о неявной функции для комплексных переменных см. в подготовительной теореме Вейерштрасса .

Биголоморфизм

На основании теоремы об обратной функции можно определить следующее отображение.

Для области U , V n -мерного комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$, биективная голоморфная функция $\phi :U\to V$ и обратное отображение $\phi ^{-1}:V\to U$ также голоморфен. В это время, $\phi$ называется также биголоморфизмом U , V , мы говорим, что U и V биголоморфно эквивалентны или что они биголоморфны.

Теорема Римана об отображении не верна

Когда $n>1$, открытые шары и открытые полидиски не нет биголоморфного отображения . биголоморфно эквивалентны, то есть между ними Это было доказано Пуанкаре в 1907 году, показав, что их группы автоморфизмов имеют разные размерности, как группы Ли . Однако даже в случае нескольких комплексных переменных имеются некоторые результаты, аналогичные результатам теории униформизации по одной комплексной переменной.

Аналитическое продолжение

Пусть U, V — область на $\mathbb {C} ^{n}$, такой, что $f\in {\mathcal {O}}(U)$ и $g\in {\mathcal {O}}(V)$, ( ${\mathcal {O}}(U)$ — множество/кольцо голоморфных функций на U .) предположим, что $U,\ V,\ U\cap V\neq \varnothing$ и $W$ является связной компонентой $U\cap V$. Если $f|_{W}=g|_{W}$ тогда f говорят, что связан с V , а g называется аналитическим продолжением f . По теореме о тождестве, если g существует, то для каждого способа выбора W он уникален. При n > 2 в зависимости от формы границы имеет место следующее явление: $\partial U$: существует область U , V такая, что все голоморфные функции $f$ над областью U имеют аналитическое продолжение $g\in {\mathcal {O}}(V)$. Другими словами, может не существовать функции $f\in {\mathcal {O}}(U)$ такой, что $\partial U$ как естественная граница. Существует так называемый феномен Хартогса. Поэтому исследование того, когда границы доменов становятся естественными границами, стало одной из основных тем исследования нескольких сложных переменных. Кроме того, когда $n\geq 2$, было бы так, что указанный выше V имеет часть пересечения с U, отличную от W . Это способствовало развитию понятия пучковых когомологий.

Домен Рейнхардта

В полидисках справедлива интегральная формула Коши и определено разложение голоморфных функций в степенной ряд, но полидиски и открытые единичные шары не являются биголоморфными отображениями, поскольку не выполняется теорема об отображении Римана, а также в полидисках возможно разделение переменных, но это не всегда справедливо для любого домена. Поэтому для изучения области сходимости степенного ряда необходимо было сделать дополнительное ограничение на область, это была область Рейнхардта. Ранние знания о свойствах области исследования нескольких комплексных переменных, таких как логарифмически-выпуклая, теорема расширения Хартогса и т. д., были даны в области Рейнхардта.

Позволять $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ ( $n\geq 1$) быть областью с центром в точке $a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$, такой, что вместе с каждой точкой $z^{0}=(z_{1}^{0},\dots ,z_{n}^{0})\in D$, домен также содержит множество

$\left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|=\left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.$

Область D называется областью Рейнхардта, если она удовлетворяет следующим условиям:

Позволять $\theta _{\nu }\;(\nu =1,\dots ,n)$ — произвольные действительные числа, область D инвариантна относительно вращения: $\left\{z^{0}-a_{\nu }\right\}\to \left\{e^{i\theta _{\nu }}(z_{\nu }^{0}-a_{\nu })\right\}$.

Домены Рейнхардта (подкласс доменов Хартогса ), которые определяются следующим условием; Вместе со всеми точками $z^{0}\in D$, домен содержит множество

$\left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});z=a+\left(z^{0}-a\right)e^{i\theta },\ 0\leq \theta <2\pi \right\}.$

Область Рейнхардта D называется полной областью Рейнхардта с центром в точке a, если вместе со всеми точками $z^{0}\in D$ он также содержит полидиск

$\left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|\leq \left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.$

Полная область Рейнхардта D звездообразна относительно своего центра a . Следовательно, полная область Рейнхардта является односвязной , а также, когда полная область Рейнхардта является граничной линией, существует способ доказать интегральную теорему Коши без использования теоремы Жордана о кривой .

Логарифмически-выпуклый

Область Рейнхардта D называется логарифмически выпуклой , если образ $\lambda (D^{*})$ из набора

$D^{*}=\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in D;z_{1},\dots ,z_{n}\neq 0\}$

под картографированием

$\lambda ;z\rightarrow \lambda (z)=(\ln |z_{1}|,\dots ,\ln |z_{n}|)$

является выпуклым множеством в реальном координатном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$.

Каждый такой домен в $\mathbb {C} ^{n}$ — это внутренность множества точек абсолютной сходимости некоторого степенного ряда в ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$и наоборот; Область сходимости каждого степенного ряда в $z_{1},\dots ,z_{n}$ представляет собой логарифмически-выпуклую область Рейнхардта с центром $a=0$. Но есть пример полной области Рейнхардта D, которая не является логарифмически выпуклой.

Некоторые результаты

Теорема Хартогса о продолжении и феномен Хартогса

Исследуя область сходимости в области Рейнхардта, Хартогс обнаружил феномен Хартогса, при котором голоморфные функции в некоторой области на $\mathbb {C} ^{n}$ все были подключены к более крупному домену.

На полидиске, состоящем из двух дисков $\Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}$ когда $0<\varepsilon <1$.

Внутренний домен $H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2};|z_{1}|<\varepsilon \ \cup \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}\ (0<\varepsilon <1)$

Теорема о расширении Хартогса (1906 г.); Пусть f — голоморфная функция на множестве G \ K , где G — ограниченная (окруженная спрямляемой замкнутой жордановой кривой) область на $\mathbb {C} ^{n}$ ( n ≥ 2 ) и K компактное подмножество G . Если дополнение G \ K связно, то каждая голоморфная функция f независимо от того, как она выбрана, может быть продолжена до единственной голоморфной функции на G .

Ее также называют теоремой Осгуда – Брауна: для голоморфных функций нескольких комплексных переменных особенность является точкой накопления, а не изолированной точкой. Это означает, что различные свойства, присущие голоморфным функциям комплексных переменных с одной переменной, не выполняются для голоморфных функций нескольких комплексных переменных. Природа этих особенностей также выводится из подготовительной теоремы Вейерштрасса . Обобщение этой теоремы с использованием того же метода, что и Хартогс, было доказано в 2007 году.

Согласно теореме Хартогса о продолжении, область сходимости простирается от $H_{\varepsilon }$ к $\Delta ^{2}$. Глядя на это с точки зрения области Рейнхардта, $H_{\varepsilon }$ — область Рейнхардта, содержащая центр z = 0, и область сходимости $H_{\varepsilon }$ был расширен до наименьшего полного домена Рейнхардта $\Delta ^{2}$ содержащий $H_{\varepsilon }$.

Классические результаты Туллена

Туллена ​ Классический результат гласит, что двумерная ограниченная область Рейнхарда, содержащая начало координат, биголоморфна одной из следующих областей при условии, что орбита начала координат группой автоморфизмов имеет положительную размерность:

1. $\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|<1,~|w|<1\}$ (полидиск);
2. $\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{2}<1\}$ (единичный шар);
3. $\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{\frac {2}{p}}<1\}\,(p>0,\neq 1)$ (владение Туллен).

Результаты Сунады

Тошиказу Сунада (1978) установил обобщение результата Таллена:

Две n -мерные ограниченные области Рейнхардта $G_{1}$ и $G_{2}$ взаимно биголоморфны тогда и только тогда, когда существует преобразование $\varphi :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ данный $z_{i}\mapsto r_{i}z_{\sigma (i)}(r_{i}>0)$, $\sigma$ являющаяся перестановкой индексов), такая, что $\varphi (G_{1})=G_{2}$.

Естественная область определения голоморфной функции (область голоморфности)

При переходе от теории одной комплексной переменной к теории нескольких комплексных переменных в зависимости от области определения может оказаться невозможным определить голоморфную функцию такую, чтобы граница области стала естественной границей. Рассматривая область, где границы области являются естественными границами (В комплексном координатном пространстве $\mathbb {C} ^{n}$ называем областью голоморфности), первым результатом области голоморфности была голоморфная выпуклость H . Картан и Туллен. Задача Леви показывает, что псевдовыпуклая область была областью голоморфности. (Сначала для $\mathbb {C} ^{2}$, позже расширен до $\mathbb {C} ^{n}$. ) Киёси Ока Понятие идеала неопределенных областей интерпретируется теорией пучковых когомологий с помощью Х. ​Картан и дальнейшее развитие Серра. В пучковых когомологиях область голоморфности стала интерпретироваться как теория многообразий Штейна. Понятие области голоморфности рассматривается и в других комплексных многообразиях, а также в комплексном аналитическом пространстве, которое является его обобщением.

Область голоморфности

Множества в определении. Примечание. В этом разделе замените $\Omega$ на рисунке с D

Когда функция f голоморфна в области $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ и не может напрямую подключаться к домену за пределами D , включая точку границы домена $\partial D$область D называется областью голоморфности f , а граница называется естественной границей f . Другими словами, область голоморфности D является верхней границей области, в которой голоморфная функция f голоморфна, а область D , которая является голоморфной, больше не может быть расширена. Для нескольких комплексных переменных, т.е. области $D\subset \mathbb {C} ^{n}\ (n\geq 2)$, границы не могут быть естественными границами. Теорема Хартогса о расширении дает пример области, границы которой не являются естественными границами.

Формально область D в n -мерном комплексном координатном пространстве $\mathbb {C} ^{n}$ называется областью голоморфности, если не существует непустой области $U\subset D$ и $V\subset \mathbb {C} ^{n}$, $V\not \subset D$ и $U\subset D\cap V$ такая, что для каждой голоморфной функции f на D существует голоморфная функция g на V такая, что $f=g$ на У. ​

Для $n=1$ случае каждый домен ( $D\subset \mathbb {C}$) была областью голоморфности; мы можем определить голоморфную функцию с нулями, накапливающимися повсюду на границе области, которая тогда должна быть естественной границей области определения ее обратной функции.

Свойства области голоморфности

• Если $D_{1},\dots ,D_{n}$ являются областями голоморфности, то их пересечение ${\textstyle D=\bigcap _{\nu =1}^{n}D_{\nu }}$ также является областью голоморфности.
• Если $D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq \cdots$ является возрастающей последовательностью областей голоморфности, то их объединение ${\textstyle D=\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$ также является областью голоморфности (см. теорему Бенке – Штейна ).
• Если $D_{1}$ и $D_{2}$ являются областями голоморфности, то $D_{1}\times D_{2}$ является областью голоморфности.
• Первая проблема Кузена всегда разрешима в области голоморфности, а также Картан показал, что обращение этого результата неверно для $n\geq 3$. то же самое верно, с дополнительными топологическими предположениями, и для второй проблемы Кузена.

Голоморфно выпуклая оболочка

Позволять $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ быть доменом или, альтернативно, для более общего определения, пусть $G$ быть $n$ размерное комплексное аналитическое многообразие . Дальше пусть ${\mathcal {O}}(G)$ обозначают множество голоморфных функций на G . Для компактного набора $K\subset G$, голоморфно выпуклая оболочка K есть

${\hat {K}}_{G}:=\left\{z\in G;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|{\text{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G).\right\}.$

Более узкое понятие полиномиально выпуклой оболочки можно получить , взяв ${\mathcal {O}}(G)$ вместо этого это набор комплекснозначных полиномиальных функций на G . Полиномиально выпуклая оболочка содержит голоморфно выпуклую оболочку.

Домен $G$ называется голоморфно выпуклым, если для любого компактного подмножества $K,{\hat {K}}_{G}$ также компактен в G . Иногда это просто сокращенно называют голоморфно-выпуклым .

Когда $n=1$, каждый домен $G$ голоморфно выпукла, поскольку тогда ${\hat {K}}_{G}$ является объединением K с относительно компактными компонентами $G\setminus K\subset G$.

Когда $n\geq 1$, если f удовлетворяет указанной выше голоморфной выпуклости на D, то он обладает следующими свойствами. ${\text{dist}}(K,D^{c})={\text{dist}}({\hat {K}}_{D},D^{c})$ для любого компактного подмножества K в D , где ${\text{dist}}(K,D^{c})$ обозначает расстояние между K и $D^{c}=\mathbb {C} ^{n}\setminus D$. Кроме того, в настоящее время D является областью голоморфности. Следовательно, каждая выпуклая область $(D\subset \mathbb {C} ^{n})$ является областью голоморфности.

Псевдовыпуклость

Хартогс показал, что

Хартог (1906): Пусть D — область Хартогса на $\mathbb {C}$ и R — положительная функция на D такая, что множество $\Omega$ в $\mathbb {C} ^{2}$ определяется $z_{1}\in D$ и $|z_{2}|<R(z_{1})$ является областью голоморфности. Затем $-\log {R}(z_{1})$ является субгармонической функцией на D .

Если такое соотношение выполняется в области голоморфности нескольких комплексных переменных, оно выглядит более управляемым состоянием, чем голоморфно выпуклое. Субгармоническая функция выглядит как своего рода выпуклая функция , поэтому Леви назвал ее псевдовыпуклой областью (псевдовыпуклость Хартогса). Псевдовыпуклая область (граница псевдовыпуклости) важна, поскольку позволяет классифицировать области голоморфности. Область голоморфности — это глобальное свойство, напротив, псевдовыпуклость — это локальное аналитическое или локальное геометрическое свойство границы области.

Определение плюрисубгармонической функции

Функция

$f\colon D\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},$

с доменом $D\subset {\mathbb {C} }^{n}$

называется плюрисубгармонической , если она полунепрерывна сверху и для всякой комплексной прямой

$\{a+bz;z\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {C} ^{n}$ с $a,b\in \mathbb {C} ^{n}$

функция $z\mapsto f(a+bz)$ является субгармонической функцией на множестве

$\{z\in \mathbb {C} ;a+bz\in D\}.$

В полной общности это понятие может быть определено на произвольном комплексном многообразии или даже на комплексном аналитическом пространстве. $X$ следующее. Полунепрерывная сверху функция

$f\colon X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$

называется плюрисубгармоническим тогда и только тогда, когда для любого голоморфного отображения

$\varphi \colon \Delta \to X$ функция

$f\circ \varphi \colon \Delta \to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$

является субгармоническим, где $\Delta \subset \mathbb {C}$ обозначает единичный диск.

Для однокомплексной переменной необходимое и достаточное условие того, что действительная функция $u=u(z)$, которая может быть дифференцируема во втором порядке по z комплексной функции с одной переменной, является субгармонической $\Delta =4\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z\,\partial {\overline {z}}}}\right)\geq 0$. Следовательно, если $u$ имеет класс ${\mathcal {C}}^{2}$, затем $u$ является плюрисубгармонической тогда и только тогда, когда эрмитова матрица $H_{u}=(\lambda _{ij}),\lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}$ является положительно полуопределенным.

Эквивалентно, ${\mathcal {C}}^{2}$-функция u является плюрисубгармонической тогда и только тогда, когда ${\sqrt {-1}}\partial {\bar {\partial }}f$ является положительной (1,1)-формой .

Строго плюрисубгармоническая функция

Когда эрмитова матрица u положительно определена и класс ${\mathcal {C}}^{2}$, мы называем u строгой плюрисубгармонической функцией.

(Слабо) псевдовыпуклый (p-псевдовыпуклый)

Слабая псевдовыпуклость определяется как: Пусть $X\subset {\mathbb {C} }^{n}$ быть доменом. Говорят, что X псевдовыпукло , если существует непрерывная плюрисубгармоническая функция $\varphi$ на X такой, что множество $\{z\in X;\varphi (z)\leq \sup x\}$ является относительно компактным подмножеством X для всех действительных чисел x . т.е. существует гладкая плюрисубгармоническая функция исчерпания $\psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)$. Часто здесь используется определение псевдовыпуклости и записывается как; Пусть X — комплексное n -мерное многообразие. Тогда говорят, что она слабая псевдовыпуклая, и существует гладкая плюрисубгармоническая функция исчерпания $\psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)$.

Сильно (строго) псевдовыпуклая

Пусть X — комплексное n -мерное многообразие. Сильно (или строго) псевдовыпуклая, если существует гладкая строго плюрисубгармоническая функция исчерпания $\psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)$, то есть, $H\psi$ положительно определена в каждой точке. Сильно псевдовыпуклая область — это псевдовыпуклая область. Сильно псевдовыпуклые и строго псевдовыпуклые (т.е. 1-выпуклые и 1-полные ) часто используются как взаимозаменяемые, увидеть Лемперта из-за технической разницы.

форма Леви

(Слабо) псевдовыпуклость Леви(–Кржоски)

Если ${\mathcal {C}}^{2}$ border , можно показать, что D имеет определяющую функцию; то есть, что существует $\rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R}$ который ${\mathcal {C}}^{2}$ так что $D=\{\rho <0\}$, и $\partial D=\{\rho =0\}$. Теперь D псевдовыпуклая тогда и только тогда, когда для любого $p\in \partial D$ и $w$ в комплексном касательном пространстве в точке p, т. е.

$\nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0$, у нас есть

$H(\rho )=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.$

Если D не имеет ${\mathcal {C}}^{2}$ границы, может оказаться полезным следующий результат аппроксимации.

Предложение 1. Если D псевдовыпуклая, то существуют ограниченные , сильно псевдовыпуклые по Леви области. $D_{k}\subset D$ с классом ${\mathcal {C}}^{\infty }$-границы, относительно компактные в D , такие, что

$D=\bigcup _{k=1}^{\infty }D_{k}.$

Это потому, что как только у нас появится $\varphi$ как и в определении, мы действительно можем найти ${\mathcal {C}}^{\infty }$ функция истощения.

Сильно (или строго) псевдовыпуклая по Леви (–Кржоска) (также известная как Сильно (строго) псевдовыпуклая)

Когда форма Леви (–Кржоски) положительно определена, ее называют сильно псевдовыпуклой по Леви (–Кржоски) или часто называют просто сильно (или строго) псевдовыпуклой.

Тотальная псевдовыпуклая Леви

Если для каждой граничной точки $\rho$ D аналитическое существует многообразие ${\mathcal {B}}$ прохождение $\rho$ который полностью лежит вне D в некоторой окрестности вокруг $\rho$, кроме точки $\rho$ сам. Область D, удовлетворяющая этим условиям, называется тотальной псевдовыпуклой Леви.

Ока псевдовыпуклая

Семья диска Оки

Пусть n -функции $\varphi :z_{j}=\varphi _{j}(u,t)$ быть непрерывным $\Delta :|U|\leq 1,0\leq t\leq 1$, голоморфный по $|u|<1$ когда параметр t фиксирован в [0, 1], и предположим, что ${\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial u}}$ не все равны нулю в любой точке $\Delta$. Тогда набор $Q(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t);|u|\leq 1\}$ называется аналитическим диском, зависящим от параметра t , а $B(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t);|u|=1\}$ называется его оболочкой. Если $Q(t)\subset D\ (0<t)$ и $B(0)\subset D$, Q(t) называется семейством диска Оки.

Определение

Когда $Q(0)\subset D$ выполняется на любом семействе диска Оки, D называется псевдовыпуклым Оки. Доказательство Оки проблемы Леви состояло в том, что когда неразветвленная область Римана над $\mathbb {C} ^{n}$ была областью голоморфности (голоморфно выпуклой), доказано, что необходимо и достаточно, чтобы каждая граничная точка области голоморфности была псевдовыпуклой по Оке.

Локально псевдовыпуклый (он же локально Штейн, псевдовыпуклый Картана, локальное свойство Леви)

Для каждой точки $x\in \partial D$ существует голоморфная окрестность U точек x и f . (т.е. $U\cap D$ голоморфно выпукла.) такая, что f не может быть продолжена ни на одну окрестность точки x . то есть, пусть $\psi :X\to Y$ — голоморфное отображение, если каждая точка $y\in Y$ имеет окрестность U такую, что $\psi ^{-1}(U)$ признает ${\mathcal {C}}^{\infty }$-плюрисубгармоническая функция истощения (слабо 1-полная ), в этой ситуации мы называем X локально псевдовыпуклым (или локально Штейновым) над Y . В качестве старого названия его также называют псевдовыпуклым Картаном. В $\mathbb {C} ^{n}$ локально псевдовыпуклая область сама является псевдовыпуклой областью и областью голоморфности. Например, Дидерих-Форнес. нашел локальные псевдовыпуклые ограниченные области $\Omega$ с гладкой границей на некелеровых многообразиях таких, что $\Omega$ не является слабо 1-полной.

Условия, эквивалентные области голоморфности

Для домена $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ следующие условия эквивалентны:

1. D — область голоморфности.
2. D голоморфно выпукла.
3. D объединение возрастающей последовательности аналитических многогранников в D. —
4. D псевдовыпуклая.
5. D локально псевдовыпуклая.

Последствия $1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3$, $1\Rightarrow 4$, и $4\Rightarrow 5$ это стандартные результаты. Доказательство $5\Rightarrow 1$, т.е. построение глобальной голоморфной функции, которая не допускает продолжения за счет непродолжаемых функций, определенных только локально. Это называется проблемой Леви (по имени Э. Э. Леви ) и решено для неразветвленных областей Римана над $\mathbb {C} ^{n}$Киёси Ока, но для разветвленных римановых областей псевдовыпуклость не характеризует голоморфно выпуклость, а затем Ларс Хёрмандер, используя методы функционального анализа и уравнений в частных производных (следствие ${\bar {\partial }}$-задача(уравнение) с L ² методы ).

Шкивы

Введение пучков в несколько комплексных переменных позволило переформулировать и решить несколько важных проблем в этой области.

Идеал неопределенных областей (Предшественник понятия связного (пучка))

Ока ввел понятие, которое он назвал «идеалом неопределенных областей» или «идеалом неопределенных областей». В частности, это набор $(I)$ пар $(f,\delta )$, $f$ голоморфен на непустом открытом множестве $\delta$, такой, что

1. Если $(f,\delta )\in (I)$ и $(a,\delta ')$ произвольно, то $(af,\delta \cap \delta ')\in (I)$.
2. Для каждого $(f,\delta ),(f',\delta ')\in (I)$, затем $(f+f',\delta \cap \delta ')\in (I).$

Происхождение неопределенных доменов связано с тем, что домены изменяются в зависимости от пары $(f,\delta )$. Картан перевел это понятие в понятие когерентного ( пучка ) (особенно когерентного аналитического пучка) в пучковых когомологиях. Это имя происходит от Х. Картан. Кроме того, Серр (1955) ввёл в алгебраическую геометрию понятие когерентного пучка, т. е. понятие когерентного алгебраического пучка. Понятие когерентности ( когерентных пучков когомологий ) помогло решить проблемы с несколькими комплексными переменными.

Когерентный пучок

Определение

Определение когерентного пучка следующее. Квазикогерентный пучок в кольцевом пространстве $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ это сноп ${\mathcal {F}}$ из ${\mathcal {O}}_{X}$- модули , имеющие локальное представление, то есть каждая точка в $X$ имеет открытое окружение $U$ в котором существует точная последовательность

${\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0$

для некоторых (возможно, бесконечных) множеств $I$ и $J$.

Связный пучок на кольцевом пространстве $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ это сноп ${\mathcal {F}}$ удовлетворяющий следующим двум свойствам:

1. ${\mathcal {F}}$ имеет конечный тип над ${\mathcal {O}}_{X}$, то есть каждая точка в $X$ имеет открытое окружение $U$ в $X$ такой, что существует сюръективный морфизм ${\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}$ для некоторого натурального числа $n$;
2. за каждый открытый сет $U\subseteq X$, целое число $n>0$и произвольный морфизм $\varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}$ из ${\mathcal {O}}_{X}$-модули, ядро $\varphi$ имеет конечный тип.

Морфизмы между (квази)когерентными пучками такие же, как морфизмы пучков ${\mathcal {O}}_{X}$-модули.

Также Жан-Пьер Серр (1955). доказывает, что

Если в точной последовательности $0\to {\mathcal {F}}_{1}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{2}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{3}|_{U}\to 0$ снопов ${\mathcal {O}}$-модули двух из трех шкивов ${\mathcal {F}}_{j}$ когерентны, то и третье когерентно.

Когерентная теорема (Оки – Картана)

Когерентная теорема (Оки – Картана) говорит, что каждый пучок, удовлетворяющий следующим условиям, является когерентным.

1. сноп ${\mathcal {O}}:={\mathcal {O}}_{\mathbb {C} _{n}}$ ростков на голоморфных функций $\mathbb {C} _{n}$, или пучок структур ${\mathcal {O}}_{X}$ комплексного подмногообразия или любого комплексного аналитического пространства $(X,{\mathcal {O}}_{X})$
2. идеальный сноп ${\mathcal {I}}\langle A\rangle$ аналитического подмножества A открытого подмножества $\mathbb {C} _{n}$. (Картан 1950 г. )
3. нормализация структурного пучка комплексного аналитического пространства

Из приведенной выше теоремы Серра (1955) ${\mathcal {O}}^{p}$ является связным пучком, а также (i) используется для доказательства теорем Картана A и B .

Проблема с двоюродным братом

В случае комплексных функций с одной переменной теорема Миттаг-Леффлера позволила создать глобальную мероморфную функцию из заданных и главных частей (проблема Кузена I), а теорема факторизации Вейерштрасса позволила создать глобальную мероморфную функцию из заданных нулей или нулевой локус (проблема кузена II). Однако эти теоремы не справедливы для нескольких комплексных переменных, поскольку особенности аналитической функции в нескольких комплексных переменных не являются изолированными точками; эти проблемы называются проблемами Кузена и формулируются в терминах пучковых когомологий. Впервые они были введены в особых случаях Пьером Кузеном в 1895 году. Именно Ока показал условия решения первой задачи Кузена для области голоморфности. в комплексном координатном пространстве, также решение второй проблемы Кузена с дополнительными топологическими предположениями. Проблема Кузена — это проблема, связанная с аналитическими свойствами комплексных многообразий, но единственные препятствия для решения задач с комплексными аналитическими свойствами являются чисто топологическими; Серр назвал это принципом Оки . Теперь они формулируются и решаются для произвольного комплексного многообразия M в терминах условий на M . M , удовлетворяющее этим условиям, является одним из способов определения многообразия Штейна. Изучение проблемы кузена заставило нас осознать, что при изучении нескольких комплексных переменных можно изучать глобальные свойства путем исправления локальных данных. то есть он разработал теорию пучковых когомологий. (например, семинар «Картан». )

Проблема с двоюродным братом

Без языка пучков задачу можно сформулировать следующим образом. На комплексном многообразии M задано несколько мероморфных функций $f_{i}$ вместе с доменами $U_{i}$ где они определены и где каждое различие $f_{i}-f_{j}$ голоморфен (везде, где определена разность). Тогда первая задача Кузена требует мероморфной функции $f$ на M такое, что $f-f_{i}$ голоморфен ​ на $U_{i}$; другими словами, что $f$ разделяет сингулярное поведение данной локальной функции.

Пусть теперь K — пучок мероморфных функций, а O — пучок голоморфных функций на M . Первую проблему Кузена всегда можно решить, если следующее отображение сюръективно:

$H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).$

По длинной точной последовательности когомологий

$H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )$

точна, и поэтому первая проблема Кузена всегда разрешима при условии, что первая группа когомологий H ¹ ( M , O ) исчезает. В частности, по теореме Картана B проблема Кузена всегда разрешима, если M — многообразие Штейна.

Проблема второго кузена

Вторая задача Кузена начинается с аналогичной первой задачи, но вместо этого указывается, что каждое соотношение $f_{i}/f_{j}$ — ненулевая голоморфная функция (где указанная разность определена). Он запрашивает мероморфную функцию $f$ на M такое, что $f/f_{i}$ голоморфен и не равен нулю.

Позволять $\mathbf {O} ^{*}$ — пучок голоморфных функций, никуда не исчезающих, и $\mathbf {K} ^{*}$ пучок мероморфных функций, не равных тождественному нулю. Это и тогда пучки абелевых групп , и факторпучок $\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}$ четко определен. Если следующая карта $\phi$ сюръективен, то можно решить проблему второго кузена:

$H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).$

Длинная точная последовательность когомологий пучка, связанная с фактором, равна

$H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})$

поэтому вторая проблема Кузена разрешима во всех случаях при условии, что $H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.$

Группа когомологий $H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})$ для мультипликативной структуры на $\mathbf {O} ^{*}$ можно сравнить с группой когомологий $H^{1}(M,\mathbf {O} )$ с его аддитивной структурой путем логарифмирования. То есть существует точная последовательность пучков

$0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} \xrightarrow {\exp } \mathbf {O} ^{*}\to 0$

где крайний левый пучок — это локально постоянный пучок со слоем $2\pi i\mathbb {Z}$. Препятствие к определению логарифма на уровне H ¹ находится в $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$, из длинной точной последовательности когомологий

$H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).$

Когда M — многообразие Штейна, средняя стрелка является изоморфизмом, потому что $H^{q}(M,\mathbf {O} )=0$ для $q>0$ так что необходимым и достаточным условием всегдай разрешимости второй задачи Кузена в этом случае является то, что $H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.$ (Это условие называется принципом Оки.)

Многообразия и аналитические многообразия с несколькими комплексными переменными

Многообразие Штейна (некомпактное комплексное многообразие)

Поскольку некомпактная (открытая) риманова поверхность всегда имеет непостоянную однозначную голоморфную функцию, и удовлетворяет второй аксиоме счетности , открытая риманова поверхность фактически представляет собой одномерное комплексное многообразие, обладающее голоморфным отображением в комплексную плоскость $\mathbb {C}$. (На самом деле, Ганнинг и Нарасимхан показали (1967) что каждая некомпактная риманова поверхность действительно имеет голоморфное погружение в комплексную плоскость. Другими словами, существует голоморфное отображение в комплексную плоскость, производная которого никогда не обращается в нуль.) Теорема вложения Уитни говорит нам, что любое гладкое n -мерное многообразие можно вложить как гладкое подмногообразие $\mathbb {R} ^{2n}$, тогда как комплексное многообразие «редко» имеет голоморфное вложение в $\mathbb {C} ^{n}$. Например, для произвольного компактного связного комплексного многообразия X каждая голоморфная функция на нем постоянна по теореме Лиувилля и поэтому не может иметь никакого вложения в комплексное n-пространство. То есть для нескольких комплексных переменных произвольные комплексные многообразия не всегда имеют голоморфные функции, не являющиеся константами. Итак, рассмотрим условия, при которых комплексное многообразие имеет голоморфную функцию, не являющуюся константой. Теперь, если бы у нас было голоморфное вложение X в $\mathbb {C} ^{n}$, то координатные функции $\mathbb {C} ^{n}$ ограничится непостоянными голоморфными функциями на X , что противоречит компактности, за исключением случая, когда X является просто точкой. Комплексные многообразия, голоморфные вложенные в $\mathbb {C} ^{n}$ называются многообразиями Штейна. Также многообразия Штейна удовлетворяют второй аксиоме счетности.

— Многообразие Штейна это комплексное подмногообразие векторного пространства n комплексных измерений. Они были представлены Карлом Штейном и названы в его честь (1951). Пространство Штейна похоже на многообразие Штейна, но может иметь особенности. Пространства Штейна являются аналогами аффинных многообразий или аффинных схем в алгебраической геометрии. Если одновалентный домен на $\mathbb {C} ^{n}$ является соединением с многообразием, может рассматриваться как комплексное многообразие и удовлетворяет условию разделения, описанному позже, условием того, чтобы стать многообразием Штейна, является удовлетворение голоморфной выпуклости. Следовательно, многообразие Штейна — это свойства области определения (максимального) аналитического продолжения аналитической функции.

Определение

Предположим, что X — паракомпактное комплексное многообразие комплексной размерности. $n$ и пусть ${\mathcal {O}}(X)$ обозначим кольцо голоморфных функций на X . Назовем X если многообразием Штейна, выполнены следующие условия:

1. X голоморфно выпукло, т. е. для любого компактного подмножества $K\subset X$, так называемая голоморфно выпуклая оболочка ,

   ${\bar {K}}=\left\{z\in X;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|,\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right\},$

   также является компактным подмножеством X .
2. X отделим голоморфно , то есть если $x\neq y$ есть две точки в X , то существует $f\in {\mathcal {O}}(X)$ такой, что $f(x)\neq f(y).$
3. Открытая окрестность каждой точки многообразия имеет голоморфную карту . ${\mathcal {O}}(X)$.

Заметим, что условие (3) можно вывести из условий (1) и (2).

Каждая некомпактная (открытая) риманова поверхность является многообразием Штейна.

Пусть X — связная некомпактная (открытая) риманова поверхность . Глубокая теорема Бенке и Штейна (1948). утверждает, что X — многообразие Штейна.

Другой результат, приписываемый Хансу Грауэрту и Хельмуту Рёрлю (1956), утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение на X тривиально. В частности, каждое линейное расслоение тривиально, поэтому $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0$. Экспоненциальная последовательность пучка приводит к следующей точной последовательности:

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})$

Теперь теорема Картана B показывает, что $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0$, поэтому $H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0$.

Это связано с решением второй (мультипликативной) проблемы Кузена .

Проблемы Леви

Картан распространил проблему Леви на многообразия Штейна.

Если относительное компактное открытое подмножество $D\subset X$ многообразия Штейна X является локально псевдовыпуклым, то D является многообразием Штейна, и наоборот, если D является локально псевдовыпуклым, то X является многообразием Штейна. т. е. тогда X является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда D является локальным многообразием Штейна.

Это доказал Бремерман. встраивая его в достаточно высокую размерность $\mathbb {C} ^{n}$, и приведя его к результату Оки.

Также Грауэрт доказал для произвольных комплексных многообразий M .

Если относительное компактное подмножество $D\subset M$ произвольного комплексного многообразия M является сильно псевдовыпуклым на M , то M — голоморфно выпуклое (т. е. многообразие Штейна). Кроме того, D само является многообразием Штейна.

И Нарасимхан распространил проблему Леви на комплексное аналитическое пространство , обобщив ее в частном случае комплексных многообразий.

Комплексное аналитическое пространство, допускающее непрерывную строго плюрисубгармоническую функцию исчерпания (т. е. сильно псевдовыпуклую), является пространством Штейна.

Проблема Леви остается нерешенной в следующих случаях;

Предположим, что X — сингулярное пространство Штейна, $D\subset \subset X$ . Предположим, что для всех $p\in \partial D$ есть открытый район $U(p)$ так что $U\cap D$ есть пространство Штейна. является Сам D Штейном?

более общий

Предположим, что N — пространство Штейна и f — инъективное, а также $f:M\to N$ неразветвленная область Римана, такая что отображение f является локально псевдовыпуклым отображением (т. е. морфизмом Штейна). Тогда М сам является Штейном?

а также,

Предположим, что X — пространство Штейна и $D=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }D_{n}$ возрастающее объединение открытых множеств Штейна. Тогда D сам является Штейном?

Это означает, что теорема Бенке–Стейна, справедливая для многообразий Штейна, не нашла условий, которые необходимо установить в пространстве Штейна.

K-полный

Грауэрт ввел понятие K-полноты в доказательство проблемы Леви.

Пусть X — комплексное многообразие, X является K-полным, если для каждой точки $x_{0}\in X$, существует конечное число голоморфных отображений $f_{1},\dots ,f_{k}$ из X в $\mathbb {C} ^{p}$, $p=p(x_{0})$, такой, что $x_{0}$ является изолированной точкой множества $A=\{x\in X;f^{-1}f(x_{0})\ (v=1,\dots ,k)\}$. Эта концепция также применима к сложному аналитическому пространству.

Свойства и примеры многообразий Штейна

• Стандарт сложное пространство $\mathbb {C} ^{n}$ является многообразием Штейна.
• Каждая область голоморфности в $\mathbb {C} ^{n}$ является многообразием Штейна.
• Совершенно легко показать, что каждое замкнутое комплексное подмногообразие многообразия Штейна также является многообразием Штейна.
• Теорема вложения многообразий Штейна гласит следующее: каждое многообразие Штейна X комплексной размерности n можно вложить в $\mathbb {C} ^{2n+1}$ биголоморфным . собственным отображением

Из этих фактов следует, что многообразие Штейна представляет собой замкнутое комплексное подмногообразие комплексного пространства, комплексная структура которого аналогична структуре объемлющего пространства (поскольку вложение биголоморфно).

• Каждое многообразие Штейна (комплексной) размерности n имеет гомотопический тип n -мерного CW-комплекса.
• В одном комплексном измерении условие Штейна можно упростить: связная риманова поверхность является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда она некомпактна. Это можно доказать, используя версию теоремы Рунге. для римановых поверхностей, благодаря Бенке и Штейну.
• Каждое многообразие Штейна X голоморфно растягиваемо, т. е. для каждой точки $x\in X$, существует n голоморфных функций, определенных на всем X , которые образуют локальную систему координат при ограничении некоторой открытой окрестностью x .
• Первую задачу Кузена всегда можно решить на многообразии Штейна.
• Быть многообразием Штейна эквивалентно тому, чтобы быть (комплексным) сильно псевдовыпуклым многообразием . Последнее означает, что он имеет сильно псевдовыпуклую (или плюрисубгармоническую ) исчерпывающую функцию: т.е. гладкая действительная функция $\psi$ на X (который можно считать функцией Морса ) с $i\partial {\bar {\partial }}\psi >0$, такие, что подмножества $\{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}$ компактны в X для любого действительного числа c . Это решение так называемой проблемы Леви . имени Э. Э. Леви (1911). Функция $\psi$ предлагает обобщение многообразия Штейна до идеи соответствующего класса компактных комплексных многообразий с границей, называемой областью Штейна . Домен Штейна — это прообраз $\{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}$. Поэтому некоторые авторы называют такие многообразия строго псевдовыпуклыми.
• В связи с предыдущим пунктом существует еще одно эквивалентное и более топологическое определение в комплексной размерности 2: поверхность Штейна — это комплексная поверхность X с вещественной функцией Морса f на X такая, что вдали от критических f точек поле сложных касаний к прообразу $X_{c}=f^{-1}(c)$ представляет собой контактную структуру , которая индуцирует ориентацию X _c, совпадающую с обычной ориентацией границы $f^{-1}(-\infty ,c).$ То есть, $f^{-1}(-\infty ,c)$ штейновским заполнением X является _c .

Существуют многочисленные дальнейшие характеристики таких многообразий, в частности, отражающие свойство наличия у них «многих» голоморфных функций, принимающих значения в комплексных числах. См., например, теоремы Картана A и B , касающиеся пучковых когомологий .

В множестве аналогий GAGA многообразия Штейна соответствуют аффинным многообразиям .

Многообразия Штейна в некотором смысле двойственны эллиптическим многообразиям в комплексном анализе, которые допускают «многие» голоморфные функции из комплексных чисел в себя. Известно, что многообразие Штейна эллиптично тогда и только тогда, когда оно фибрантно в смысле так называемой «голоморфной гомотопической теории».

Комплексные проективные многообразия (компактное комплексное многообразие)

Мероморфные функции в комплексной функции с одной переменной изучались в компактной (замкнутой) римановой поверхности, поскольку теорема Римана-Роха ( неравенство Римана ) справедлива для компактных римановых поверхностей (поэтому теорию компактной римановой поверхности можно рассматривать как теорию (гладкой (несингулярной) проективной) алгебраической кривой над $\mathbb {C}$). Фактически компактная риманова поверхность имела непостоянную однозначную мероморфную функцию , а также компактная риманова поверхность имела достаточно мероморфных функций. Компактное одномерное комплексное многообразие представляло собой сферу Римана. ${\widehat {\mathbb {C} }}\cong \mathbb {CP} ^{1}$. Однако абстрактное понятие компактной римановой поверхности всегда алгебраизуемо ( Теорема существования Римана , Теорема вложения Кодаиры .), но нелегко проверить, какие компактные комплексные аналитические пространства алгебраизуемы. Фактически Хопф нашел класс компактных комплексных многообразий без непостоянных мероморфных функций. Однако существует результат Зигеля, который дает необходимые условия для того, чтобы компактные комплексные многообразия были алгебраическими. Обобщение теоремы Римана-Роха на несколько комплексных переменных было впервые распространено на компактные аналитические поверхности Кодайрой: Кодайра также распространил теорему на трехмерное пространство. и n-мерные кэлеровы многообразия. Серр сформулировал теорему Римана-Роха как проблему размерности когомологий когерентных пучков : а также Серр доказал двойственность Серра . Картан-Серр доказал следующее свойство: группа когомологий конечномерна для когерентного пучка на компактном комплексном многообразии M. Утверждение Римана–Роха на римановой поверхности для векторного расслоения было доказано Вейлем в 1938 году. Хирцебрух обобщил теорему на компактные комплексные многообразия в 1994 году. и Гротендик обобщил его до относительной версии (относительные утверждения о морфизмах ). Далее мы обобщаем результат о проективности компактных римановых поверхностей на многомерный случай, а именно, рассматриваем условия, при которых при вложении компактного комплексного подмногообразия X в комплексное проективное пространство $\mathbb {CP} ^{n}$. т. е. дает условия, когда компактное комплексное многообразие проективно. Теорема об исчезновении Кодайры (1954) и ее обобщение, теорема об исчезновении Накано и т. д. дают условие, при котором пучковая группа когомологий обращается в нуль, и это условие должно удовлетворять своего рода положительности . В качестве примера этой теоремы можно привести теорему вложения Кодаиры. что компактное кэлерово многообразие M с метрикой Ходжа имеет комплексно-аналитическое вложение M в комплексное проективное пространство достаточно высокой размерности N. говорит , Теорема Чоу показывает, что комплексное аналитическое подпространство (подмногообразие) замкнутого комплексного проективного пространства является алгебраическим, то есть является общим нулем некоторых однородных многочленов; такое отношение является одним из примеров того, что называется принципом Серра GAGA . Комплексное аналитическое подпространство (многообразие) комплексного проективного пространства обладает как алгебраическими, так и аналитическими свойствами. Затем в сочетании с результатом Кодайры компактное кэлерово многообразие M вкладывается как алгебраическое многообразие. Это дает пример комплексного многообразия с достаточным количеством мероморфных функций. Сходства в задачах Леви на комплексном проективном пространстве $\mathbb {CP} ^{n}$, были доказаны в некоторых моделях, например Такеучи. В широком смысле принцип GAGA гласит, что геометрия проективных комплексных аналитических пространств (или многообразий) эквивалентна геометрии проективных комплексных многообразий. Сочетание аналитических и алгебраических методов для комплексных проективных многообразий привело к появлению таких областей, как теория Ходжа . Кроме того, теория деформации компактных комплексных многообразий получила развитие как теория Кодаиры – Спенсера. Однако, несмотря на то, что это компактное комплексное многообразие, существуют контрпримеры, которые не могут быть вложены в проективное пространство и не являются алгебраическими.

См. также

• Бикомплексный номер
• Сложная геометрия
• Коллектор CR
• Когомологии Дольбо
• Гармонические карты
• Гармонические морфизмы
• Бесконечномерная голоморфия
• Теорема Оки – Вейля

Ссылки

Учебники

• Бенке, Х.; Таллен, П. (1934). Теория функций многих комплексных переменных . дои : 10.1007/978-3-642-99659-7 . ISBN  978-3-642-98844-8 .
• Бохнер, С.; Мартин, WT (1948). Несколько комплексных переменных . Принстонский математический ряд. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-598-34865-4 .
• Форстер, Отто (1981). Лекции по римановым поверхностям . Текст для выпускников по математике. Том. 81. Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  0-387-90617-7 .
• Фукс, Б.А. (1962). Введение в теорию аналитических функции многих комплексных переменных (in Russian). OCLC  896179082 .
  • Фукс, Борис Абрамович (1963). Теория аналитических функций многих комплексных переменных . Американское математическое общество. ISBN  978-1-4704-4428-0 .
• Картан, Анри; Такахаши, Рейджи (1992). Элементарная теория аналитических функций одной или нескольких комплексных переменных (на французском языке) (6-е изд., новое издание). Париж: Германн. п. 231. ИСБН  9782705652159 .
  • Картан, Анри (1992). Элементарная теория аналитических функций одной или нескольких комплексных переменных . Курьерская корпорация. п. 228. ИСБН  9780486318677 .
• Фрайтаг, Эберхард (2011). Комплексный анализ 2: римановы поверхности, несколько комплексных переменных, абелевы функции, высшие модульные функции . Университетский текст (2-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-20554-5 . ISBN  978-3-642-20554-5 .
• Форстнерич, Франк (2011). Каменные многообразия и голоморфные отображения . Результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия / Серия современных обзоров по математике. Том 56. doi : 10.1007/978-3-642-22250-4 . ISBN  978-3-642-22249-8 .
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (1979), Теория пространств Стоуна , Основные учения математических наук, том. 236, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  3-540-90388-7 , МР   0580152
• Шабат, Б.В. (1985). Введение в комплексный анализ / Vvedenie v kompleksnyĭ analiz (in Russian). Nauka, Glav. red. fiziko-matematicheskoĭ lit-ry, Moskva. OCLC  14003250 .
  • Введение в комплексный анализ. Часть II. Функции нескольких переменных . Переводы математических монографий. Том. 110. 1992. дои : 10.1090/mmono/110 . ISBN  9780821819753 .
• Ларс Хёрмандер (1990) [1966], Введение в комплексный анализ нескольких переменных (3-е изд.), Северная Голландия, ISBN  978-1-493-30273-4
• Ганнинг, Роберт Клиффорд; Росси, Хьюго (2009). Аналитические функции нескольких комплексных переменных . Американское математическое соц. ISBN  978-0-8218-2165-7 .
• Кауп, Людгер; Кауп, Бурхард (9 мая 2011 г.). Голоморфные функции многих переменных: введение в фундаментальную теорию . Вальтер де Грюйтер. ISBN  9783110838350 .
• Кодайра, Кунихико (17 ноября 2004 г.). Сложные многообразия и деформация сложных структур . Классика по математике. Спрингер. дои : 10.1007/b138372 . ISBN  3-540-22614-1 .
• Кранц, Стивен Г. (1992). Теория функций нескольких комплексных переменных (второе изд.). Издательство AMS Челси. п. 340. дои : 10.1090/чел/340 . ISBN  978-0-8218-2724-6 .
• Голоморфные функции и интегральные представления от нескольких комплексных переменных . Тексты для аспирантов по математике. Том. 108. 1986. doi : 10.1007/978-1-4757-1918-5 . ISBN  978-1-4419-3078-1 .
• Введение в комплексный анализ с несколькими переменными . 2005. doi : 10.1007/3-7643-7491-8 . ISBN  3-7643-7490-Х .
• Ногучи, Дзюнджиро (2016). Аналитическая теория функций многих переменных. Элементы когерентности Оки . п. XVIII, 397. doi : 10.1007/978-981-10-0291-5 . ISBN  978-981-10-0289-2 . S2CID   125752012 .
• Владимиров Василий Сергеевич; Technica, Scripta (январь 2007 г.). Методы теории функций многих комплексных переменных . Курьерская корпорация. ISBN  9780486458120 .

Энциклопедия математики

• Гончар А.А.; Шабат, Б.В. (2001) [1994], «Аналитическая функция» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Степеньевой ряд» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Биголоморфное отображение» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Домен Рейнхардта» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Чирка, Э.М. (2001) [1994], «Теорема Хартогса» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Гончар А.А.; Владимиров, В.С. (2001) [1994], «Область голоморфности» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Онищик А.Л. (2001) [1994], «Псевдовыпуклые и псевдовогнутые» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Плюрисубгармоническая функция» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Квазикогерентный пучок» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Онищик, А. Л. (2001) [1994], «Связный пучок» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Онищик, А. Л. (2001) [1994], «Связная аналитическая связка» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Связный алгебраический пучок» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Чирка, Э.М. (2001) [1994], «Теоремы Оки» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Чирка, Е.М. (2001) [1994], «Проблемы кузена» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Онищик, А. Л. (2001) [1994], «Многообразие Штейна» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Паршин, А.Н. (2001) [1994], «Теоремы конечности» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Дальнейшее чтение

• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN  978-0-387-90244-9 . МР   0463157 . S2CID   197660097 . Збл   0367.14001 .
• Кранц, Стивен Г. (1987), «Что такое несколько комплексных переменных?», The American Mathematical Monthly , 94 (3): 236–256, doi : 10.2307/2323391 , JSTOR   2323391
• Сибах, Дж. Артур; Зеебах, Линда А.; Стин, Линн А. (1970). «Что такое сноп?». Американский математический ежемесячник . 77 (7): 681–703. дои : 10.2307/2316199 . JSTOR   2316199 .
• Ока, Киёси (1984), Реммерт Р. (ред.), Сборник статей , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, стр. XIV, 226, ISBN  978-3-662-43412-3
• Мартин, WT (1956). «Научный отчет по второму летнему институту, несколько комплексных переменных. Часть I. Отчет по аналитическому семинару» . Бюллетень Американского математического общества . 62 (2): 79–102. дои : 10.1090/S0002-9904-1956-10013-X .
• Черн, Шиинг-Шен (1956). «Научный отчет по второму летнему институту, несколько комплексных переменных. Часть II. Комплексные многообразия» . Бюллетень Американского математического общества . 62 (2): 101–118. дои : 10.1090/S0002-9904-1956-10015-3 .
• Зариски, Оскар (1956). «Научный отчет по второму летнему институту, несколько комплексных переменных. Часть III. Теория алгебраических пучков» . Бюллетень Американского математического общества . 62 (2): 117–142. дои : 10.1090/S0002-9904-1956-10018-9 .
• Реммерт, Рейнхольд (1998). «От римановых поверхностей к комплексным пространствам» (PDF) . Семинары и конгрессы . Збл   1044.01520 .

Внешние ссылки

• Книга с открытым исходным кодом «Вкусные кусочки нескольких сложных переменных» Иржи Лебля
• Сложная аналитическая и дифференциальная геометрия ( книга OpenContent, см. B2 )
• Демайи, Жан-Пьер (2012). «Анри Картан и голоморфные функции многих переменных» (PDF) . В Харинке, Паскаль; Плань, Ален; Саббах, Клод (ред.). Анри Картан и Андре Вейль. Математики 20 века. X-UPS Mathematics Days, Палезо, Франция, 3–4 мая 2012 г. Палезо: Les Éditions de l’École Polytechnique. стр. 99–168. ISBN  978-2-7302-1610-4 .
• Виктор Гиймен. 18.117. Темы с несколькими комплексными переменными . Весна 2005 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu . Лицензия: Creative Commons BY-NC-SA .
• Эта статья включает в себя материал из следующих статей PlanetMath , которые доступны по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike : Домен Рейнхардта , Голоморфно выпуклый , Область голоморфности , полидиск , биголоморфно эквивалентный , Псевдовыпуклый Леви , Псевдовыпуклый , функция исчерпания .