Теорема Рунге

В комплексном анализе теорема Рунге (также известная как аппроксимационная теорема Рунге ) названа в честь немецкого математика Карла Рунге, который впервые доказал ее в 1885 году. В ней говорится следующее:

Обозначая через C множество комплексных чисел , пусть K — подмножество C , и пусть f — функция , голоморфная содержащем на открытом множестве K. компактное Если A — множество, содержащее хотя бы одно комплексное число из каждой ограниченной компоненты связности C \ K , то существует последовательность $(r_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ рациональных функций, сходящихся равномерно к f на K и таких, что все полюсы функций $(r_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ находятся в А.

Обратите внимание, что не каждое комплексное число из A обязательно должно быть полюсом каждой рациональной функции последовательности. $(r_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ . Мы просто знаем, что для всех членов $(r_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ у которых есть полюса, эти полюса лежат в A .

Один аспект, который делает эту теорему такой мощной, заключается в том, что можно выбрать множество A произвольно. Другими словами, можно выбрать любые комплексные числа из ограниченных связных компонент C \ K , и теорема гарантирует существование последовательности рациональных функций с полюсами только среди этих выбранных чисел.

В частном случае, когда C \ K — связное множество (в частности, когда K односвязно), множество A в теореме, очевидно, будет пустым. Поскольку рациональные функции без полюсов являются просто полиномами , мы получаем следующее следствие : если K — компактное подмножество C такое, что C \ K — связное множество, а f — голоморфная функция на открытом множестве, содержащем K , то существует последовательность многочленов $(p_{n})$ которая приближается к f равномерно на K (предположения можно ослабить, см. теорему Мергеляна ).

Теорема Рунге обобщается следующим образом: можно взять A как подмножество сферы Римана C ∪{∞} и потребовать, чтобы A также пересекала неограниченную связную компоненту K (которая теперь содержит ∞). То есть в приведенной выше формулировке рациональные функции могут оказаться имеющими полюс на бесконечности, тогда как в более общей формулировке полюс может быть выбран в любом месте неограниченной компоненты связности C \ K .

Эскиз доказательства

Элементарное доказательство, вдохновленное Сарасоном (1998) , проводится следующим образом. В открытом множестве существует замкнутый кусочно-линейный контур Γ, содержащий K внутри, такой, что все выбранные выделенные точки находятся в его внешности. По интегральной формуле Коши

f(w)={1 \over 2\pi i}\int _{\Gamma }{f(z)\,dz \over z-w}

для w в K. Аппроксимирующие суммы Римана можно использовать для аппроксимации контурного интеграла равномерно по K (существует аналогичная формула для производной). Каждый член суммы является скалярным кратным ( z − w ) ⁻¹ для некоторой точки z на контуре. Это дает равномерное приближение рациональной функцией с полюсами на Γ.

Чтобы изменить это до приближения с полюсами в заданных точках в каждом компоненте дополнения K , достаточно проверить это для членов формы ( z − w ) ⁻¹. Если z ₀ является точкой того же компонента, что и z , выберите путь от z до z ₀ .

Если две точки расположены достаточно близко на пути, мы можем использовать формулу

{\frac {1}{z-z_{0}}}={\frac {1}{z-w_{0}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z_{0}-w_{0}}{z-w_{0}}}\right)^{n}

(проверено геометрическим рядом)

действителен для дополнения к кругу $|z_{0}-w_{0}|<|z-w|$ ; обратите внимание, что выбранный путь имеет положительное расстояние до K по компактности. Этот ряд можно усечь, чтобы получить рациональную функцию с полюсами только во второй точке, равномерно близкой к исходной функции на K . Двигаясь шагами по пути от z до z ₀ исходная функция ( z − w ) ⁻¹ можно последовательно модифицировать, чтобы получить рациональную функцию с полюсами только в точке z ₀ .

Если z ₀ — точка, удаленная на бесконечность, то согласно описанной выше процедуре рациональная функция ( z − w ) ⁻¹ сначала можно аппроксимировать рациональной функцией g с полюсами при R > 0, где R настолько велико, что K лежит в w < R . около в ряд Тейлора Разложение g чтобы дать полиномиальное приближение по K. 0 затем может быть усечено ,

См. также

Ссылки

Конвей, Джон Б. (1997), Курс функционального анализа (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-97245-5
Грин, Роберт Э .; Кранц, Стивен Г. (2002), Теория функций одной комплексной переменной (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2905-Х
Сарасон, Дональд (1998), Заметки по теории комплексных функций , Тексты и материалы по математике, том. 5, Книжное агентство Индостан, стр. 108–115, ISBN. 81-85931-19-4

Внешние ссылки

«Теорема Рунге» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]