Теорема Мергеляна

Теорема Мергеляна является результатом аппроксимации полиномами в комплексном анализе, доказанной армянским математиком Сергеем Мергеляном в 1951 году.

Заявление

Позволять

K

быть компактным подмножеством комплексной плоскости

\mathbb {C}

такой, что

\mathbb {C} \setminus K

подключен . Тогда каждая непрерывная функция

f:K\to \mathbb {C}

, такой, что ограничение

f

к

{\text{int}}(K)

голоморфен аппроксимирован , может быть равномерно на

K

с полиномами . Здесь,

{\text{int}}(K)

обозначает внутреннюю часть

K

. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Теорема Мергеляна справедлива и для открытых римановых поверхностей.

Если

K

представляет собой компакт без дырок на открытой римановой поверхности.

X

, то каждая функция из

{\mathcal {A}}(K)

можно аппроксимировать равномерно на

K

по функциям в

{\mathcal {O}}(X)

. ^{[ 2 ]}

Теорема Мергеляна не всегда справедлива в более высоких размерностях (пространствах нескольких комплексных переменных ), но она имеет некоторые следствия. ^{[ 2 ]}

История

Теорема Мергеляна является обобщением аппроксимационной теоремы Вейерштрасса и теоремы Рунге .

В случае, если $\mathbb {C} \setminus K$ не связна, то в задаче начального приближения полиномы необходимо заменить рациональными функциями . Важный этап решения этой дальнейшей задачи рациональной аппроксимации был также предложен Мергеляном в 1952 г. Дальнейшие глубокие результаты по рациональной аппроксимации принадлежат, в частности, А. Г. Витушкину .

Теоремы Вейерштрасса и Рунге были выдвинуты в 1885 году, а теорема Мергеляна датируется 1951 годом. После Вейерштрасса и Рунге многие математики (в частности, Уолш , Келдыш , Лаврентьев , Хартогс и Розенталь над той же проблемой работали ). Метод доказательства, предложенный Мергеляном, конструктивен и остается единственным известным конструктивным доказательством результата. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Ссылки

Леннарт Карлесон , Теорема Мергеляна о равномерной полиномиальной аппроксимации , Матем. Сканд., Т. 15, (1964) 167–175.
Дитер Гайер, Лекции по комплексной аппроксимации , Birkhäuser Boston, Inc. (1987), ISBN 0-8176-3147-X .
В. Рудин, Реальный и комплексный анализ , McGraw – Hill Book Co., Нью-Йорк, (1987), ISBN 0-07-054234-1 .
А. Г. Витушкин, Полвека как один день , Математические события ХХ века, 449–473, Springer, Berlin, (2006), ISBN 3-540-23235-4 /hbk.

Встроенное цитирование

^ Форстнерич, Франк (2019). «Теоремы Мергеляна и Аракеляна для многозначных отображений». Московский математический журнал . 19 (3): 465–484. arXiv : 1801.04773 . дои : 10.17323/1609-4514-2019-19-3-465-484 . МР 3993004 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Форнэсс, Дж. Э.; Форстнерик, Ф; Уолд, ЭФ (2020). «Наследие Вейерштрасса, Рунге, Оки-Вейля и Мергеляна». В Бреазе, Дэниел; Рассиас, Майкл Т. (ред.). Достижения в комплексном анализе – голоморфная аппроксимация . Спрингер Природа . стр. 133–192. arXiv : 1802.03924 . дои : 10.1007/978-3-030-40120-7 . ISBN 978-3-030-40119-1 . S2CID 220266044 .

Внешние ссылки

[A-1] Форстнерич, Франк (2019). «Теоремы Мергеляна и Аракеляна для многозначных отображений». Московский математический журнал . 19 (3): 465–484. arXiv : 1801.04773 . дои : 10.17323/1609-4514-2019-19-3-465-484 . МР 3993004 .

[B-2] Jump up to: ^а ^б ^с Форнэсс, Дж. Э.; Форстнерик, Ф; Уолд, ЭФ (2020). «Наследие Вейерштрасса, Рунге, Оки-Вейля и Мергеляна». В Бреазе, Дэниел; Рассиас, Майкл Т. (ред.). Достижения в комплексном анализе – голоморфная аппроксимация . Спрингер Природа . стр. 133–192. arXiv : 1802.03924 . дои : 10.1007/978-3-030-40120-7 . ISBN 978-3-030-40119-1 . S2CID 220266044 .

[ 1 ]

[ 2 ]