Теорема Мергеляна
Теорема Мергеляна является результатом аппроксимации полиномами в комплексном анализе, доказанной армянским математиком Сергеем Мергеляном в 1951 году.
Заявление
[ редактировать ]- Позволять быть компактным подмножеством комплексной плоскости такой, что подключен . Тогда каждая непрерывная функция , такой, что ограничение к голоморфен аппроксимирован , может быть равномерно на с полиномами . Здесь, обозначает внутреннюю часть . [ 1 ] [ 2 ]
Теорема Мергеляна справедлива и для открытых римановых поверхностей.
- Если представляет собой компакт без дырок на открытой римановой поверхности. , то каждая функция из можно аппроксимировать равномерно на по функциям в . [ 2 ]
Теорема Мергеляна не всегда справедлива в более высоких размерностях (пространствах нескольких комплексных переменных ), но она имеет некоторые следствия. [ 2 ]
История
[ редактировать ]Теорема Мергеляна является обобщением аппроксимационной теоремы Вейерштрасса и теоремы Рунге .
В случае, если не связна, то в задаче начального приближения полиномы необходимо заменить рациональными функциями . Важный этап решения этой дальнейшей задачи рациональной аппроксимации был также предложен Мергеляном в 1952 г. Дальнейшие глубокие результаты по рациональной аппроксимации принадлежат, в частности, А. Г. Витушкину .
Теоремы Вейерштрасса и Рунге были выдвинуты в 1885 году, а теорема Мергеляна датируется 1951 годом. После Вейерштрасса и Рунге многие математики (в частности, Уолш , Келдыш , Лаврентьев , Хартогс и Розенталь над той же проблемой работали ). Метод доказательства, предложенный Мергеляном, конструктивен и остается единственным известным конструктивным доказательством результата. [ нужна ссылка ]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Леннарт Карлесон , Теорема Мергеляна о равномерной полиномиальной аппроксимации , Матем. Сканд., Т. 15, (1964) 167–175.
- Дитер Гайер, Лекции по комплексной аппроксимации , Birkhäuser Boston, Inc. (1987), ISBN 0-8176-3147-X .
- В. Рудин, Реальный и комплексный анализ , McGraw – Hill Book Co., Нью-Йорк, (1987), ISBN 0-07-054234-1 .
- А. Г. Витушкин, Полвека как один день , Математические события ХХ века, 449–473, Springer, Berlin, (2006), ISBN 3-540-23235-4 /hbk.
Встроенное цитирование
[ редактировать ]- ^ Форстнерич, Франк (2019). «Теоремы Мергеляна и Аракеляна для многозначных отображений». Московский математический журнал . 19 (3): 465–484. arXiv : 1801.04773 . дои : 10.17323/1609-4514-2019-19-3-465-484 . МР 3993004 .
- ^ Jump up to: а б с Форнэсс, Дж. Э.; Форстнерик, Ф; Уолд, ЭФ (2020). «Наследие Вейерштрасса, Рунге, Оки-Вейля и Мергеляна». В Бреазе, Дэниел; Рассиас, Майкл Т. (ред.). Достижения в комплексном анализе – голоморфная аппроксимация . Спрингер Природа . стр. 133–192. arXiv : 1802.03924 . дои : 10.1007/978-3-030-40120-7 . ISBN 978-3-030-40119-1 . S2CID 220266044 .