Jump to content

Теорема Мергеляна

Теорема Мергеляна является результатом аппроксимации полиномами в комплексном анализе, доказанной армянским математиком Сергеем Мергеляном в 1951 году.

Заявление

[ редактировать ]
Позволять быть компактным подмножеством комплексной плоскости такой, что подключен . Тогда каждая непрерывная функция , такой, что ограничение к голоморфен аппроксимирован , может быть равномерно на с полиномами . Здесь, обозначает внутреннюю часть . [ 1 ] [ 2 ]

Теорема Мергеляна справедлива и для открытых римановых поверхностей.

Если представляет собой компакт без дырок на открытой римановой поверхности. , то каждая функция из можно аппроксимировать равномерно на по функциям в . [ 2 ]

Теорема Мергеляна не всегда справедлива в более высоких размерностях (пространствах нескольких комплексных переменных ), но она имеет некоторые следствия. [ 2 ]

Теорема Мергеляна является обобщением аппроксимационной теоремы Вейерштрасса и теоремы Рунге .

В случае, если не связна, то в задаче начального приближения полиномы необходимо заменить рациональными функциями . Важный этап решения этой дальнейшей задачи рациональной аппроксимации был также предложен Мергеляном в 1952 г. Дальнейшие глубокие результаты по рациональной аппроксимации принадлежат, в частности, А. Г. Витушкину .

Теоремы Вейерштрасса и Рунге были выдвинуты в 1885 году, а теорема Мергеляна датируется 1951 годом. После Вейерштрасса и Рунге многие математики (в частности, Уолш , Келдыш , Лаврентьев , Хартогс и Розенталь над той же проблемой работали ). Метод доказательства, предложенный Мергеляном, конструктивен и остается единственным известным конструктивным доказательством результата. [ нужна ссылка ]

См. также

[ редактировать ]
  • Леннарт Карлесон , Теорема Мергеляна о равномерной полиномиальной аппроксимации , Матем. Сканд., Т. 15, (1964) 167–175.
  • Дитер Гайер, Лекции по комплексной аппроксимации , Birkhäuser Boston, Inc. (1987), ISBN   0-8176-3147-X .
  • В. Рудин, Реальный и комплексный анализ , McGraw – Hill Book Co., Нью-Йорк, (1987), ISBN   0-07-054234-1 .
  • А. Г. Витушкин, Полвека как один день , Математические события ХХ века, 449–473, Springer, Berlin, (2006), ISBN   3-540-23235-4 /hbk.

Встроенное цитирование

[ редактировать ]
  1. ^ Форстнерич, Франк (2019). «Теоремы Мергеляна и Аракеляна для многозначных отображений». Московский математический журнал . 19 (3): 465–484. arXiv : 1801.04773 . дои : 10.17323/1609-4514-2019-19-3-465-484 . МР   3993004 .
  2. ^ Jump up to: а б с Форнэсс, Дж. Э.; Форстнерик, Ф; Уолд, ЭФ (2020). «Наследие Вейерштрасса, Рунге, Оки-Вейля и Мергеляна». В Бреазе, Дэниел; Рассиас, Майкл Т. (ред.). Достижения в комплексном анализе – голоморфная аппроксимация . Спрингер Природа . стр. 133–192. arXiv : 1802.03924 . дои : 10.1007/978-3-030-40120-7 . ISBN  978-3-030-40119-1 . S2CID   220266044 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1a6a78cf182b8426b79e994b8346e51c__1719132660
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/1a/1c/1a6a78cf182b8426b79e994b8346e51c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Mergelyan's theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)