Теорема Хартогса – Розенталя

В математике теорема Хартогса -Розенталя — классический результат комплексного анализа о равномерном приближении непрерывных функций на компактных подмножествах комплексной плоскости рациональными функциями . Теорема была доказана в 1931 году немецкими математиками Фридрихом Хартогсом и Артуром Розенталем и нашла широкое применение, особенно в теории операторов .

Заявление

Теорема Хартогса–Розенталя утверждает, что если K — компактное подмножество комплексной плоскости с нулевой мерой Лебега , то любая непрерывная комплекснозначная функция на K может быть равномерно аппроксимирована рациональными функциями.

Доказательство

По теореме Стоуна–Вейерштрасса любую комплекснозначную непрерывную функцию на K можно равномерно аппроксимировать многочленом от $z$ и ${\overline {z}}$ .

Поэтому достаточно показать, что ${\overline {z}}$ может быть равномерно аппроксимирована рациональной функцией на K .

Пусть g(z) — гладкая функция с компактным носителем на C, равная 1 на K , и положим

f(z)=g(z)\cdot {\overline {z}}.

По обобщенной интегральной формуле Коши

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{C\backslash K}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {w}}}}{\frac {dw\wedge d{\bar {w}}}{w-z}},

поскольку K имеет меру ноль.

Ограничение z на K и взятие аппроксимирующих сумм Римана для интеграла в правой части дает требуемую равномерную аппроксимацию ${\bar {z}}$ по рациональной функции. ^{[ 1 ]}

См. также

Примечания

^ Конвей 2000

Ссылки

Конвей, Джон Б. (1995), Функции одной комплексной переменной II , Тексты для аспирантов по математике , том. 159, Спрингер, с. 197, ISBN 0387944605
Конвей, Джон Б. (2000), Курс теории операторов , Аспирантура по математике , том. 21, Американское математическое общество , стр. 175–176, ISBN. 0821820656
Гамелен, Теодор В. (2005), Равномерные алгебры (2-е изд.), Американское математическое общество , стр. 46–47, ISBN 0821840495
Хартогс, Фридрихс; Розенталь, Артур (1931), «О последовательностях аналитических функций» , Mathematical Annals , 104 : 606–610, doi : 10.1007/bf01457959 , S2CID 179177370

[1] Конвей 2000

[ 1 ]