Теорема о острие клина

В математике теорема Боголюбова о ребре клина подразумевает, что голоморфные функции на двух «клиньях» с общим «ребром» являются аналитическими продолжениями друг друга при условии, что они обе дают одну и ту же непрерывную функцию на ребре. Он используется в квантовой теории поля для построения аналитического продолжения функций Вайтмана . Были представлены формулировка и первое доказательство теоремы. Николаем Боголюбовым на Международной конференции по теоретической физике, Сиэтл, США (сентябрь 1956 г.), а также опубликовано в книге « Проблемы теории дисперсионных соотношений» . Дальнейшие доказательства и обобщения теоремы были даны Ресом Йостом и Гарри Леманном (1957). Фримен Дайсон (1958), Х. Эпштейн (1960) и другие исследователи.

Одномерный случай

Непрерывные граничные значения

В одном измерении простой случай теоремы о острие клина можно сформулировать следующим образом.

• Предположим, что f — непрерывная комплекснозначная функция на комплексной плоскости , голоморфная в верхней полуплоскости и в нижней полуплоскости . Тогда оно голоморфно всюду.

В этом примере два клина — это верхняя полуплоскость и нижняя полуплоскость, а их общее ребро — это действительная ось . Этот результат можно доказать с помощью теоремы Мореры . Действительно, функция голоморфна, если ее интеграл по любому контуру равен нулю; контур, пересекающий действительную ось, можно разбить на контуры в верхней и нижней полуплоскостях, и интеграл вокруг них по условию обращается в нуль.

Граничные значения распределения на круге

Более общий случай выражается в терминах распределений. Технически это проще всего в случае, когда общей границей является единичный круг. $|z|=1$ в комплексной плоскости. В этом случае голоморфные функции f , g в областях $r<|z|<1$ и $1<|z|<R$ иметь лорановские разложения

$f(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{n}z^{n},\,\,\,\,g(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }b_{n}z^{n}$

абсолютно сходятся в одних и тех же областях и имеют граничные значения распределения, заданные формальным рядом Фурье

$f(\theta )=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\theta },\,\,\,\,g(\theta )=\sum _{-\infty }^{\infty }b_{n}e^{in\theta }.$

Их граничные значения распределения равны, если $a_{n}=b_{n}$ для всех н . Тогда элементарно, что общий ряд Лорана сходится абсолютно во всей области. $r<|z|<R$.

Граничные значения распределения на интервале

В общем, учитывая открытый интервал $I=(a,b)$ на вещественной оси и голоморфные функции $f_{+},\,\,\ f_{-}$ определено в $(a,b)\times (0,R)$ и $(a,b)\times (-R,0)$ удовлетворяющий

$|f_{\pm }(x+iy)|<C|y|^{-N}$

для некоторого неотрицательного целого числа N граничные значения $T_{\pm }$ из $f_{\pm }$ можно определить как распределения на действительной оси по формулам

$\langle T_{\pm },\varphi \rangle =\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int f(x\pm i\varepsilon )\varphi (x)\,dx.$

Существование можно доказать, заметив, что согласно гипотезе $f_{\pm }(z)$ это $(N+1)$-я комплексная производная голоморфной функции, продолжающаяся до непрерывной функции на границе. Если f определяется как $f_{\pm }$ выше и ниже действительной оси, а F — распределение, определенное в прямоугольнике. $(a,b)\times (-R,R)$по формуле

$\langle F,\varphi \rangle =\iint f(x+iy)\varphi (x,y)\,dx\,dy,$

тогда F равно $f_{\pm }$ от действительной оси и распределения $F_{\overline {z}}$ индуцируется распределением ${\textstyle {1 \over 2}(T_{+}-T_{-})}$ на действительной оси.

В частности, если применимы условия теоремы о острие клина, т.е. $T_{+}=T_{-}$, затем

$F_{\overline {z}}=0.$

Тогда в силу эллиптической регулярности следует, что функция F голоморфна в $(a,b)\times (-R,R)$.

В этом случае эллиптическая регулярность может быть выведена непосредственно из того факта, что $(\pi z)^{-1}$ известно, что оно дает фундаментальное решение оператора Коши – Римана $\partial /\partial {\overline {z}}$.

Используя преобразование Кэли между кругом и действительной линией, этот аргумент можно стандартным образом перефразировать в терминах рядов Фурье и пространств Соболева на круге. Действительно, пусть $f$ и $g$ — голоморфные функции, определенные снаружи и внутри некоторой дуги единичного круга, такие, что локально они имеют радиальные пределы в некотором пространстве Соболева. Тогда, полагая

$D=z{\partial \over \partial z},$

уравнения

$D^{k}F=f,\,\,\,D^{k}G=g$

может быть решена локально так, что радиальные пределы G и F локально стремятся к одной и той же функции в высшем пространстве Соболева. При достаточно большом k эта сходимость равномерна по теореме вложения Соболева . Следовательно , исходя из аргумента в пользу непрерывных функций, F и G соединяются, образуя голоморфную функцию вблизи дуги, и, следовательно, то же самое делают f и g .

Общий случай

Клин – это произведение конуса с некоторым множеством.

Позволять $C$ быть открытым конусом в реальном векторном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, с вершиной в начале координат. Пусть E — открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$, называется краем. Напишите W для клина. $E\times iC$ в комплексном векторном пространстве $\mathbb {C} ^{n}$и напишите W' для противоположного клина $E\times -iC$. Затем два клина W и W' встречаются на ребре E , где мы отождествляем E с произведением E на вершину конуса.

• Предположим, что f — непрерывная функция в объединении $W\cup E\cup W'$ голоморфное на обоих клиньях W и W' . Тогда теорема о ребре клина утверждает, что f также голоморфна на E (или, точнее, ее можно расширить до голоморфной функции в окрестности E ).

Условия истинности теоремы можно ослабить. Нет необходимости предполагать, что f определена на всем клине: достаточно предположить, что она определена вблизи ребра. Также нет необходимости предполагать, что f определена или непрерывна на ребре: достаточно предположить, что функции, определенные на любом из клиньев, имеют одинаковые граничные значения распределения на ребре.

поля

В квантовой теории поля распределения Вайтмана представляют собой граничные значения функций Вайтмана W ( z ₁ , ..., z _n ), зависящих от переменных z _i в комплексификации пространства-времени Минковского. Они определены и голоморфны в клине, где мнимая часть каждого z _i − z _{i −1} лежит в открытом положительном времениподобном конусе. Переставляя переменные, получаем n ! различные функции Вайтмана, определенные в n ! разные клинья. Применяя теорему о ребре клина (где ребро задано набором полностью пространственноподобных точек), можно сделать вывод, что все функции Вайтмана являются аналитическими продолжениями одной и той же голоморфной функции, определенной в связной области, содержащей все n ! клинья. (Равенство граничных значений на ребре, необходимое нам для применения теоремы о острие клина, следует из аксиомы локальности квантовой теории поля.)

Связь с гиперфункциями

Теорема о острие клина имеет естественную интерпретацию на языке гиперфункций . Гиперфункция — это примерно сумма граничных значений голоморфных функций , а также ее можно рассматривать как нечто вроде «распределения бесконечного порядка». Набор аналитических этой точки, и его волновых фронтов гиперфункции в каждой точке представляет собой конус в кокасательном пространстве можно рассматривать как описание направлений, в которых движется особенность в этой точке.

В теореме о ребре клина у нас есть распределение (или гиперфункция) f на ребре, заданное как граничные значения двух голоморфных функций на двух клиньях. Если гиперфункция является граничным значением голоморфной функции на клине, то ее аналитическое множество волновых фронтов лежит в двойственном соответствующему конусу. Таким образом, аналитический набор волновых фронтов f лежит в двойственных двух противоположных конусах. Но пересечение этих дуалов пусто, поэтому аналитическое множество волновых фронтов f пусто, а это означает, что f аналитичен. Это теорема о острие клина.

В теории гиперфункций существует распространение теоремы о острие клина на случай, когда клиньев несколько вместо двух, называемое теоремой Мартино о острие клина . смотрите в книге Хёрмандера Подробности .

Ссылки

• Беренштейн, Карлос А.; Гей, Роджер (1991), Комплексные переменные: введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 125 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-0-387-97349-4

Дальнейшее чтение

• Боголюбов Н.Н. ; Логунов А.А.; Тодоров, И.Т. (1975), Введение в аксиоматическую квантовую теорию поля , Серия монографий по математической физике, том. 18, Ридинг, Массачусетс : Вашингтон Бенджамин, ISBN  978-0-8053-0982-9 , Збл   1114,81300 .
• Боголюбов Н.Н. ; Логунов А.А.; Оксак, А.И.; И.Т., Тодоров (1990), Общие принципы квантовой теории поля , Математическая физика и прикладная математика, вып. 10, Дордрехт – Бостон – Лондон : Kluwer Academic Publishers , ISBN  978-0-7923-0540-8 , Збл   0732.46040

Связь с гиперфункциями описана в:

• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных I , Основы математической науки, том. 256 (2-е изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-52343-9 , Збл   0712.35001 .
• Рудин, Уолтер (1971), Лекции по теореме о острие клина , Серия региональных конференций CMBS по математике, том. 6, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-1655-4 , МР   0310288 , Збл   0214.09001

О применении теоремы о острие клина к квантовой теории поля см.:

• Стритер, РФ ; Вайтман, А.С. (2000), PCT, спин и статистика и все такое , Принстонские ориентиры в математике и физике (изд. 1978 г.), Принстон, Нью-Джерси : Princeton University Press , ISBN  978-0-691-07062-9 , Збл   1026.81027

• Владимиров, В.С. (2001) [1994], «Теорема Боголюбова» , Энциклопедия Математики , EMS Press