Звездный домен

«Звездообразный» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о документальном фильме «Размытие», см. «Звездная форма» .

Звездная область (т. е. звездообразное или звездообразное множество) не обязательно является выпуклой в обычном смысле.

Кольцевое пространство не является звездным доменом.

В геометрии множество ​ $S$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ называется звездной областью (или звездно-выпуклым множеством , звездообразным множеством или радиально-выпуклым множеством ), если существует $s_{0}\in S$ такой, что для всех $s\in S,$ линии отрезок из $s_{0}$ к $s$ лежит в $S.$ Это определение немедленно обобщается на любое вещественное или комплексное векторное пространство .

Интуитивно, если подумать $S$ как область, окруженная стеной, $S$ это звездный домен, если можно найти точку обзора $s_{0}$ в $S$ откуда любая точка $s$ в $S$ находится в пределах прямой видимости. Похожая, но отличная концепция — это концепция радиального множества .

Определение

Учитывая два пункта $x$ и $y$ в векторном пространстве $X$ (например, евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$), выпуклая оболочка $\{x,y\}$ называется замкнутым интервалом с концами $x$ и $y$ и это обозначается $$\left[x,y\right]~:=~\left\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\right\}~=~x+(y-x)[0,1],$$где $z[0,1]:=\{zt:0\leq t\leq 1\}$ для каждого вектора $z.$

Подмножество $S$ векторного пространства $X$ говорят, что он имеет звездообразную форму $s_{0}\in S$ если для каждого $s\in S,$ закрытый интервал $\left[s_{0},s\right]\subseteq S.$Набор $S$ имеет форму звезды и называется звездной областью, если существует некоторая точка $s_{0}\in S$ такой, что $S$ имеет звездообразную форму в $s_{0}.$

Набор, имеющий форму звезды в начале координат, иногда называют звездным набором . Такие множества тесно связаны с функционалами Минковского .

Примеры

• Любая линия или плоскость в $\mathbb {R} ^{n}$ это звездный домен.
• Линия или плоскость, у которых удалена одна точка, не является звездной областью.
• Если $A$ это набор в $\mathbb {R} ^{n},$ набор $B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}$ получается соединением всех точек $A$ к началу координат является звездным доменом.
• Любое непустое выпуклое множество является звездной областью. Множество является выпуклым тогда и только тогда, когда оно является звездной областью относительно каждой точки этого множества.
• фигура Крестообразная представляет собой звездную область, но не является выпуклой.
• Многоугольник в форме звезды — это звездная область, граница которой представляет собой последовательность соединенных отрезков прямой.

Характеристики

• Замыкание внутренняя звездного домена — это звездный домен, но часть звездного домена не обязательно является звездным доменом.
• Каждая звездная область представляет собой стягиваемое множество посредством гомотопии прямой линии . В частности, любая звездная область представляет собой односвязное множество.
• Каждый звездный домен и только звездный домен может быть «сжат в себя»; то есть для каждого коэффициента расширения $r<1,$ звездный домен может быть расширен в соотношении $r$ так, что расширенный звездный домен содержится в исходном звездном домене.
• Объединение . и пересечение двух звездных доменов не обязательно является звездным доменом
• Непустой открытый звездный домен $S$ в $\mathbb {R} ^{n}$ диффеоморфен ​ ​ $\mathbb {R} ^{n}.$
• Данный $W\subseteq X,$ набор $\bigcap _{|u|=1}uW$ (где $u$ диапазоны по всем скалярам единичной длины ) является сбалансированным набором всякий раз, когда $W$ представляет собой звезду, имеющую форму в начале координат (это означает, что $0\in W$ и $rw\in W$ для всех $0\leq r\leq 1$ и $w\in W$).

См. также

• Абсолютно выпуклый набор – выпуклый и сбалансированный набор. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Поглощающий набор - набор, который можно «надуть», чтобы достичь любой точки.
• Задача о художественной галерее – Математическая задача
• Сбалансированный набор - Конструкт в функциональном анализе
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство) - Обобщение ограниченности
• Выпуклое множество - в геометрии множество, пересечение которого с каждой линией представляет собой один отрезок линии.
• Функционал Минковского - функция, составленная из множества.
• Радиальный набор
• Звездчатый многоугольник – Правильный невыпуклый многоугольник.
• Симметричное множество - Свойство групповых подмножеств (математика)

Ссылки

• Ян Стюарт, Дэвид Талл, Комплексный анализ . Издательство Кембриджского университета, 1983, ISBN   0-521-28763-4 , МР 0698076
• CR Smith, Характеристика звездообразных множеств , American Mathematical Monthly , Vol. 75, № 4 (апрель 1968 г.). п. 386, МР 0227724 , JSTOR   2313423
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .

Внешние ссылки

• Хамфрис, Алексис. «Звезда выпуклая» . Математический мир .