Плюрисубгармоническая функция

В математике плюрисубгармонические используемых функции (иногда называемые psh , plsh или плюшевые функции) образуют важный класс функций, в комплексном анализе . На кэлеровом многообразии плюрисубгармонические функции образуют подмножество субгармонических функций . Однако, в отличие от субгармонических функций (которые определены на римановом многообразии ), плюрисубгармонические функции могут быть определены в полной общности на комплексных аналитических пространствах .

Формальное определение

Функция $f\colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},$ с доменом $G\subset {\mathbb {C} }^{n}$ называется плюрисубгармонической , если она полунепрерывна сверху и для всякой комплексной прямой

\{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}\subset {\mathbb {C} }^{n},

с

a,b\in {\mathbb {C} }^{n},

функция $z\mapsto f(a+bz)$ является субгармонической функцией на множестве

\{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}.

В полной общности это понятие можно определить на произвольном комплексном многообразии или даже на комплексном аналитическом пространстве. $X$ следующее. Полунепрерывная сверху функция $f\colon X\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}$ называется плюрисубгармоническим, если для любого голоморфного отображения $\varphi \colon \Delta \to X$ функция $f\circ \varphi \colon \Delta \to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}$ является субгармоническим , где $\Delta \subset {\mathbb {C} }$ обозначает единичный диск.

Дифференцируемые плюрисубгармонические функции

Если $f$ принадлежит к классу (дифференцируемости) $C^{2}$ , затем $f$ является плюрисубгармонической тогда и только тогда, когда эрмитова матрица $L_{f}=(\lambda _{ij})$ , называемая матрицей Леви, сзаписи

\lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial {\bar {z}}_{j}}}

является положительно полуопределенным .

Эквивалентно, $C^{2}$ -функция f является плюрисубгармонической тогда и только тогда, когда $i\partial {\bar {\partial }}f$ является положительной (1,1)-формой .

Примеры

Связь с кэлеровым многообразием: в n-мерном комплексном евклидовом пространстве. $\mathbb {C} ^{n}$ , $f(z)=|z|^{2}$ является плюрисубгармоническим. Фактически, $i\partial {\overline {\partial }}f$ равна стандартной кэлеровой форме на $\mathbb {C} ^{n}$ вплоть до постоянных кратных. В более общем смысле, если $g$ удовлетворяет

i\partial {\overline {\partial }}g=\omega

для некоторой кэлеровой формы $\omega$ , затем $g$ является плюрисубгармоническим и называется потенциалом Кэлера. Их можно легко получить, применив лемму о ddbar к кэлеровым формам на кэлеровом многообразии.

Связь с дельтой Дирака: в одномерном комплексном евклидовом пространстве. $\mathbb {C} ^{1}$ , $u(z)=\log |z|$ является плюрисубгармоническим. Если $f$ это буква С ^∞-классовая функция с компактным носителем , то интегральная формула Коши говорит

f(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dzd{\bar {z}}}{z}},

который можно изменить на

{\frac {i}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\log |z|=dd^{c}\log |z|

.

Это не что иное, как мера Дирака в начале координат 0.

Больше примеров

Если $f$ является аналитической функцией на открытом множестве, то $\log |f|$ является плюрисубгармоническим на этом открытом множестве.
Выпуклые функции плюрисубгармоничны.
Если $\Omega$ является областью голоморфности , то $-\log(dist(z,\Omega ^{c}))$ является плюрисубгармоническим.

История

Плюрисубгармонические функции были определены в 1942 году Киёси Ока ^[1] и Пьер Лелонг . ^[2]

Характеристики

Множество плюрисубгармонических функций подобно выпуклому конусу обладает следующими свойствами :

если $f$ является плюрисубгармонической функцией и $c>0$ положительное действительное число, то функция $c\cdot f$ является плюрисубгармоническим,
если $f_{1}$ и $f_{2}$ являются плюрисубгармоническими функциями, то сумма $f_{1}+f_{2}$ является плюрисубгармонической функцией.

Плюрисубгармоничность является локальным свойством, т. е. функция является плюрисубгармонической тогда и только тогда, когда она плюрисубгармонична в окрестности каждой точки.
Если $f$ является плюрисубгармоническим и $\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ возрастающая выпуклая функция, то $\phi \circ f$ является плюрисубгармоническим.
Если $f_{1}$ и $f_{2}$ являются плюрисубгармоническими функциями, то функция $\max(f_{1},f_{2})$ является плюрисубгармоническим.
Если $f_{1},f_{2},\dots$ является убывающей последовательностью плюрисубгармонических функций, то ее поточечный предел плюрисубгармоничен.
Любую непрерывную плюрисубгармоническую функцию можно получить как предел убывающей последовательности гладких плюрисубгармонических функций. Более того, эту последовательность можно выбрать равномерно сходящейся. ^[3]
Неравенство в обычном условии полунепрерывности выполняется как равенство, т. е. если $f$ является плюрисубгармоническим, то $\limsup _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ .
Плюрисубгармонические функции субгармоничны для любой кэлеровой метрики .
Следовательно, плюрисубгармонические функции удовлетворяют принципу максимума , т.е. если $f$ является плюрисубгармоническим в области $D$ и $\sup _{x\in D}f(x)=f(x_{0})$ в какой-то момент $x_{0}\in D$ затем $f$ является постоянным.

Приложения

В ряде комплексных переменных плюрисубгармонические функции используются для описания псевдовыпуклых областей , областей голоморфности и многообразий Штейна .

Теорема Оки

Основным геометрическим приложением теории плюрисубгармонических функций является знаменитая теорема, доказанная Киёси Ока в 1942 году. ^[1]

Непрерывная функция $f:\;M\mapsto {\mathbb {R} }$ называется исчерпывающим, если прообраз $f^{-1}((-\infty ,c])$ компактен для всех $c\in {\mathbb {R} }$ . Плюрисубгармоникафункция f называется сильно плюрисубгармонической если форма $i(\partial {\bar {\partial }}f-\omega )$ положительно , для некоторой кэлеровой формы $\omega$ на М.

Теорема Оки: Пусть M — комплексное многообразие,допускающий гладкую, исчерпывающую, сильно плюрисубгармоническую функцию.Тогда M — Штейн . И наоборот, любой Многообразие Штейна допускает такую функцию.

Ссылки

Бремерманн, HJ (1956). «Сложная выпуклость» . Труды Американского математического общества . 82 (1): 17–51. дои : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR 1992976 .
Стивен Г. Кранц. Теория функций нескольких комплексных переменных, AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 1992.
Роберт С. Ганнинг . Введение в голоморфные функции нескольких переменных, Уодсворт и Брукс/Коул.
Климек, Теория плюрипотенциала, Clarendon Press, 1992.

Внешние ссылки

«Плюрисубгармоническая функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Ока, Киёси (1942), «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. VI. Псевдовыпуклые области» , Tohoku Mathematical Journal , First Series, 49 : 15–52, ISSN 0040-8735 , Zbl 0060.24006 . Примечание: В трактате это называется псевдовыпуклой функцией, но это означает плюрисубгармоническую функцию, которая является предметом этой страницы, а не псевдовыпуклую функцию выпуклого анализа. Бремерманн (1956)
^ Лелонг, П. (1942). «Определение функций множественных гармоник» . ЧР акад. наук. Париж . 215 : 398–400.
^ RE Грин и Х. Ву, $C^{\infty }$ -аппроксимации выпуклых, субгармонических и плюрисубгармонических функций , Анн. Научный. Эк. Норм. Как дела. 12 (1979), 47–84.

[oka-1] Jump up to: ^а ^б Ока, Киёси (1942), «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. VI. Псевдовыпуклые области» , Tohoku Mathematical Journal , First Series, 49 : 15–52, ISSN 0040-8735 , Zbl 0060.24006 . Примечание: В трактате это называется псевдовыпуклой функцией, но это означает плюрисубгармоническую функцию, которая является предметом этой страницы, а не псевдовыпуклую функцию выпуклого анализа. Бремерманн (1956)

[2] Лелонг, П. (1942). «Определение функций множественных гармоник» . ЧР акад. наук. Париж . 215 : 398–400.

[3] RE Грин и Х. Ву, $C^{\infty }$ -аппроксимации выпуклых, субгармонических и плюрисубгармонических функций , Анн. Научный. Эк. Норм. Как дела. 12 (1979), 47–84.

[1]

[2]

[3]