Теорема Хартогса об отдельной голоморфности

В математике — теорема Хартогса фундаментальный результат Фридриха Хартогса в теории нескольких комплексных переменных . Грубо говоря, оно утверждает, что «сепаратно-аналитическая» функция непрерывна. Точнее, если $F:{\textbf {C}}^{n}\to {\textbf {C}}$ — функция, аналитическая по каждой переменной z _i , 1 ≤ i ≤ n , в то время как другие переменные считаются постоянными, то F — непрерывная функция .

Следствием является то , что функция F тогда фактически является аналитической функцией в смысле n -переменной (т. е. локально она имеет разложение Тейлора ). Следовательно, «отдельная аналитичность» и «аналитичность» являются совпадающими понятиями в теории нескольких комплексных переменных.

Начиная с дополнительной гипотезы о том, что функция непрерывна (или ограничена), теорему гораздо легче доказать, и в этой форме она известна как лемма Осгуда .

не существует Аналога этой теоремы для действительных переменных . Если предположить, что функция $f\colon {\textbf {R}}^{n}\to {\textbf {R}}$ дифференцируема что (или даже аналитична ) по каждой переменной в отдельности, неверно, $f$ обязательно будет непрерывным. Контрпример в двух измерениях дается следующим образом:

f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}.

Если дополнительно определить $f(0,0)=0$ , эта функция имеет четко определенные частные производные по $x$ и $y$ в начале координат, но оно не является непрерывным в начале координат. (Действительно, пределы по линиям $x=y$ и $x=-y$ не равны, поэтому нет возможности расширить определение $f$ включить начало координат и сделать так, чтобы функция была там непрерывной.)