Тета-дивизор

В математике тэта -дивизор Θ — это дивизор в смысле алгебраической геометрии, определенный на абелевом многообразии A над комплексными числами (и преимущественно поляризованном ) нулевым локусом соответствующей тэта-функции Римана . Следовательно, это алгебраическое подмногообразие в A размерности dim A − 1.

Классическая теория

Классические результаты Бернхарда Римана описывают Θ по-другому, в случае, когда — многообразие Якоби J алгебраической кривой ( компактной римановой поверхности ) C. A существует При выборе базовой точки P на C стандартное отображение C в J посредством интерпретации J как классов линейной эквивалентности дивизоров на C степени 0. То есть Q на C отображается в класс Q - P . поскольку J — алгебраическая группа , C можно добавить к себе k раз на J , что приведет к появлению подмногообразий Wk _. Тогда ,

Если g — род C , Риман доказал , Θ является сдвигом на J W g _{что − 1} . Он также описал, какие точки на W _{g − 1} являются неособыми : они соответствуют эффективным дивизорам D степени g − 1 без каких-либо связанных с ними мероморфных функций, кроме констант. Говоря более классическим языком, эти D не движутся в линейной системе дивизоров на C в том смысле, что они не доминируют над полярным делителем непостоянной функции.

Риман далее доказал теорему Римана о сингулярности , определив кратность точки p = class( D ) на W _{g − 1} как количество линейно независимых мероморфных функций с делителем полюса, в котором доминирует D , или, что то же самое, как h ⁰ (O( D )), количество линейно независимых глобальных сечений голоморфного линейного расслоения, ассоциированного с D как дивизором Картье на C .

Более поздняя работа

Теорема Римана о сингулярности была расширена Джорджем Кемпфом в 1973 году: основываясь на работах Дэвида Мамфорда и Андреотти-Майера, к описанию особенностей точек p = class( D ) на Wk _точек для 1 ≤ k ≤ g − 1. В частности, он вычислил их кратность также через число независимые мероморфные функции, ассоциированные с D ( теорема Римана-Кемпфа о сингулярности ).

Точнее, Кемпф отобразил J локально рядом с p в семейство матриц, происходящих из точной последовательности , которая вычисляет h ⁰ (O( D )), так что W _k соответствует множеству матриц ранга меньше максимального. Тогда кратность согласуется с кратностью точки соответствующего ранга. Явно, если

час ⁰ (О( D )) = г + 1,

кратность W _k в классе ( D ) представляет собой биномиальный коэффициент

${g-k+r \choose r}.$

Когда k = g − 1, это r + 1, формула Римана.

Ссылки

• П. Гриффитс ; Дж. Харрис (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Уайли Интерсайенс. ISBN  0-471-05059-8 .