Jump to content

Поверхность VII класса

В математике поверхности класса VII — это неалгебраические комплексные поверхности, изученные (Кодайра 1964 , 1968 ), которые имеют размерность Кодаиры −∞ и первое число Бетти 1. Минимальные поверхности класса VII (те, у которыхникакие рациональные кривые с самопересечением −1) не называются поверхностями класса VII 0 . Каждая поверхность класса VII бирациональна уникальной минимальной поверхности класса VII и может быть получена из этой минимальной поверхности путем раздутия точек конечное число раз.

Название «класс VII» происходит от ( Кодайра 1964 , теорема 21), которая разделила минимальные поверхности на 7 классов с номерами от I 0 до VII 0 . Кодаиры Однако класс VII 0 не имел условия, согласно которому размерность Кодаиры равна −∞, но вместо этого имел условие, что геометрический род равен 0. В результате его класс VII 0 также включал некоторые другие поверхности, такие как вторичные поверхности Кодаиры , которые больше не считаются классом VII, поскольку не имеют размерности Кодаиры −∞. Минимальные поверхности класса VII — это класс под номером «7» в списке поверхностей в ( Кодаира 1968 , теорема 55).

Инварианты

[ редактировать ]

Нерегулярность q равна 1, а h 1,0 = 0. Все плюрироды равны 0.

Ходж Даймонд:

1
0 1
0 б 2 0
1 0
1

Поверхности Хопфа являются факторами C 2 −(0,0) дискретной группой G, действующей свободно, и имеющими нулевые вторые числа Бетти. Самый простой пример — принять G за целые числа, действуя как умножение на степени 2; соответствующая поверхность Хопфа диффеоморфна S 1 × S 3 .

Поверхности Иноуэ - это некоторые поверхности класса VII, универсальное покрытие которых есть C × H, где H - верхняя полуплоскость (поэтому они являются факторами ее по группе автоморфизмов). Они имеют исчезающие вторые числа Бетти.

Поверхности Иноуэ–Хирцебруха , поверхности Еноки и поверхности Като дают примеры поверхностей типа VII с b 2 > 0.

Классификация и глобальные сферические оболочки

[ редактировать ]

Поверхности минимального класса VII со вторым числом Бетти b 2 =0 были классифицированы Богомоловым ( 1976 , 1982 ) и являются либо поверхностями Хопфа , либо поверхностями Иноуэ . Те, у кого b 2 =1, были классифицированы Накамурой (1984b) при дополнительном предположении, что поверхность имеет кривую, что позже было доказано Телеманом (2005) .

Глобальная сферическая оболочка ( Като 1978 ) — это гладкая трехмерная сфера на поверхности со связным дополнением, окрестность которой биголоморфна окрестности сферы в C. 2 . Гипотеза о глобальной сферической оболочке утверждает, что все поверхности класса VII 0 с положительным вторым числом Бетти имеют глобальную сферическую оболочку. Все многообразия с глобальной сферической оболочкой представляют собой достаточно хорошо изученные поверхности Като , поэтому доказательство этой гипотезы привело бы к классификации поверхностей типа VII.

Поверхность класса VII с положительным вторым числом Бетти b 2 имеет не более b 2 рациональных кривых и имеет ровно это число, если она имеет глобальную сферическую оболочку. НаоборотЖорж Длоусски, Карл Ольеклаус и Матей Тома ( 2003 ) показали, что если минимальная поверхность класса VII с положительным вторым числом Бетти b 2 имеет ровно b 2 рациональных кривых, то она имеет глобальную сферическую оболочку.

Для поверхностей типа VII с исчезающим вторым числом Бетти первичные поверхности Хопфа имеют глобальную сферическую оболочку, но вторичные поверхности Хопфа и поверхности Иноуэ не имеют ее, поскольку их фундаментальные группы не являются бесконечными циклическими. Точки раздутия на последних поверхностях дают неминимальные поверхности VII класса с положительным вторым числом Бетти, не имеющие сферических оболочек.

  • Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее границы. 3-я серия, том. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, ISBN  978-3-540-00832-3 , МР   2030225
  • Bogomolov, Fedor A. (1976), "Classification of surfaces of class VII 0 with b 2 =0" , Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 10 (2): 273–288, ISSN  0373-2436 , MR  0427325
  • Bogomolov, Fedor A. (1982), "Surfaces of class VII 0 and affine geometry", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 46 (4): 710–761, Bibcode : 1983IzMat..21...31B , doi : 10.1070/IM1983v021n01ABEH001640 , ISSN  0373-2436 , MR  0670164
  • Длоусский, Жорж; Ольеклаус, Карл; Тома, Матей (2003), класса VII 0 « Поверхности b 2 с кривыми » , The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 55 (2): 283–309, arXiv : math/0201010 , doi : 10.2748/tmj/1113246942 , ISSN   0040-8735 , МР   1979500
  • Като, Масахидэ (1978), «Компактные комплексные многообразия, содержащие «глобальные» сферические оболочки. I», Труды Международного симпозиума по алгебраической геометрии (Киотский университет, Киото, 1977) , Токио: Книжный магазин Кинокуния, стр. 45–84. , МР   0578853
  • Кодайра, Кунихико (1964), «О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей. I», American Journal of Mathematics , 86 (4), The Johns Hopkins University Press: 751–798, doi : 10.2307/2373157 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373157 , МР   0187255
  • Кодайра, Кунихико (1968), «О структуре комплексных аналитических поверхностей. IV», American Journal of Mathematics , 90 (4), The Johns Hopkins University Press: 1048–1066, doi : 10.2307/2373289 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373289 , МР   0239114
  • Накамура, Ику (1984a), «На поверхностях класса VII 0 с кривыми», Inventiones Mathematicae , 78 (3): 393–443, Bibcode : 1984InMat..78..393N , doi : 10.1007/BF01388444 , ISSN   0020-9910 , МР   0768987
  • Накамура, Ику (1984b), «Классификация некелеровых комплексных поверхностей», Математическое общество Японии. Сугаку (Математика) , 36 (2): 110–124, ISSN   0039-470X , MR   0780359
  • Накамура, И. (2008), «Обследование поверхностей VII 0 », Последние разработки в некелеровой геометрии, Саппоро (PDF)
  • Телеман, Андрей (2005), «Теория Дональдсона на некелеровых поверхностях и поверхностях класса VII с b 2 =1», Inventiones Mathematicae , 162 (3): 493–521, arXiv : 0704.2638 , Bibcode : 2005InMat.162..493T , doi : 10.1007/s00222-005-0451-2 , ISSN   0020-9910 , MR   2198220
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 3dd2d3d03ede78f3644549d28838a16a__1716633540
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/3d/6a/3dd2d3d03ede78f3644549d28838a16a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Surface of class VII - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)