Поверхность общего типа

В алгебраической геометрии поверхность общего типа — это алгебраическая поверхность с размерностью Кодаиры 2. В силу теоремы Чоу любое компактное комплексное многообразие размерности 2 и с размерностью Кодаиры 2 на самом деле будет алгебраической поверхностью, и в некотором смысле большинство поверхностей относятся к этой размерности. сорт.

Классификация

Гизекер показал, что существует грубая схема модулей для поверхностей общего типа; это означает, что при любых фиксированных значениях чисел Чженя $c_{1}^{2},c_{2},$ существует квазипроективная схема, классифицирующая поверхности общего типа с такими числами Чженя. Явное описание этих схем остается очень сложной задачей, и существует лишь несколько пар чисел Чженя, для которых это было сделано (за исключением случаев, когда схема пуста). Есть некоторые признаки того, что эти схемы в целом слишком сложны, чтобы их можно было записать в явном виде: известные верхние границы числа компонентов очень велики, некоторые компоненты не могут быть сокращены везде, компоненты могут иметь много разных размерностей, и несколько частей те, которые были изучены явно, имеют тенденцию выглядеть довольно сложными.

Исследование того, какие пары чисел Чженя могут встречаться для поверхности общего типа, известно как « география чисел Черна ответ. Существует несколько условий, которым должны удовлетворять числа Черна минимальной » и на этот вопрос имеется почти полный комплексной поверхности общего типа:

$c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}}$ (так как оно равно 12χ)
$c_{1}^{2},c_{2}\geqslant 0$
$c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}$ (the Bogomolov-Miyaoka-Yau inequality )
$5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 12q\geqslant 0$ где q — неровность поверхности ( неравенство Нётер ).

Многие (а возможно, и все) пары целых чисел, удовлетворяющие этим условиям, являются числами Чженя для некоторой комплексной поверхности общего типа.Напротив, для почти сложных поверхностей единственным ограничением является:

c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}},

и это всегда можно реализовать. ^[1]

Примеры

Это лишь небольшая выборка из довольно большого числа найденных примеров поверхностей общего типа. Многие из исследованных поверхностей общего типа лежат на (или вблизи) краях области возможных чисел Чженя. В частности, поверхности Хорикавы лежат на «линии Нётер» или рядом с ней, многие из перечисленных ниже поверхностей лежат на этой линии. $c_{1}^{2}+c_{2}=12\chi =12,$ минимально возможное значение для общего типа и поверхностей на линии $3c_{2}=c_{1}^{2}$ все являются частными единичного шара в C ² (и их особенно трудно найти).

Поверхности с χ=1

Эти поверхности, расположенные на «нижней левой» границе диаграммы, подробно изучены. Для этих поверхностей второй класс Черна может быть любым целым числом от 3 до 11. Поверхности со всеми этими значениями известны; Вот несколько из многих примеров, которые были изучены:

c ₂ = 3: ложная проективная плоскость (поверхность Мамфорда). Первый пример был найден Мамфордом с помощью p -адической геометрии, всего таких примеров 50. Они имеют те же числа Бетти, что и проективная плоскость, но не гомеоморфны ей, поскольку их фундаментальные группы бесконечны.
c ₂ = 4: поверхности Бовиля названы в честь Арно Бовиля и имеют бесконечную фундаментальную группу.
c ₂ ≥ 4: поверхности Бурниата
c ₂ = 10: поверхности Кампеделли . Поверхности с одинаковыми числами Ходжа называются числовыми поверхностями Кампеделли .
c ₂ = 10: Катанцевые поверхности односоединены.
c ₂ = 11: поверхности Годо . Циклическая группа порядка 5 действует свободно на поверхности Ферма точек $(w:x:y:z)$ в П ³ удовлетворяющий $w^{5}+x^{5}+y^{5}+z^{5}=0$ путем сопоставления $(w:x:y:z)$ к $(w:\rho x:\rho ^{2}y:\rho ^{3}z)$ где ρ — корень пятой степени из 1. Фактором по этому действию является исходная поверхность Годо . Другие поверхности, построенные аналогичным образом с теми же числами Ходжа, также иногда называют поверхностями Годо. Поверхности с одинаковыми числами Ходжа (например, поверхности Барлоу) называются числовыми поверхностями Годо . Фундаментальная группа (исходной поверхности Годо) циклическая порядка 5.
c ₂ = 11: поверхности Барлоу односвязны. Вместе с поверхностью Крейгеро-Гаттаццо это единственные известные примеры односвязных поверхностей общего типа с p _g = 0.
Поверхности Тодорова дают контрпримеры к заключению теоремы Торелли .

Другие примеры

Поверхности Кастельнуово : еще один экстремальный случай. Кастельнуово доказал, что если каноническое расслоение очень обильно для поверхности общего типа, то $c_{1}^{2}\geqslant 3p_{g}-7.$ Поверхность Кастельнуово — это поверхности общего типа, каноническое расслоение которых очень обильно и что $c_{1}^{2}=3p_{g}-7.$
Полные пересечения : гладкое полное пересечение гиперповерхностей степеней. $d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant \cdots \geqslant d_{n-2}\geqslant 2$ в П ^н является поверхностью общего типа, если только степени не равны (2), (3), (2, 2) (рациональная), (4), (3, 2), (2, 2, 2) (размерность Кодайры 0). Все полные пересечения односвязны. Особым случаем являются гиперповерхности : например, в P ³, неособые поверхности степени не ниже 5 относятся к общему типу (Неособые гиперповерхности степени 4 — это поверхности К3 , а степени меньше 4 — рациональные ).
Поверхности Фано прямых на трехмерной кубе.
Гильбертовы модульные поверхности в основном имеют общий тип.
Поверхности Хорикавы — это поверхности с q = 0 и $p_{g}={\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+2$ или ${\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+{\tfrac {3}{2}}$ (что означает, что они более или менее находятся на краю «линии Нётер» области возможных значений чисел Черна). Все они просто связаны между собой, и Хорикава дал им подробное описание.
Произведения: произведение двух кривых рода не ниже 2 является поверхностью общего типа.
Двойные накрытия неособых кривых степени 2 m в P ² имеют общий тип, если $2m\geqslant 8.$ (При 2 т = 2 они рациональны, при 2 т = 4 они снова рациональны и называются двойными плоскостями дель Пеццо , а при 2 т = 6 они являются поверхностями К3 .) Они односвязны и имеют числа Черна. $c_{1}^{2}=2(m-3)^{2},c_{2}=4m^{2}-6m+6.$

Канонические модели

Бомбьери (1973) доказал, что мультиканоническое отображение φ _nK для комплексной поверхности общего типа является бирациональным изоморфизмом своего образа всякий раз, когда n ≥5, а Экедаль (1988) показал, что тот же результат все еще справедлив в положительной характеристике. Существуют поверхности, для которых он не является бирациональным изоморфизмом, когда n равно 4.Эти результаты следуют из теоремы Рейдера .

См. также

Примечания

^ Ван Де Вен, А. (июнь 1966 г.). «О числах Черна некоторых комплексных и почти комплексных многообразий» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 55 (6): 1624–1627. Бибкод : 1966PNAS...55.1624V . дои : 10.1073/pnas.55.6.1624 . ПМК 224368 . ПМИД 16578639 .

Ссылки

Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия, том. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, номер номера : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3 , МР 2030225
Бомбьери, Энрико (1973), «Канонические модели поверхностей общего типа» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 42 (42): 171–219, doi : 10.1007/BF02685880 , MR 0318163 , S2CID 56081921
Экедаль, Торстен (1988), «Канонические модели поверхностей общего типа с положительной характеристикой» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 67 (67): 97–144, doi : 10.1007/BF02699128 , MR 0972344 , S2CID 54756971
П. Гриффитс ; Дж. Харрис (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классической литературы Wiley, Wiley Interscience, ISBN 0-471-05059-8
Исковских, В.А. (2001) [1994], "Алгебраическая поверхность общего типа" , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Ван Де Вен, А. (июнь 1966 г.). «О числах Черна некоторых комплексных и почти комплексных многообразий» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 55 (6): 1624–1627. Бибкод : 1966PNAS...55.1624V . дои : 10.1073/pnas.55.6.1624 . ПМК 224368 . ПМИД 16578639 .

[1]