Поверхность Фано

В алгебраической геометрии поверхность Фано — это поверхность общего типа (в частности, не многообразие Фано ), точки которой индексируют прямые на неособом кубическом трехмерном многообразии . Впервые их изучил Фано ( 1904 ).

Ходж Даймонд:

		1
	5		5
10		25		10
	5		5
		1

Поверхности Фано — пожалуй, самый простой и наиболее изученный пример неправильных поверхностей общего типа, не связанных с произведением двух кривых и не являющихся полным пересечением дивизоров в абелевом многообразии.

Поверхность Фано S гладкого кубического трехмерного многообразия F в P ⁴ обладает многими замечательными геометрическими свойствами.Поверхность S естественным образом вкладывается в грассманиан линий G(2,5) P ⁴. Пусть U — ограничение на S универсального расслоения ранга 2 на G. Имеем:

Теорема о касательном расслоении ( Фано , Клеменс — Гриффитс , Тюрин): Касательное расслоение к S изоморфно U.

Это весьма интересный результат, поскольку априори между этими двумя связками не должно быть никакой связи. Он имеет множество мощных приложений. На примере можно восстановить тот факт, что кокасательное пространство S порождается глобальными сечениями. Это пространство глобальных 1-форм можно отождествить с пространством глобальных сечений тавтологического линейного расслоения O(1), ограниченного кубикой F, причем:

Теорема типа Торелли. Пусть g' — естественный морфизм S в грасманиан G(2,5), определенный кокасательным пучком S, порожденным его 5-мерным пространством глобальных сечений. Пусть F' — объединение прямых, соответствующих g'(S). Трехмерное многообразие F' изоморфно F.

Таким образом, зная поверхность Фано S, мы можем восстановить тройное многообразие F.С помощью теоремы о касательном расслоении мы также можем геометрически понять инварианты S:

а) Напомним, что второе число Чженя векторного расслоения ранга 2 на поверхности — это число нулей сечения общего положения. Для поверхности Фано S 1-форма w также определяет гиперплоское сечение {w=0} в P ⁴ кубики F. Нули общего w на S биективно соответствуют числу линий пересечения гладкой кубической поверхности {w=0} и F, поэтому мы получаем, что второй класс Черна S равен 27.

б) Пусть w ₁ , w ₂ — две 1-формы на S. Канонический дивизор K на S, ассоциированный с канонической формой w ₁ ∧ w _2, параметризует прямые на F, пересекающие плоскость P={ w ₁ = w ₂ = 0} в P ⁴. Используя w ₁ и w ₂ такие, что пересечение P и F представляет собой объединение трех прямых, можно восстановить тот факт, что K ²=45.Приведем некоторые подробности этого расчета:К общей точке кубики F проходит 6 прямых. Пусть s — точка S, и пусть L _s — соответствующая прямая на кубике F. Пусть C _s — дивизор на S, параметризующий прямые, которые пересекают прямую L _s . Самопересечение C _s равно числу пересечений C _s и C _t для общей точки ta. Пересечение Cs _{непересекающиеся} и Ct _— это набор прямых на F, который пересекает _Ls и _Lt. прямые Рассмотрим линейную оболочку L _s и L _t : это гиперплоскость в P ⁴ который разрезает F на гладкую кубическую поверхность. По хорошо известным результатам на кубической поверхности число прямых, пересекающих две непересекающиеся прямые, равно 5, таким образом, мы получаем ( C _s ) ² = C _s C _t =5.Поскольку K численно эквивалентно 3 C _s , получаем K ² =45.

в) Естественное составное отображение: S -> G(2,5) -> P ⁹ — каноническое отображение S. Это вложение.

См. также

Теория Ходжа

Ссылки

Бомбьери, Энрико ; Суиннертон-Дайер, HPF (1967), «О локальной дзета-функции трехмерного кубического многообразия» , Ann. Скуола Норм. Как дела. Пиза (3) , 21 : 1–29, МР 0212019
Клеменс, К. Герберт ; Гриффитс, Филлип А. (1972), «Промежуточный якобиан тройного кубического многообразия», Annals of Mathematics , Second Series, 95 (2): 281–356, CiteSeerX 10.1.1.401.4550 , doi : 10.2307/1970801 , ISSN 0003 -486X , JSTOR 1970801 , MR 0302652
Фано, Г. (1904), «О системе ∞ ² линий, содержащихся в общем кубическом многообразии четырехмерного пространства», Atti R. Accad. Sci. Torino , 39 : 778–792.
Куликов, Вик.С. (2001) [1994], «Поверхность Фано» , Математическая энциклопедия , EMS Press
Мурре, JP (1972), «Алгебраическая эквивалентность по модулю рациональной эквивалентности в тройном кубическом многообразии» , Compositio Mathematica , 25 : 161–206, ISSN 0010-437X , MR 0352088