Bogomolov–Miyaoka–Yau inequality

В математике неравенство Богомолова–Мияоки–Яу — это неравенство

$c_{1}^{2}\leq 3c_{2}$

между числами Черна компактных поверхностей комплексных общего типа . Его главный интерес заключается в том, как он ограничивает возможные топологические типы лежащего в основе реального 4-многообразия. Это было независимо доказано Шинг-Тунг Яу ( 1977 , 1978 ) и Йоичи Мияока ( 1977 ), после того как Антониус Ван де Вен ( 1966 ) и Федор Богомолов ( 1978 ) доказали более слабые версии с заменой константы 3 на 8 и 4.

Арманд Борель и Фридрих Хирцебрух показали, что неравенство лучше всего возможно, если найти бесконечное множество случаев, когда равенство имеет место. Неравенство неверно в положительной характеристике: Уильям Э. Ланг ( 1983 ) и Роберт В. Истон ( 2008 ) привели примеры поверхностей в характеристике p , таких как обобщенные поверхности Рейно , для которых оно не работает.

Формулировка неравенства

Традиционная формулировка неравенства Богомолова–Мияоки–Яу следующая. Пусть X — компактная комплексная поверхность общего типа , и пусть c ₁ = c ₁ ( X ) и c ₂ = c ₂ ( X ) — первый и второй класс Чженя комплексного касательного расслоения поверхности. Затем

$c_{1}^{2}\leq 3c_{2}.$

Более того, если равенство выполнено, то X является фактором шара. Последнее утверждение является следствием дифференциально-геометрического подхода Яу, основанного на его разрешении гипотезы Калаби .

С $c_{2}(X)=e(X)$ является топологической эйлеровой характеристикой и по сигнатурной теореме Тома – Хирцебруха $c_{1}^{2}(X)=2e(X)+3\sigma (X)$ где $\sigma (X)$ — сигнатура формы пересечения на вторых когомологиях, неравенство Богомолова–Мияоки–Яу можно также записать как ограничение на топологический тип поверхности общего типа:

$\sigma (X)\leq {\frac {1}{3}}e(X),$

более того, если $\sigma (X)=(1/3)e(X)$ тогда универсальное покрытие — шар.

Вместе с неравенством Нётер неравенство Богомолова–Мияоки–Яу устанавливает границы в поиске комплексных поверхностей. Отображение топологических типов, реализующихся в виде комплексных поверхностей, называется географией поверхностей . см. поверхности общего типа .

Поверхности с c ₁ ² = _3c2

Если X — поверхность общего типа с $c_{1}^{2}=3c_{2}$, так что равенство выполняется в неравенстве Богомолова–Мияоки–Яу, то Яу (1977) доказал, что X изоморфно фактору единичного шара в ${\mathbb {C} }^{2}$ бесконечной дискретной группой. Трудно найти примеры поверхностей, удовлетворяющих этому равенству. Борель (1963) показал, что существует бесконечно много значений c. ²
₁ = 3 c _2, для которого существует поверхность. Дэвид Мамфорд ( 1979 ) нашел фальшивую проективную плоскость с c ²
₁ = 3 c ₂ = 9, что является минимально возможным значением, поскольку c ²
₁ + c ₂ всегда делится на 12, а Прасад и Юнг (2007) , Прасад и Юнг (2010) , Дональд И. Картрайт и Тим Стегер ( 2010 ) показали, что существует ровно 50 ложных проективных плоскостей.

Бартель, Хирцебрух и Хёфер (1987) предложили метод поиска примеров, который, в частности, дал поверхность X с c ²
₁ = 3 в ₂ = 3 ² 5 ⁴ . Исида (1988) нашел частное этой поверхности с c ²
₁ = 3 c ₂ = 45, и взятие неразветвленных накрытий этого фактора дает примеры с c ²
₁ = 3 c ₂ = 45 k для любого натурального числа k . Дональд И. Картрайт и Тим Стегер ( 2010 ) нашли примеры с c ²
_{1 знак} равно 3 c ₂ = 9 n для каждого натурального числа n .

Ссылки

• Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия, том. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, ISBN  978-3-540-00832-3 , МР   2030225
• Бартель, Готфрид; Хирцебрух, Фридрих ; Хёфер, Томас (1987), Конфигурации линий и алгебраические поверхности , Аспекты математики, D4, Брауншвейг: Фридр. Вьюег и сын, ISBN  978-3-528-08907-8 , МР   0912097
• Bogomolov, Fedor A. (1978), "Holomorphic tensors and vector bundles on projective manifolds", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 42 (6): 1227–1287, ISSN  0373-2436 , MR  0522939
• Борель, Арманд (1963), «Компактные формы Клиффорда-Клейна симметричных пространств», Топология , 2 (1–2): 111–122, doi : 10.1016/0040-9383(63)90026-0 , ISSN   0040-9383 , МР   0146301
• Картрайт, Дональд И.; Стегер, Тим (2010), «Перечисление 50 фальшивых проективных плоскостей», Comptes Rendus Mathématique , 348 (1), Elsevier Masson SAS: 11–13, doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016
• Истон, Роберт В. (2008), «Поверхности, нарушающие положительную характеристику Богомолова-Мияока-Яу», Proceedings of the American Mathematical Society , 136 (7): 2271–2278, arXiv : math/0511455 , doi : 10.1090/S0002- 9939-08-09466-5 , ISSN   0002-9939 , MR   2390492 , S2CID   35276117
• Исида, Маса-Нори (1988), «Эллиптическая поверхность, покрытая ложной проективной плоскостью Мамфорда», The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 40 (3): 367–396, doi : 10.2748/tmj/1178227980 , ISSN   0040-8735 , МР   0957050
• Ланг, Уильям Э. (1983), «Примеры поверхностей общего типа с векторными полями», Арифметика и геометрия, Vol. II , прогр. Матем., вып. 36, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 167–173, MR   0717611.
• Мияока, Йоичи (1977), «О числах Черна поверхностей общего типа», Inventiones Mathematicae , 42 (1): 225–237, Bibcode : 1977InMat..42..225M , doi : 10.1007/BF01389789 , ISSN   0020- 9910 , МР   0460343 , С2КИД   120699065
• Мамфорд, Дэвид (1979), «Алгебраическая поверхность с достаточной K (K ² )=9, pg ₌ q=0" , American Journal of Mathematics , 101 (1), The Johns Hopkins University Press: 233–244, doi : 10.2307/2373947 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373947 , MR   0527834
• Прасад, Гопал; Юнг, Сай-Ки (2007), «Поддельные проективные плоскости», Inventiones Mathematicae , 168 (2): 321–370, arXiv : math/0512115 , Bibcode : 2007InMat.168..321P , doi : 10.1007/s00222-007- 0034-5 , МР   2289867 , С2КИД   1990160
• Прасад, Гопал; Юнг, Сай-Ки (2010), «Дополнение к «Фальшивым проективным плоскостям» », Inventiones Mathematicae , 182 (1): 213–227, arXiv : 0906.4932 , Bibcode : 2010InMat.182..213P , doi : 10.1007/s00222- 010-0259-6 , МР   2672284 , С2КИД   17216453
• Ван де Вен, Антониус (1966), «О числах Черна некоторых комплексных и почти комплексных многообразий», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 55 (6), Национальная академия наук: 1624–1627. , Bibcode : 1966PNAS...55.1624V , doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   57245 , MR   0198496 , PMC   224368 , PMID   16578639
• Яу, Шинг Тунг (1977), «Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 74 (5), National Academy of Sciences: 1798–1799, Bibcode : 1977ПНАС...74.1798Г , дои : 10.1073/pnas.74.5.1798 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   67110 , MR   0451180 , PMC   431004 , PMID   16592394
• Яу, Шинг Тунг (1978), «О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа-Ампера. I», Communications on Pure and Applied Mathematics , 31 (3): 339–411, doi : 10.1002/cpa .3160310304 , ISSN   0010-3640 , МР   0480350