Схема модулей

В математике схема модулей — это пространство модулей , которое существует в категории схем, разработанных Александром Гротендиком . Некоторые важные проблемы модулей алгебраической геометрии могут быть удовлетворительно решены с помощью одной только теории схем , в то время как другие требуют некоторого расширения концепции «геометрического объекта» ( алгебраические пространства , алгебраические стопки Майкла Артина ).

История

Работы Гротендика и Дэвида Мамфорда (см. Теорию геометрических инвариантов ) открыли эту область в начале 1960-х годов. Более алгебраический и абстрактный подход к проблемам модулей состоит в том, чтобы поставить их как вопрос о представимых функторах , а затем применить критерий, который выделяет представимые функторы для схем. Когда этот программный подход работает, в результате получается прекрасная схема модулей . Под влиянием более геометрических идей достаточно найти схему, дающую правильные геометрические точки . Это больше похоже на классическую идею о том, что проблема модулей состоит в том, чтобы выразить алгебраическую структуру, естественным образом возникающую в наборе (скажем, классов изоморфизма эллиптических кривых ).

В результате получается грубая схема модулей . Его несовершенство заключается, грубо говоря, в том, что он не гарантирует для семейств объектов то, что присуще схеме точных модулей. Как отметил Мамфорд в своей книге «Теория геометрических инвариантов» , возможно, кто-то захочет иметь утонченную версию, но существует техническая проблема ( структура уровней и другие «маркировки»), которую необходимо решить, чтобы получить вопрос с вероятностью получения такого ответа. отвечать.

Терухиса Мацусака доказал результат, ныне известный как большая теорема Мацусаки , устанавливающий необходимое условие модулей в задаче модулей. существования грубой схемы ^[1]

Примеры

Мамфорд доказал, что если g > 1, существует грубая схема модулей гладких кривых рода g , которая является квазипроективной . ^[2] Согласно недавнему исследованию Яноша Коллара , он «обладает богатой и интригующей внутренней геометрией, которая связана с основными вопросами во многих областях математики и теоретической физики». ^[3] Браунгардт поставил вопрос, теорему Белого можно ли обобщить на многообразия более высокой размерности над полем алгебраических чисел , сформулировав, что они в общем случае бирациональны конечному этальному накрытию пространства модулей кривых. ^[4]

Используя понятие стабильного векторного расслоения , было показано, что грубые схемы модулей для векторных расслоений на любом гладком комплексном многообразии существуют и являются квазипроективными: в этом утверждении используется концепция полустабильности . ^[5] В некоторых случаях можно отождествить грубое пространство модулей специальных инстантонных расслоений в математической физике с объектами классической геометрии коник. ^[6]

Ссылки

«Теория модулей» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Примечания

^ Ковач, С.Дж. (2009). «Справочник для молодежи по модулям многообразий высших размерностей» . Алгебраическая геометрия, Сиэтл, 2005 г.: Летний исследовательский институт 2005 г., 25 июля – 12 августа 2005 г., Вашингтонский университет . Американское математическое общество. стр. 711–743. ISBN 978-0-8218-4703-9 . п. 13 PDF-файлов
^ Хаузер, Хервиг; Липман, Джозеф; Оорт, Франс; Кирос, Адольфо (6 декабря 2012 г.). «10.4 Схемы грубых модулей» . Разрешение особенностей: исследовательский учебник, посвящённый Оскару Зарискому. На основе курсов, прочитанных на Рабочей неделе в Обергургле, Австрия, 7–14 сентября 1997 г. Биркхойзер. п. 83. ИСБН 9783034883993 . Проверено 22 августа 2017 г.
^ Коллар, Янош (20 июля 2017 г.). «1.1. Краткая история проблем модулей: теорема 1.14». Семейства сортов общего типа (PDF) . п. 11.
^ Голдринг, В. (2012). «Объединяющие темы, предложенные теоремой Белого». Теория чисел, анализ и геометрия . Спрингер. стр. 181–214 См. стр. 181–214. 203. дои : 10.1007/978-1-4614-1260-1_10 . ISBN 978-1-4614-1260-1 .
^ Харрис, Джо (1987). «Кривые и их модули» . Алгебраическая геометрия: Боудуин, 1985 . Американское математическое соц. стр. 99–143 См. стр. 99–143. 103. ИСБН 978-0-8218-1480-2 .
^ Бёмер, В.; Траутман, Г. (2006). «Специальные расслоения Инстантона и кривые Понселе» . В Грюэле, Герт-Мартен; Траутманн, Гюнтер (ред.). Особенности, представление алгебр и векторные расслоения: материалы симпозиума, проходившего в Ламбрехте/Пфальце, Федеративная Республика. Германии, 13-17 декабря 1985 г. Конспект лекций по математике. Том. 1273. Спрингер. стр. 325–336. дои : 10.1007/BFb0078852 . ISBN 978-3-540-47851-5 .

Эта алгебраической геометрии статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Ковач, С.Дж. (2009). «Справочник для молодежи по модулям многообразий высших размерностей» . Алгебраическая геометрия, Сиэтл, 2005 г.: Летний исследовательский институт 2005 г., 25 июля – 12 августа 2005 г., Вашингтонский университет . Американское математическое общество. стр. 711–743. ISBN 978-0-8218-4703-9 . п. 13 PDF-файлов

[2] Хаузер, Хервиг; Липман, Джозеф; Оорт, Франс; Кирос, Адольфо (6 декабря 2012 г.). «10.4 Схемы грубых модулей» . Разрешение особенностей: исследовательский учебник, посвящённый Оскару Зарискому. На основе курсов, прочитанных на Рабочей неделе в Обергургле, Австрия, 7–14 сентября 1997 г. Биркхойзер. п. 83. ИСБН 9783034883993 . Проверено 22 августа 2017 г.

[3] Коллар, Янош (20 июля 2017 г.). «1.1. Краткая история проблем модулей: теорема 1.14». Семейства сортов общего типа (PDF) . п. 11.

[4] Голдринг, В. (2012). «Объединяющие темы, предложенные теоремой Белого». Теория чисел, анализ и геометрия . Спрингер. стр. 181–214 См. стр. 181–214. 203. дои : 10.1007/978-1-4614-1260-1_10 . ISBN 978-1-4614-1260-1 .

[5] Харрис, Джо (1987). «Кривые и их модули» . Алгебраическая геометрия: Боудуин, 1985 . Американское математическое соц. стр. 99–143 См. стр. 99–143. 103. ИСБН 978-0-8218-1480-2 .

[6] Бёмер, В.; Траутман, Г. (2006). «Специальные расслоения Инстантона и кривые Понселе» . В Грюэле, Герт-Мартен; Траутманн, Гюнтер (ред.). Особенности, представление алгебр и векторные расслоения: материалы симпозиума, проходившего в Ламбрехте/Пфальце, Федеративная Республика. Германии, 13-17 декабря 1985 г. Конспект лекций по математике. Том. 1273. Спрингер. стр. 325–336. дои : 10.1007/BFb0078852 . ISBN 978-3-540-47851-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]