Алгебраическое число

Не путать с алгебраическим решением .

Квадратный корень из 2 — алгебраическое число, равное длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной 1.

Алгебраическое число — это число, которое является корнем ненулевого многочлена (конечной степени) от одной переменной с целыми (или, что то же самое, рациональными ) коэффициентами. Например, золотое сечение , $(1+{\sqrt {5}})/2$, является алгебраическим числом, поскольку оно является корнем многочлена x ² - Икс - 1 . То есть это значение x, для которого полином равен нулю. Другой пример: комплексное число $1+i$ является алгебраическим, поскольку является корнем x ⁴ + 4 .

Все целые и рациональные числа являются алгебраическими, как и все корни целых чисел . Действительные и комплексные числа, не являющиеся алгебраическими, такие как π и e , называются трансцендентными числами .

Множество счетно алгебраических чисел бесконечно и имеет меру по мере Лебега как подмножество несчетных нулевую комплексных чисел. В этом смысле почти все комплексные числа трансцендентны .

Примеры

• Все рациональные числа алгебраические. Любое рациональное число, выраженное как частное целого числа a и (ненулевого) натурального числа b , удовлетворяет приведенному выше определению, поскольку x = ⁠ a / b ⁠ является корнем ненулевого многочлена, а именно bx − a .
• Квадратичные иррациональные числа , иррациональные решения квадратичного многочлена ax ² + bx + c с целыми коэффициентами a , b и c — алгебраические числа. Если квадратичный многочлен является моническим ( a = 1 ), корни далее квалифицируются как квадратичные целые числа .
  • Гауссовы целые числа , комплексные числа a + bi, для которых a и b являются целыми числами, также являются квадратичными целыми числами. Это потому, что a + bi и a − bi — два корня квадратного x ² − 2 топор + а ² + б ² .
• Конструктивное число можно составить из заданной единичной длины с помощью линейки и циркуля. Он включает в себя все квадратичные иррациональные корни, все рациональные числа и все числа, которые можно образовать из них с помощью основных арифметических операций и извлечения квадратных корней. (Обозначая стороны света для +1, −1, + i и − i , комплексные числа, такие как $3+i{\sqrt {2}}$ считаются конструктивными.)
• Любое выражение, составленное из алгебраических чисел с использованием любой комбинации основных арифметических операций и извлечения n- корней й степени , дает другое алгебраическое число.
• Полиномиальные корни, которые невозможно выразить с помощью основных арифметических операций и извлечения корней n-й степени (например, корней x ⁵ - Икс + 1 ). Это происходит со многими , но не со всеми полиномами степени 5 и выше.
• Значения тригонометрических функций рациональных кратных π (кроме случаев, когда они не определены): например, cos ⁠ π / 7 ⁠ , потому что ⁠ 3 π / 7 ⁠ и потому что ⁠ 5 π / 7 ⁠ удовлетворяют 8 x ³ − 4x ² - 4 Икс + 1 знак равно 0 . Этот многочлен неприводим к рациональным числам, поэтому три косинуса являются сопряженными алгебраическими числами. Аналогично, загар ⁠ 3 π / 16 ⁠ , коричневый ⁠ 7 π / 16 ⁠ , коричневый ⁠ 11 π / 16 ⁠ и коричневый ⁠ 15 π / 16 ⁠ удовлетворяют неприводимому многочлену x ⁴ − 4x ³ − 6x ² + 4 x + 1 = 0 , и поэтому являются сопряженными алгебраическими целыми числами . Это эквивалент углов, которые, измеряемые в градусах, имеют рациональные числа.
• Некоторые, но не все иррациональные числа являются алгебраическими:
  • Числа ${\sqrt {2}}$ и ${\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}$ являются алгебраическими, поскольку являются корнями многочленов x ² − 2 и 8 х ³ − 3 соответственно.
  • Золотое сечение φ является алгебраическим, поскольку оно является корнем многочлена x ² - Икс - 1 .
  • Числа π и e не являются алгебраическими числами (см. теорему Линдеманна–Вейерштрасса ).

Характеристики

Алгебраические числа на комплексной плоскости, раскрашенные по степени (ярко-оранжевый/красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4)

• Если многочлен с рациональными коэффициентами умножить на наименьший общий знаменатель , то полученный многочлен с целыми коэффициентами будет иметь одинаковые корни. Это показывает, что алгебраическое число можно эквивалентным образом определить как корень многочлена с целыми или рациональными коэффициентами.
• Учитывая алгебраическое число, существует уникальный монический многочлен с рациональными коэффициентами наименьшей степени , имеющий корень этого числа. Этот многочлен называется его минимальным многочленом . Если его минимальный многочлен имеет степень n , то говорят, что алгебраическое число имеет степень n . Например, все рациональные числа имеют степень 1, а алгебраическое число степени 2 является квадратичным иррациональным .
• Алгебраические числа плотны в действительных числах . Это следует из того, что они содержат рациональные числа, плотные в самих действительных числах.
• Множество алгебраических чисел счетно (перечислимо), и, следовательно, его мера Лебега как подмножества комплексных чисел равна 0 (по сути, алгебраические числа не занимают места в комплексных числах). То есть «почти все» действительные и комплексные числа трансцендентны.
• Все алгебраические числа вычислимы и, следовательно, определимы и арифметичны .
• Для действительных чисел a и b комплексное число a + bi является алгебраическим тогда и только тогда, когда оба a и b являются алгебраическими.

Степень простого расширения рациональных чисел как критерий алгебраичности

Для любого α простое расширение рациональных чисел посредством α , обозначаемое $\mathbb {Q} (\alpha )\equiv \{\sum _{i=-{n_{1}}}^{n_{2}}\alpha ^{i}q_{i}|q_{i}\in \mathbb {Q} ,n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} \}$, имеет конечную степень тогда и только тогда, когда α — алгебраическое число.

Условие конечной степени означает, что существует конечное множество $\{a_{i}|1\leq i\leq k\}$ в $\mathbb {Q} (\alpha )$ такой, что $\mathbb {Q} (\alpha )=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mathbb {Q}$; то есть каждый член в $\mathbb {Q} (\alpha )$ можно записать как $\sum _{i=1}^{k}a_{i}q_{i}$ для некоторых рациональных чисел $\{q_{i}|1\leq i\leq k\}$ (обратите внимание, что набор $\{a_{i}\}$ фиксировано).

Действительно, поскольку $a_{i}-s$ сами являются членами $\mathbb {Q} (\alpha )$каждое из них может быть выражено как сумма произведений рациональных чисел и степеней α , и поэтому это условие эквивалентно требованию, чтобы для некоторого конечного $n$, $\mathbb {Q} (\alpha )=\{\sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}|q_{i}\in \mathbb {Q} \}$.

Последнее условие эквивалентно $\alpha ^{n+1}$, сам является членом $\mathbb {Q} (\alpha )$, выражаемый как $\sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}$ для некоторых рациональных $\{q_{i}\}$, так $\alpha ^{2n+1}=\sum _{i=0}^{2n}\alpha ^{i}q_{i-n}$ или, что то же самое, α является корнем $x^{2n+1}-\sum _{i=0}^{2n}x^{i}q_{i-n}$; то есть алгебраическое число с минимальным многочленом степени не выше $2n+1$.

Аналогично можно доказать, что для любого конечного набора алгебраических чисел $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$... $\alpha _{n}$, расширение поля $\mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})$ имеет конечную степень.

Поле

Алгебраические числа, раскрашенные по степени (синий = 4, голубой = 3, красный = 2, зелёный = 1). Единичный круг черный.

Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель ненулевой) двух алгебраических чисел снова является алгебраическим:

Для любых двух алгебраических чисел α , β это следует непосредственно из того факта, что простое расширение $\mathbb {Q} (\gamma )$, для $\gamma$ будучи либо $\alpha +\beta$, $\alpha -\beta$, $\alpha \beta$ или (для $\beta \neq 0$) $\alpha /\beta$, является линейным подпространством конечной степени расширения поля $\mathbb {Q} (\alpha ,\beta )$, и, следовательно, сама имеет конечную степень, откуда следует (как показано выше ), что $\gamma$ является алгебраическим.

Альтернативный способ показать это конструктивно — использовать результирующий файл .

Таким образом, алгебраические числа образуют поле ${\overline {\mathbb {Q} }}$ (иногда обозначается $\mathbb {A}$, но обычно это обозначает кольцо адели ).

Алгебраическое замыкание

Каждый корень полиномиального уравнения, коэффициентами которого являются алгебраические числа, снова является алгебраическим. Это можно перефразировать, сказав, что поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто . Фактически, это наименьшее алгебраически замкнутое поле, содержащее рациональные числа, и поэтому оно называется алгебраическим замыканием рациональных чисел.

То, что поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто, можно доказать следующим образом: пусть β — корень многочлена. $\alpha _{0}+\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}...+\alpha _{n}x^{n}$ с коэффициентами, которые являются алгебраическими числами $\alpha _{0}$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$... $\alpha _{n}$. Расширение поля $\mathbb {Q} ^{\prime }\equiv \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})$ тогда имеет конечную степень относительно $\mathbb {Q}$. Простое расширение $\mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )$ тогда имеет конечную степень относительно $\mathbb {Q} ^{\prime }$ (поскольку все степени β выражаются степенями до $\beta ^{n-1}$). Поэтому, $\mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )=\mathbb {Q} (\beta ,\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})$ также имеет конечную степень по отношению к $\mathbb {Q}$. С $\mathbb {Q} (\beta )$ является линейным подпространством $\mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )$, он также должен иметь конечную степень относительно $\mathbb {Q}$, поэтому β должно быть алгебраическим числом.

Связанные поля

Числа, определяемые радикалами

Любое число, которое можно получить из целых чисел с помощью конечного числа сложений , вычитаний , умножений , делений и извлечения (возможно, комплексных) n- корней й степени, где n — положительное целое число, является алгебраическим. Обратное, однако, неверно: существуют алгебраические числа, которые невозможно получить таким способом. Эти числа являются корнями многочленов степени 5 или выше, что является результатом теории Галуа (см. Уравнения Квинтика и теорему Абеля – Руффини ). Например, уравнение:

$x^{5}-x-1=0$

имеет единственный действительный корень, который нельзя выразить только через радикалы и арифметические операции.

Номер закрытой формы

Основная статья: Номер закрытой формы

Алгебраические числа — это все числа, которые можно явно или неявно определить с помощью многочленов, начиная с рациональных чисел. Это можно обобщить на « числа замкнутой формы », которые можно определить различными способами. В более широком смысле все числа, которые могут быть определены явно или неявно с помощью полиномов, экспонент и логарифмов, называются « элементарными числами », и они включают в себя алгебраические числа, а также некоторые трансцендентные числа. В более узком смысле можно рассматривать числа, явно определенные в терминах полиномов, экспонент и логарифмов – сюда не входят все алгебраические числа, но входят некоторые простые трансцендентные числа, такие как e или ln 2 .

Алгебраические целые числа

Алгебраические числа, окрашенные старшим коэффициентом (красный означает 1 для целого алгебраического числа)

Основная статья: Алгебраическое целое число

Целое алгебраическое число — это алгебраическое число, которое является корнем многочлена с целыми коэффициентами со старшим коэффициентом 1 ( монический многочлен ). Примеры алгебраических целых чисел: $5+13{\sqrt {2}},$ $2-6i,$ и ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$ Следовательно, целые алгебраические числа составляют собственное надмножество целых чисел , поскольку последние являются корнями монических многочленов x − k для всех $k\in \mathbb {Z}$. В этом смысле целые алгебраические числа относятся к алгебраическим числам так же, как целые числа относятся к рациональным числам .

Сумма, разность и произведение целых алгебраических чисел снова являются целыми алгебраическими числами, а это означает, что целые алгебраические числа образуют кольцо . Название «алгебраическое целое число» происходит от того факта, что единственными рациональными числами, которые являются алгебраическими целыми числами, являются целые числа, а также потому, что целые алгебраические числа в любом числовом поле во многом аналогичны целым числам. Если K — числовое поле, его кольцо целых чисел подкольцом целых алгебраических чисел в K и часто обозначается как OK _{является} . Это прототипические примеры доменов Дедекинда .

Специальные классы

• Алгебраическое решение
• Гауссово целое число
• целое число Эйзенштейна
• Квадратичное иррациональное число
• Основная единица
• Корень единства
• Гауссов период
• Число Писо – Виджаярагавана
• Салемский номер

Ссылки

• Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл, ISBN  0-13-004763-5 , МР   1129886
• Гарибальди, Скип (июнь 2008 г.), «О тригонометрии нужно знать несколько больше, чем губернаторам», Mathematics Magazine , 81 (3): 191–200, doi : 10.1080/0025570x.2008.11953548 , JSTOR   27643106
• Харди, Годфри Гарольд ; Райт, Эдвард М. (1972), Введение в теорию чисел (5-е изд.), Оксфорд: Clarendon, ISBN  0-19-853171-0
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990) [1-е изд. 1982], Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.), Берлин: Springer, doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4 , ISBN.  0-387-97329-Х , МР   1070716
• Ланг, Серж (2002) [1-е изд. 1965], Алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556
• Нивен, Иван М. (1956), Иррациональные числа , Математическая ассоциация Америки
• Оре, Эйстейн (1948), Теория чисел и ее история , Нью-Йорк: McGraw-Hill