Алгебраическое разнообразие
Алгебраические многообразия — центральные объекты изучения алгебраической геометрии , раздела математики . Классически алгебраическое многообразие определяется как множество решений системы полиномиальных уравнений над действительными или комплексными числами . Современные определения обобщают эту концепцию несколькими различными способами, пытаясь сохранить геометрическую интуицию, лежащую в основе исходного определения. [1] : 58
Соглашения относительно определения алгебраического многообразия немного различаются. Например, некоторые определения требуют, чтобы алгебраическое многообразие было неприводимым , а это означает, что оно не является объединением двух меньших множеств , замкнутых в топологии Зарисского . Согласно этому определению, неприводимые алгебраические многообразия называются алгебраическими множествами . Другие соглашения не требуют несводимости.
Основная теорема алгебры устанавливает связь между алгеброй и геометрией , показывая, что унитарный многочлен (алгебраический объект) от одной переменной с комплексными коэффициентами определяется множеством его корней (геометрический объект) на комплексной плоскости . Обобщая этот результат, Nullstellensatz Гильберта обеспечивает фундаментальное соответствие между идеалами и колец полиномов алгебраическими множествами. Используя Nullstellensatz и связанные с ним результаты, математики установили сильное соответствие между вопросами об алгебраических множествах и вопросами теории колец . Это соответствие является определяющей чертой алгебраической геометрии.
Многие алгебраические многообразия являются дифференцируемыми многообразиями , но алгебраическое многообразие может иметь особые точки , а дифференцируемое многообразие — нет. Алгебраические многообразия можно охарактеризовать по их размерности . Алгебраические многообразия размерности один называются алгебраическими кривыми , а алгебраические многообразия размерности два — алгебраическими поверхностями .
В контексте современной теории схем алгебраическое многообразие над полем — это целая (неприводимая и приведенная) схема над этим полем, морфизм структуры которого отделим и имеет конечный тип.
Обзор и определения [ править ]
Аффинное многообразие над алгебраически замкнутым полем концептуально является самым простым для определения типом многообразия, что и будет сделано в этом разделе. Далее аналогичным образом можно определить проективные и квазипроективные многообразия. Наиболее общее определение многообразия получается путем объединения меньших квазипроективных многообразий. Неочевидно, что таким способом можно создать действительно новые образцы сортов, но Нагата привел пример такого нового сорта в 1950-х годах.
Аффинные сорта [ править ]
Для алгебраически замкнутого поля K и натурального числа n пусть A н — аффинное n- пространство над K , отождествляемое с путем выбора аффинной системы координат . Многочлены f в кольце K [ x 1 , ..., x n ] можно рассматривать как K -значные функции на A н оценивая f в точках A н , то есть путем выбора значений в K для каждого x i . Для каждого набора S многочленов в K [ x 1 , ..., x n ] определите нулевой локус Z ( S ) как набор точек в A н на котором функции из S одновременно обращаются в нуль, т. е.
Подмножество V из A н называется аффинным алгебраическим множеством если V = Z ( S ) для некоторого S. , [1] : 2 Непустое аффинное алгебраическое множество V называется неприводимым , если его нельзя представить в виде объединения двух собственных алгебраических подмножеств. [1] : 3 Неприводимое аффинное алгебраическое множество также называют аффинным многообразием . [1] : 3 (Некоторые авторы используют фразу «аффинное многообразие» для обозначения любого аффинного алгебраического множества, неприводимого или нет. [примечание 1] )
Аффинным многообразиям можно придать естественную топологию , объявив замкнутые множества в точности аффинными алгебраическими множествами. Эта топология называется топологией Зарисского. [1] : 2
Учитывая подмножество V из A н мы определяем I ( V ) как идеал всех полиномиальных функций, исчезающих на V :
Для любого аффинного алгебраического множества V координатное кольцо или структурное кольцо V является фактором кольца многочленов по этому идеалу. [1] : 4
квазипроективные многообразия и Проективные многообразия
Пусть k — алгебраически замкнутое поле и P н — проективное n -пространство над k . Пусть f в k [ x0 , ,... xn ] — однородный многочлен степени d . Нет четкого определения оценки f по точкам в P н в однородных координатах . Однако, поскольку f однороден, это означает, что f ( λx 0 , ..., λx n ) = λ д f ( x0 f ,..., xn имеет ) , смысл спросить, обращается ли в точке [ x0 нуль в :... xn : ] . Для каждого набора S однородных многочленов определите нулевое место S как набор точек в P н на котором функции из S обращаются в нуль:
Подмножество V из P н называется проективным алгебраическим множеством если V = Z ( S ) для некоторого S. , [1] : 9 Неприводимое проективное алгебраическое множество называется проективным многообразием . [1] : 10
Проективные многообразия также снабжаются топологией Зариского, объявляя все алгебраические множества замкнутыми.
Учитывая подмножество V из P н , пусть I ( V ) — идеал, порожденный всеми однородными многочленами, обращающимися в нуль V. на Для любого проективного алгебраического множества является фактором кольца многочленов V координатное кольцо V по этому идеалу. [1] : 10
Квазипроективное многообразие — это открытое по Зарисскому подмножество проективного многообразия. Заметим, что каждое аффинное многообразие квазипроективно. [2] Заметим также, что дополнение к алгебраическому множеству в аффинном многообразии является квазипроективным многообразием; в контексте аффинных многообразий такое квазипроективное многообразие обычно называют не многообразием, а конструктивным множеством .
Абстрактные разновидности [ править ]
В классической алгебраической геометрии все многообразия по определению были квазипроективными многообразиями , что означает, что они были открытыми подмногообразиями замкнутых подмногообразий проективного пространства . Например, в главе 1 многообразие над , алгебраически замкнутым полем определяется как квазипроективное многообразие Хартсхорна [1] : 15 но, начиная с главы 2, термин «разновидность » (также называемый абстрактным разнообразием ) относится к более общему объекту, который локально является квазипроективным разнообразием, но, если рассматривать его в целом, не обязательно является квазипроективным; т.е. оно может не иметь вложения в проективное пространство . [1] : 105 Итак, классически определение алгебраического многообразия требовало вложения в проективное пространство, и это вложение использовалось для определения топологии многообразия и регулярных функций на многообразии. Недостаток такого определения состоит в том, что не все многообразия имеют естественное вложение в проективное пространство. Например, согласно этому определению, произведение P 1 × П 1 не является разнообразием до тех пор, пока оно не встроено в большее проективное пространство; обычно это делается с помощью встраивания Сегре . Более того, любое многообразие, допускающее одно вложение в проективное пространство, допускает множество других, например, путем составления вложения с вложением Веронезе ; таким образом, многие понятия, которые должны быть внутренними, например понятие регулярной функции, таковыми не являются.
Самая ранняя успешная попытка определить алгебраическое многообразие абстрактно, без вложения, была предпринята Андре Вейлем . В своих «Основах алгебраической геометрии» с использованием оценок . Клод Шевалле дал определение схемы , которое служило той же цели, но носило более общий характер. Однако Александром Гротендиком, определение схемы, данное является еще более общим и получило наиболее широкое признание. На языке Гротендика абстрактное алгебраическое многообразие обычно определяется как схема конечного целая разделенная типа над алгебраически замкнутым полем. [1] : 104–105 хотя некоторые авторы отказываются от условия неприводимости, редуцированности или отдельности или допускают, что основное поле не является алгебраически замкнутым. [примечание 2] Классические алгебраические многообразия представляют собой квазипроективные целочисленные разделенные схемы конечного типа над алгебраически замкнутым полем.
неквазипроективных абстрактных Существование многообразий алгебраических
Один из первых примеров неквазипроективного алгебраического многообразия был дан Нагатой. [3] Пример Нагаты не был полным (аналог компактности), но вскоре после этого он нашел полную и непроективную алгебраическую поверхность. [4] [1] : Примечание 4.10.2 п.105 С тех пор были найдены и другие примеры: например, несложно построить торические многообразия , которые не являются квазипроективными, а полными. [5]
Примеры [ править ]
Подвид [ править ]
Подмногообразие — это подмножество многообразия, которое само по себе является многообразием (относительно топологической структуры, индуцированной объемлющим многообразием). Например, каждое открытое подмножество многообразия является многообразием. См. также закрытое погружение .
Nullstellensatz Гильберта говорит, что замкнутые подмногообразия аффинного или проективного многообразия находятся во взаимно однозначном соответствии с простыми идеалами или нерелевантными однородными простыми идеалами координатного кольца многообразия.
Аффинная разновидность [ править ]
Пример 1 [ править ]
Пусть k = C и A 2 — двумерное аффинное пространство над C . Полиномы в кольце C [ x , y ] можно рассматривать как комплекснозначные функции на A. 2 оценивая в точках A 2 . Пусть подмножество S из C [ x , y ] содержит один элемент f ( x , y ) :
Нулевое локус f ( x , y ) — это набор точек в A 2 на котором эта функция обращается в нуль: это набор всех пар комплексных чисел ( x , y ) таких, что y = 1 − x . Это называется линией в аффинной плоскости. (В классической топологии, исходящей из топологии комплексных чисел, комплексная прямая представляет собой вещественное многообразие размерности два.) Это множество Z ( f ) :
Таким образом, подмножество V = Z ( f ) из A 2 является алгебраическим множеством . Множество V не пусто. Оно неприводимо, так как его нельзя записать как объединение двух собственных алгебраических подмножеств. Таким образом, это аффинное алгебраическое многообразие.
Пример 2 [ править ]
Пусть k = C и A 2 — двумерное аффинное пространство над C . Полиномы в кольце C [ x , y ] можно рассматривать как комплекснозначные функции на A. 2 оценивая в точках A 2 . Пусть подмножество S из C [ x , y ] содержит один элемент g ( x , y ):
Нулевое локус g ( x , y ) — это набор точек в A 2 на котором эта функция обращается в нуль, то есть набор точек ( x , y ) таких, что x 2 + и 2 = 1. Поскольку g ( x , y ) — абсолютно неприводимый многочлен, это алгебраическое многообразие. Набор его действительных точек (то есть точек, для которых x и y являются действительными числами) известен как единичный круг ; это название также часто дается всей разновидности.
Пример 3 [ править ]
Следующий пример не является ни гиперповерхностью , ни линейным пространством , ни отдельной точкой. Пусть А 3 — трехмерное аффинное пространство над C . Набор точек ( x , x 2 , х 3 ) для x в C — алгебраическое многообразие, а точнее, алгебраическая кривая, не содержащаяся ни в одной плоскости. [примечание 3] Это скрученный куб, показанный на рисунке выше. Его можно определить уравнениями
Неприводимость этого алгебраического множества нуждается в доказательстве. Один из подходов в этом случае — проверить, что проекция ( x , y , z ) → ( x , y ) инъективна на множестве решений и что ее образ является неприводимой плоской кривой.
Для более сложных примеров всегда может быть дано подобное доказательство, но оно может подразумевать сложные вычисления: сначала вычисление по базису Грёбнера для вычисления размерности, за которым следует случайная линейная замена переменных (не всегда требуется); затем базисное вычисление Грёбнера для другого мономиального порядка для вычисления проекции и доказательства того, что она инъективна в общем случае и что ее образ является гиперповерхностью , и, наконец, полиномиальная факторизация для доказательства неприводимости изображения.
Генеральная линейная группа [ править ]
Набор матриц размером n × n над базовым полем k можно отождествить с аффинным n 2 -космос с координатами такой, что является ( i , j )-й записью матрицы . Определитель тогда является многочленом от и, таким образом, определяет гиперповерхность в . Дополнение тогда является открытым подмножеством состоящая из всех обратимых n на матриц размера n , общая линейная группа . Это аффинное многообразие, поскольку, вообще говоря, дополнение гиперповерхности в аффинном многообразии аффинно. Явно рассмотрим где аффинной линии присвоена координата t . Затем составляет нулевой локус в многочлена в :
т. е. набор матриц A таких, что имеет решение. Лучше всего это видно алгебраически: координатное кольцо это локализация , который можно отождествить с .
Мультипликативная группа k * базового поля k то же самое, что и и, таким образом, является аффинным многообразием. Конечный продукт этого — алгебраический тор , который снова является аффинным многообразием.
Общая линейная группа является примером линейной алгебраической группы , аффинного многообразия, которое имеет структуру группы таким образом, что групповые операции являются морфизмом многообразий.
Характерный сорт [ править ]
Пусть A — не обязательно коммутативная алгебра над полем k . Даже если A не коммутативен, все равно может случиться, что A имеет -фильтрация так, чтобы ассоциированное кольцо коммутативна, редуцирована и конечно порождена как k -алгебра; то есть, — координатное кольцо аффинного (приводимого) многообразия X . Например, если A — универсальная обертывающая алгебра конечномерной алгебры Ли , затем — кольцо полиномов ( теорема ПБВ ); точнее, координатное кольцо двойственного векторного пространства .
Пусть M — фильтрованный модуль над A (т. е. ). Если бесконечно генерируется как -алгебра, носитель то в Х ; то есть место, где называется характеристическим многообразием M не обращается в нуль , . [6] Это понятие играет важную роль в теории D -модулей .
разнообразие Проективное
Проективное многообразие — это замкнутое подмногообразие проективного пространства. То есть это нулевой локус набора однородных многочленов , порождающих простой идеал .
Пример 1 [ править ]
Плоская проективная кривая — это нулевое положение неприводимого однородного многочлена от трех неопределенных. Проективная линия P 1 является примером проективной кривой; ее можно рассматривать как кривую на проективной плоскости P 2 = {[ x , y , z ] } определяется x = 0 . В качестве другого примера сначала рассмотрим аффинную кубическую кривую
в двумерном аффинном пространстве (над полем характеристики не два). Ему соответствует кубическое однородное полиномиальное уравнение:
который определяет кривую в P 2 называется эллиптической кривой . Кривая имеет род один ( формула рода ); в частности, она не изоморфна проективной прямой P 1 , имеющий нулевой род. Использование рода для различения кривых очень просто: фактически, род — это первый инвариант, который используется для классификации кривых (см. также построение модулей алгебраических кривых ).
Пример 2: Грассманиан [ править ]
Пусть V — конечномерное векторное пространство. Грассманово многообразие Gn - ( V это множество всех n мерных подпространств V. ) — Это проективное многообразие: оно вложено в проективное пространство посредством вложения Плюкера :
где b i — любой набор линейно независимых векторов из V , является n -й внешней степенью , V а скобка [ w ] означает линию, натянутую на ненулевой вектор w .
Грассманово многообразие поставляется с естественным векторным расслоением (или локально свободным пучком в другой терминологии), называемым тавтологическим расслоением , которое важно при изучении характеристических классов, таких как классы Черна .
разновидность и разновидность абелева Якобианская
Пусть C — гладкая полная кривая и группа Пикара ; т. е. группа классов изоморфизма линейных расслоений на C . Поскольку C является гладким, может быть идентифицирован как группа классов дивизоров C , и, таким образом, существует гомоморфизм степени . Якобианская разновидность C ; — ядро этого отображения степени т. е. группа классов дивизоров на C нулевой степени. Якобианское многообразие является примером абелева многообразия , полного многообразия с совместимой структурой абелевой группы (однако название «абелева» не потому, что это абелева группа). Абелево многообразие оказывается проективным (короче, алгебраические тэта-функции дают вложение в проективное пространство. См. уравнения, определяющие абелевы многообразия ); таким образом, является проективным многообразием. Касательное пространство к в единичном элементе естественно изоморфен [7] следовательно, размерность это род .
Исправить точку на . Для каждого целого числа , существует естественный морфизм [8]
где продуктом n копий C. является Для (т. е. C — эллиптическая кривая), указанный выше морфизм для оказывается изоморфизмом; [1] : Ч. IV, пример 1.3.7. в частности, эллиптическая кривая является абелевым многообразием.
Разновидности модулей [ править ]
Учитывая целое число , множество классов изоморфизма гладких полных кривых рода называется модулями кривых рода и обозначается как . Есть несколько способов показать, что этот модуль имеет структуру возможно приводимого алгебраического многообразия; например, один из способов - использовать геометрическую теорию инвариантов , которая гарантирует, что набор классов изоморфизма имеет (приводимую) структуру квазипроективного многообразия. [9] Модули, такие как модули кривых фиксированного рода, обычно не являются проективным многообразием; Грубо говоря, причина в том, что вырождение (предел) гладкой кривой имеет тенденцию быть негладким или приводимым. Это приводит к понятию устойчивой кривой рода , не обязательно гладкая полная кривая без каких-либо ужасно плохих особенностей и не очень большой группы автоморфизмов. Модули устойчивых кривых , множество классов изоморфизма устойчивых кривых рода , тогда является проективным многообразием, содержащим как открытое подмножество. С получается добавлением граничных точек к , называется компактификацией в просторечии . Исторически статья Мамфорда и Делиня [10] ввел понятие устойчивой кривой, чтобы показать является неприводимым, когда .
Модули кривых иллюстрируют типичную ситуацию: модули хороших объектов имеют тенденцию быть не проективными, а только квазипроективными. Другой случай — модули векторных расслоений на кривой. Здесь существуют понятия стабильных и полустабильных векторных расслоений на гладкой полной кривой. . Модули полустабильных векторных расслоений заданного ранга и заданная степень (степень определителя расслоения) тогда является проективным многообразием, обозначаемым как , который содержит набор классов изоморфизма стабильных векторных расслоений ранга и степень как открытое подмножество. [11] Поскольку линейное расслоение стабильно, такие модули являются обобщением якобиана многообразия .
Вообще, в отличие от случая модулей кривых, компактификация модулей не обязательно должна быть единственной, и в некоторых случаях разные неэквивалентные компактификации строятся разными методами и разными авторами. Пример закончился это проблема компактификации , фактор ограниченной симметричной области действием арифметической дискретной группы . [12] Базовый пример это когда , верхнее полупространство Сигела и соизмеримо с ; в таком случае, имеет интерпретацию как модули принципиально поляризованных комплексных абелевых многообразий размерности (главная поляризация отождествляет абелевое многообразие с его двойственным). Теория торических многообразий (или вложений тора) дает возможность компактифицировать , тороидальная компактификация . его [13] [14] Но есть и другие способы компактизации. ; например, существует компактификация минимальная по Бейли и Борелю: это проективное многообразие, связанное с градуированным кольцом, образованным модулярными формами (в случае Зигеля — модулярными формами Зигеля ; [15] см. также модульную разновидность Siegel ). Неединственность компактификаций связана с отсутствием модульной интерпретации этих компактификаций; т. е. они не представляют (в смысле теории категорий) какую-либо проблему естественных модулей или, говоря точным языком, не существует стека естественных модулей , который был бы аналогом стека модулей устойчивых кривых.
Неаффинный и непроективный пример [ править ]
Алгебраическое многообразие не может быть ни аффинным, ни проективным. В качестве примера пусть X = P 1 × А 1 и p : X → A 1 проекция. Здесь X — алгебраическое многообразие, поскольку оно является произведением многообразий. Он не аффинен, поскольку P 1 является замкнутым подмногообразием X (как нулевой локус p ), но аффинное многообразие не может содержать проективное многообразие положительной размерности как замкнутое подмногообразие. существует непостоянная регулярная функция Он также не проективен, поскольку на X ; а именно, п .
Другой пример неаффинного непроективного многообразия — X = A. 2 − (0, 0) (см. Морфизм многообразий § Примеры .)
Непримеры [ править ]
Рассмотрим аффинную линию над . Дополнение круга в не является алгебраическим многообразием (и даже алгебраическим множеством). Обратите внимание, что не является полиномом (хотя это полином от действительных координат ). С другой стороны, дополнение происхождения в является алгебраическим (аффинным) многообразием, так как начало координат — нуль-место многообразия . Это можно объяснить следующим образом: аффинная линия имеет размерность единица, и поэтому любое ее подмногообразие, отличное от нее самой, должно иметь строго меньшую размерность; а именно ноль.
По тем же причинам унитарная группа (над комплексными числами) не является алгебраическим многообразием, а специальная линейная группа является закрытым подмногообразием , нулевой локус . (Однако в другом базовом поле унитарной группе может быть придана структура разнообразия.)
Основные результаты [ править ]
- Аффинное алгебраическое множество V является многообразием тогда и только тогда, когда I ( V ) — простой идеал ; эквивалентно, V является многообразием тогда и только тогда, когда его координатное кольцо является областью целостности . [16] : 52 [1] : 4
- Каждое непустое аффинное алгебраическое множество можно однозначно записать как конечное объединение алгебраических многообразий (где ни одно из многообразий в разложении не является подмногообразием другого). [1] : 5
- Размерность . сорта может быть определена различными эквивалентными способами см . в разделе «Размерность алгебраического многообразия» . Подробности
- Произведение конечного числа алгебраических многообразий (над алгебраически замкнутым полем) является алгебраическим многообразием. Конечное произведение аффинных многообразий аффинно. [17] и конечное произведение проективных многообразий проективно.
Изоморфизм алгебраических многообразий [ править ]
Пусть V 1 , V 2 — алгебраические многообразия. Мы говорим, что , и пишем V 1 ≅ V 1 и V 2 изоморфны V 2 , если существуют регулярные отображения φ : V 1 → V 2 и ψ : V 2 → V 1 такие , что композиции ψ ∘ φ и φ ∘ ψ являются тождественные отображения на V 1 и V 2 соответственно.
Обсуждение и обобщения [ править ]
Этот раздел включает в себя список использованной литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но его источники остаются неясными, поскольку в нем отсутствуют встроенные цитаты . ( Март 2013 г. ) |
Основные определения и факты, приведенные выше, позволяют заниматься классической алгебраической геометрией. Чтобы иметь возможность делать больше — например, иметь дело с многообразиями полей, которые не являются алгебраически замкнутыми , — необходимы некоторые фундаментальные изменения. Современное понятие многообразия значительно более абстрактно, чем приведенное выше, хотя и эквивалентно в случае многообразий над алгебраически замкнутыми полями. Абстрактное алгебраическое многообразие — это особый вид схемы; обобщение на схемы с геометрической стороны позволяет распространить описанное выше соответствие на более широкий класс колец. Схема — это локально окольцованное пространство такое, что каждая точка имеет окрестность, которая как локально окольцованное пространство изоморфна спектру кольца . По сути, многообразие над k - это схема, структурный пучок которой представляет собой k пучок -алгебр со свойством, что все кольца R , встречающиеся выше, являются целыми областями и все являются конечно порожденными k -алгебрами, то есть они являются факторами. полиномиальных алгебр по первичным идеалам .
Это определение работает над любым полем k . Он позволяет склеивать аффинные многообразия (вдоль общих открытых множеств), не беспокоясь о том, можно ли поместить полученный объект в какое-то проективное пространство. Это также приводит к трудностям, поскольку можно ввести несколько патологические объекты, например, аффинную линию с удвоенным нулем. схем, лежащих в основе разновидности Такие объекты обычно не считаются разновидностями и исключаются путем требования разделения . (Строго говоря, существует еще и третье условие, а именно, что в приведенном выше определении требуется только конечное число аффинных патчей.)
Некоторые современные исследователи также снимают ограничение на разнообразие, имеющее аффинные диаграммы целой области , и, говоря о разнообразии, требуют только, чтобы аффинные диаграммы имели тривиальный нильрадикал .
Полное многообразие — это такое многообразие, что любое отображение открытого подмножества неособой кривой в него однозначно продолжается на всю кривую. Всякое проективное многообразие является полным, но не наоборот.
Эти сорта были названы «разновидностями в смысле Серра», поскольку Серра в основополагающей статье FAC [18] пучковые когомологии для них были написаны . Они остаются типичными объектами для начала изучения алгебраической геометрии, даже если более общие объекты также используются вспомогательным образом.
Один из способов, который приводит к обобщениям, - это разрешить приводимые алгебраические множества (и поля k , которые не являются алгебраически замкнутыми), поэтому кольца R не могут быть целыми областями. Более существенная модификация — разрешить нильпотенты в пучке колец , то есть кольца, которые не редуцированы . Это одно из нескольких обобщений классической алгебраической геометрии, встроенных в Гротендика теорию схем .
Разрешение нильпотентных элементов в кольцах связано с отслеживанием «кратностей» в алгебраической геометрии. Например, замкнутая подсхема аффинной прямой, определяемая x 2 = 0 отличается от подсхемы, определяемой x = 0 (начало координат). В более общем смысле, слой морфизма схем X → Y в точке Y может быть нередуцированным, даже если X и Y редуцированы. Геометрически это говорит о том, что слои хороших отображений могут иметь нетривиальную «бесконечно малую» структуру.
Существуют и другие обобщения, называемые алгебраическими пространствами и стеками .
Алгебраические многообразия [ править ]
Алгебраическое многообразие — это алгебраическое многообразие, которое также является m -мерным многообразием, и, следовательно, каждый достаточно малый локальный участок изоморфен k м . Эквивалентно, многообразие гладкое (без особых точек). Когда k — действительные числа, R , алгебраические многообразия называются многообразиями Нэша . Алгебраические многообразия можно определить как нулевое множество конечного набора аналитических алгебраических функций. Проективные алгебраические многообразия являются эквивалентным определением проективных многообразий. Сфера Римана является одним из примеров.
См. также [ править ]
- Разнообразие (значения) - также перечисление нескольких математических значений.
- Функциональное поле алгебраического многообразия
- Бирациональная геометрия
- Мотив (алгебраическая геометрия)
- Аналитический сорт
- Пространство Зариского – Римана
- Полуалгебраический набор
- Сорт Фано
- Теорема Мнева об универсальности
Примечания [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г час я дж к л м н тот п Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90244-9 .
- ^ Хартсхорн, Упражнение I.2.9, стр.12.
- ^ Нагата, Масаеши (1956). «О проблеме вложения абстрактных многообразий в проективные многообразия» . Мемуары научного колледжа Киотского университета. Серия А: Математика . 30 : 71–82. дои : 10.1215/kjm/1250777138 . МР 0088035 .
- ^ Нагата, Масаеши (1957). «О вложениях абстрактных поверхностей в проективные многообразия» . Мемуары научного колледжа Киотского университета. Серия А: Математика . 30 (3): 231–235. дои : 10.1215/kjm/1250777007 . МР 0094358 . S2CID 118328992 .
- ^ На странице 65 Фултон, Уильям (1993), Введение в торические многообразия , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00049-7 замечание описывает полное торическое многообразие, не имеющее нетривиального линейного расслоения; таким образом, в частности, у него нет достаточного линейного расслоения.
- ^ Определение 1.1.12, Гинзбург В., 1998. Лекции по D-модулям. Чикагский университет.
- ^ Милн 2008 , Предложение 2.1.
- ^ Милн 2008 , Начало § 5.
- ^ МФК 1994 , Теорема 5.11.
- ^ Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75–109. CiteSeerX 10.1.1.589.288 . дои : 10.1007/bf02684599 . S2CID 16482150 .
- ^ МФК 1994 , Приложение C к гл. 5.
- ^ Марк Горески. Компактификации и когомологии модулярных многообразий. В гармоническом анализеформула следа и разновидности Шимуры, том 4 журнала Clay Math. Учебник, стр. 551–582. амер.Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 2005.
- ^ Эш, А.; Мамфорд, Дэвид ; Рапопорт, М.; Тай, Ю. (1975), Гладкая компактификация локально симметричных многообразий (PDF) , Бруклин, Массачусетс: Матем. наук. Пресса, ISBN 978-0-521-73955-9 , МР 0457437
- ^ Намикава, Юкихико (1980). Тороидальная компактификация пространств Зигеля . Конспект лекций по математике. Том. 812. дои : 10.1007/BFb0091051 . ISBN 978-3-540-10021-8 .
- ^ Чай, Чинг-Ли (1986). «Схемы модулей Зигеля и их компактификации над ". Арифметическая геометрия . стр. 231–251. doi : 10.1007/978-1-4613-8655-1_9 . ISBN 978-1-4613-8657-5 .
- ^ Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия - Первый курс . Тексты для аспирантов по математике. Том. 133. Шпрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-1-4757-2189-8 . ISBN 0-387-97716-3 .
- ^ Алгебраическая геометрия I. Энциклопедия математических наук. Том. 23. 1994. doi : 10.1007/978-3-642-57878-6 . ISBN 978-3-540-63705-9 .
- ^ Серр, Жан-Пьер (1955). «Когерентные алгебраические пучки» (PDF) . Анналы математики . 61 (2): 197–278. дои : 10.2307/1969915 . JSTOR 1969915 .
Источники [ править ]
- Кокс, Дэвид ; Джон Литтл; Дон О'Ши (1997). Идеалы, разновидности и алгоритмы (второе изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-94680-2 .
- Эйзенбуд, Дэвид (1999). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-94269-6 .
- Милн, Джеймс С. (2008). «Алгебраическая геометрия» . Проверено 1 сентября 2009 г.
- Милн Дж., Якобианские многообразия , опубликовано как Глава VII Арифметической геометрии (Сторрс, Коннектикут, 1984), 167–212, Спрингер, Нью-Йорк, 1986.
- Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов . Результаты по математике и смежным областям (2)]. Том 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3 . МР 1304906 .
- Алгебраическая геометрия и арифметические кривые / . Оксфордские научные публикации. Издательство Оксфордского университета. 2006. ISBN 978-0-19-154780-5 . OCLC 646747871 .
Эта статья включает в себя материал из раздела «Изоморфизм разновидностей» на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .