Модульная разновидность Siegel
В математике модульное многообразие Зигеля или пространство модулей Зигеля — это алгебраическое многообразие , которое параметризует определенные типы абелевых многообразий фиксированной размерности . Точнее, модулярные многообразия Зигеля — это пространства модулей принципиально поляризованных абелевых многообразий фиксированной размерности. Они названы в честь Карла Людвига Зигеля , немецкого теоретика чисел 20-го века , который представил эти разновидности в 1943 году. [ 2 ] [ 3 ]
Модульные разновидности Сигела являются наиболее простыми примерами разновидностей Шимуры . [ 4 ] Модулярные многообразия Зигеля обобщают пространства модулей эллиптических кривых до более высоких измерений и играют центральную роль в теории модулярных форм Зигеля , которые обобщают классические модульные формы до более высоких размерностей. [ 1 ] Они также имеют приложения к энтропии черных дыр и конформной теории поля . [ 5 ]
Строительство
[ редактировать ]Модулярное многообразие Зигеля Ag верхнего , которое параметризует преимущественно поляризованные абелевы многообразия размерности g , может быть построено как комплексное аналитическое пространство, построенное как фактор степени полупространства Зигеля g по действию симплектической группы . Комплексные аналитические пространства имеют естественно связанные алгебраические многообразия с Серра ГАГА помощью . [ 1 ]
Модулярное многообразие Зигеля Ag , возникает как фактор верхнего ( n ), которое параметризует принципиально поляризованные абелевы многообразия размерности g с уровня n -структурой полупространства Зигеля по действию главной подгруппы уровня n конгруэнтной симплектическая группа. [ 1 ]
Модульное многообразие Зигеля также может быть построено как многообразие Шимуры, определенное данными Шимуры, связанными с симплектическим векторным пространством . [ 4 ]
Характеристики
[ редактировать ]Модулярное многообразие Зигеля A g имеет размерность g ( g + 1)/2. [ 1 ] [ 6 ] показали, Кроме того, Юнг-Шэн Тай, Эберхард Фрайтаг и Дэвид Мамфорд что A g имеет общий тип, когда g ≥ 7. [ 1 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]
Модульные многообразия Зигеля можно компактифицировать для получения проективных многообразий . [ 1 ] В частности, компактификация A 2 (2) бирационально эквивалентна кубике Сегре , которая на самом деле рациональна . [ 1 ] Аналогично, компактификация A 2 (3) бирационально эквивалентна квартике Буркхардта, которая также рациональна. [ 1 ] Другое модульное многообразие Зигеля, обозначенное A 1,3 (2), имеет компактификацию, бирационально эквивалентную квинтике Барта–Ньето , которая бирационально эквивалентна модулярному многообразию Калаби–Яу с нулевой размерностью Кодайры . [ 1 ]
Модульные многообразия Зигеля не могут быть анабелевыми . [ 10 ]
Приложения
[ редактировать ]Модулярные формы Зигеля возникают как векторнозначные дифференциальные формы на модулярных многообразиях Зигеля. [ 1 ] Модульные многообразия Зигеля использовались в конформной теории поля посредством теории модулярных форм Зигеля. [ 11 ] В теории струн функция, которая естественным образом фиксирует микросостояния энтропии черной дыры в системе суперсимметричных черных дыр D1D5P, представляет собой модулярную форму Зигеля. [ 5 ]
В 1968 году Алексей Паршин показал, что гипотеза Морделла (теперь известная как теорема Фалтингса) будет верна, если гипотеза о конечности Шафаревича верна, путем введения трюка Паршина. [ 12 ] [ 13 ] В 1983 и 1984 годах Герд Фалтингс завершил доказательство гипотезы Морделла, доказав гипотезу Шафаревича о конечности. [ 14 ] [ 15 ] [ 13 ] Основная идея доказательства Фалтингса — сравнение высот Фалтингса и наивных высот через модульные многообразия Зигеля. [ 16 ]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с д и ж г час я дж к Хулек, Клаус; Шанкаран, ГК (2002). «Геометрия модульных многообразий Зигеля» . Многомерная бирациональная геометрия . Продвинутые исследования в области чистой математики. Том. 35. С. 89–156. arXiv : математика/9810153 . дои : 10.2969/aspm/03510089 . ISBN 978-4-931469-85-3 . S2CID 119595519 .
- ^ Ода, Такаюки (2014). «Пересечения двух стен фундаментальной области Готтшлинга модульной группы Зигеля второго рода». В Хайме, Бернхард; Аль-Баали, Мехиддин; Рупп, Флориан (ред.). Автоморфные формы, исследования по теории чисел из Омана . Спрингерские труды по математике и статистике. Том. 115. Спрингер. стр. 193–221. дои : 10.1007/978-3-319-11352-4_15 . ISBN 978-3-319-11352-4 .
- ^ Сигель, Карл Людвиг (1943). «Симплектическая геометрия». Американский журнал математики . 65 (1). Издательство Университета Джона Хопкинса: 1–86. дои : 10.2307/2371774 . JSTOR 2371774 .
- ^ Jump up to: а б Милн, Джеймс С. (2005). «Знакомство с сортами Симура» (PDF) . В Артуре, Джеймсе; Эллвуд, Дэвид; Котвитц, Роберт (ред.). Гармонический анализ, формула следа и разновидности Шимуры . Клэй Труды по математике. Том. 4. Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 265–378. ISBN 978-0-8218-3844-0 .
- ^ Jump up to: а б Белен, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Жуан; Келлер, Кристоф А. (11 апреля 2017 г.). «Модульные формы Зигеля и энтропия черной дыры» (PDF) . Журнал физики высоких энергий . 2017 (4): 57. arXiv : 1611.04588 . Бибкод : 2017JHEP...04..057B . дои : 10.1007/JHEP04(2017)057 . S2CID 53684898 . См. раздел 1 статьи.
- ^ ван дер Гир, Джерард (2013). «Когомологии пространства модулей абелевых многообразий». В Фаркасе, Гаврила; Моррисон, Ян (ред.). Справочник модулей, Том 1 . Том. 24. Сомервилл, Массачусетс: Международная пресса. arXiv : 1112.2294 . ISBN 9781571462572 .
- ^ Тай, Юнг-Шэн (1982). «О кодайровской размерности пространства модулей абелевых многообразий » изобретения Математические 68 (3): 425–439. Бибкод : 1982InMat..68..425T . дои : 10.1007/BF01389411 . S2CID 120441933 .
- ^ Пятница, Эберхард (1983). Функции модуля Сигела . Основные учения математических наук (на немецком языке). Том 254. Springer Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-68649-8 . ISBN 978-3-642-68650-4 .
- ^ Мамфорд, Дэвид (1983). «О измерении Кодайры модульного разнообразия Зигеля». В Силиберто, К.; Гионе, Ф.; Ореккья, Ф. (ред.). Алгебраическая геометрия — открытые проблемы, материалы конференции, состоявшейся в Равелло, 31 мая — 5 июня 1982 г. Конспект лекций по математике. Том. 997. Спрингер. стр. 348–375. дои : 10.1007/BFb0061652 . ISBN 978-3-540-12320-0 .
- ^ Ихара, Ясутака ; Накамура, Хироаки (1997). «Некоторые наглядные примеры анабелевой геометрии в больших измерениях». В Шнепсе, Лейла ; Лочак, Пьер (ред.). Геометрические действия Галуа 1: Вокруг программы Гротендика «Esquisse d'un» . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 242. Издательство Кембриджского университета. стр. 127–138. дои : 10.1017/CBO9780511758874.010 . ISBN 978-0-521-59642-8 .
- ^ Белен, Александр; Кастро, Алехандра; Гомес, Жуан; Келлер, Кристоф А. (7 ноября 2018 г.). «Парамодулярные формы Зигеля и разреженность в AdS3/CFT2». Журнал физики высоких энергий . 2018 (11): 37. arXiv : 1805.09336 . Бибкод : 2018JHEP...11..037B . дои : 10.1007/JHEP11(2018)037 . S2CID 54936474 .
- ^ Паршин, А.Н. (1968). «Алгебраические кривые над функциональными полями I» (PDF) . Изв. Акад. Наук СССР сер. Мат. 32 (5): 1191–1219. Бибкод : 1968ИзМат...2.1145П . дои : 10.1070/IM1968v002n05ABEH000723 .
- ^ Jump up to: а б Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. , ред. (1986). Арифметическая геометрия. Материалы конференции, состоявшейся в Университете Коннектикута, Сторрс, Коннектикут, 30 июля – 10 августа 1984 г. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4613-8655-1 . ISBN 0-387-96311-1 . МР 0861969 .
- ^ Фальтингс, Герд (1983). « Теоремы конечности абелевых многообразий над числовыми полями». Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F . дои : 10.1007/BF01388432 . МР 0718935 . S2CID 121049418 .
- ^ Фальтингс, Герд (1984). «Ошибка: теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями» . Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 75 (2): 381. дои : 10.1007/BF01388572 . МР 0732554 .
- ^ «Фальтингс связывает два понятия высоты посредством пространства модулей Зигеля… Это основная идея доказательства». Блох, Спенсер (1984). «Доказательство гипотезы Морделла» (PDF) . Математический интеллект . 6 (2): 44. дои : 10.1007/BF03024155 . S2CID 306251 . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2019 г.
Основные математики области |
|---|
