Тета-константа

В математике тэта-константа или Thetanullwert' (по-немецки означает нулевое значение тета; множественное число Thetanullwerte ) — это ограничение θ _m ( τ ) = θ _m ( τ , 0 ) тета-функции θ _m (τ, z ) с рациональной характеристикой m до z = 0. Переменная τ может быть комплексным числом в верхней полуплоскости, и в этом случае тэта-константы являются модулярными формами, или, в более общем смысле, может быть элементом верхней полуплоскости Зигеля, и в этом случае тэта-константы являются модулярными формами Зигеля . Тэта -функция решетки, по сути, является частным случаем тэта-константы.

Определение

Тета-функция θ _m ( τ , z ) = θ _{a , b} ( τ , z ) определяется формулой

$\theta _{a,b}(\tau ,z)=\sum _{\xi \in Z^{n}}\exp \left[\pi {\rm {i}}(\xi +a)\tau (\xi +a)^{t}+2\pi i(\xi +a)(z+b)^{t}\right]$

где

• n — целое положительное число, называемое родом или рангом.
• m = ( a , b ) называется характеристикой
• a , b находятся в R ^н
• τ — комплексная матрица размера n на n с положительно определенной мнимой частью.
• z находится в C ^н
• t означает транспонирование вектора-строки.

Если a , b находятся в Q ^н тогда θa _{тэта - , b} ( τ ,0) называется константой .

Примеры

Если n = 1 и a и b оба равны 0 или 1/2, то функции θ _{a , b} ( τ , z ) являются четырьмя тэта-функциями Якоби , а функции θ _{a , b} ( τ ,0) являются классическими Тета-константы Якоби. Тета-константа θ _1/2,1/2 ( τ ,0) тождественно равна нулю, но остальные три могут быть ненулевыми.

Ссылки

• Игуса, Дзюнъити (1972), Тета-функции. , Основные положения математических наук, вып. 194, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, MR   0325625