Моноидальный функтор

В теории категорий моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями , которые сохраняют моноидальную структуру. Более конкретно, моноидальный функтор между двумя моноидальными категориями состоит из функтора между категориями, а также двух карт когерентности — естественного преобразования и морфизма, которые сохраняют моноидальное умножение и единицу соответственно. Математики требуют, чтобы эти карты когерентности удовлетворяли дополнительным свойствам в зависимости от того, насколько строго они хотят сохранить моноидальную структуру; каждое из этих свойств приводит к несколько иному определению моноидальных функторов.

Отображения когерентности нестрогих моноидальных функторов не обладают никакими дополнительными свойствами; они не обязательно обратимы.
Отображения когерентности сильных моноидальных функторов обратимы.
Отображения когерентности строгих моноидальных функторов являются тождественными.

Хотя здесь мы различаем эти разные определения, авторы могут называть любое из этих просто моноидальных функторов .

Определение

Позволять $({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})$ и $({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})$ быть моноидальными категориями. Слабый моноидальный функтор из ${\mathcal {C}}$ к ${\mathcal {D}}$ (который также можно назвать моноидальным функтором) состоит из функтора $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ вместе с естественным преобразованием

\phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)

между функторами ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ и морфизм

\phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}

,

называемые картами когерентности или структурными морфизмами , которые таковы, что для каждых трех объектов $A$ , $B$ и $C$ из ${\mathcal {C}}$ диаграммы

,

и

ездить в категории ${\mathcal {D}}$ . Выше различные естественные преобразования, обозначенные с помощью $\alpha ,\rho ,\lambda$ являются частями моноидальной структуры на ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {D}}$ . ^[1]

Варианты

Двойственным моноидальному функтору является комоноидальный функтор ; это моноидальный функтор, карты когерентности которого перевернуты. Комоноидальные функторы также можно назвать опмоноидальными, моноидальными функторами колакса или моноидальными функторами оплакса.
Сильный моноидальный функтор — это моноидальный функтор, когерентность которого отображается $\phi _{A,B},\phi$ являются обратимыми.
Строгий моноидальный функтор — это моноидальный функтор, карты когерентности которого являются тождествами.
Скрученный моноидальный функтор — это моноидальный функтор между сплетенными моноидальными категориями (расплетения обозначаются $\gamma$ ) такая, что следующая диаграмма коммутирует для каждой пары объектов A , B в ${\mathcal {C}}$ :

Симметричный моноидальный функтор — это плетеный моноидальный функтор, область определения и кодомен которого являются симметричными моноидальными категориями .

Примеры

Базовый функтор $U\colon (\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{\ast \})$ из категории абелевых групп в категорию множеств. В этом случае карта $\phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)$ отправляет (a, b) в $a\otimes b$ ; карта $\phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z}$ отправляет $\ast$ до 1.
Если $R$ является (коммутативным) кольцом, то свободный функтор ${\mathsf {Set}},\to R{\mathsf {-mod}}$ продолжается до сильно моноидального функтора $({\mathsf {Set}},\sqcup ,\emptyset )\to (R{\mathsf {-mod}},\oplus ,0)$ (а также $({\mathsf {Set}},\times ,\{\ast \})\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes ,R)$ если $R$ коммутативен).
Если $R\to S$ является гомоморфизмом коммутативных колец, то функтор ограничения $(S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)$ является моноидальным, а функтор индукции $(R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)\to (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)$ является сильно моноидальным.
Важным примером симметричного моноидального функтора является математическая модель топологической квантовой теории поля недавно разработанная . Позволять $\mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle }$ — категория кобордизмов n -1,n -мерных многообразий с тензорным произведением, заданным дизъюнктным объединением, и за единицу — пустое многообразие. Топологическая квантовая теория поля в размерности n представляет собой симметричный моноидальный функтор. $F\colon (\mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle },\sqcup ,\emptyset )\rightarrow (\mathbf {kVect} ,\otimes _{k},k).$
Функтор гомологии моноидален как $(Ch(R{\mathsf {-mod}}),\otimes ,R[0])\to (grR{\mathsf {-mod}},\otimes ,R[0])$ через карту $H_{\ast }(C_{1})\otimes H_{\ast }(C_{2})\to H_{\ast }(C_{1}\otimes C_{2}),[x_{1}]\otimes [x_{2}]\mapsto [x_{1}\otimes x_{2}]$ .

Альтернативные понятия

Если $({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})$ и $({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})$ являются замкнутыми моноидальными категориями с внутренними hom-функторами $\Rightarrow _{\mathcal {C}},\Rightarrow _{\mathcal {D}}$ (нижние индексы опустим для удобства чтения), есть альтернативная формулировка

ψ _AB : F ( А ⇒ B ) → FA ⇒ FB

φ функциональном _AB обычно используется в программировании . Связь между ψ _AB и φ _AB иллюстрируется следующими коммутативными диаграммами:

Характеристики

Если $(M,\mu ,\epsilon )$ является моноидным объектом в $C$ , затем $(FM,F\mu \circ \phi _{M,M},F\epsilon \circ \phi )$ является моноидным объектом в $D$ . ^[2]

Моноидальные функторы и дополнения

Предположим, что функтор $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ остается сопряженным слева с моноидом $(G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})$ . Затем $F$ имеет комоноидальное строение $(F,m)$ вызванный $(G,n)$ , определяемый

m_{A,B}=\varepsilon _{FA\bullet FB}\circ Fn_{FA,FB}\circ F(\eta _{A}\otimes \eta _{B}):F(A\otimes B)\to FA\bullet FB

и

m=\varepsilon _{I_{\mathcal {D}}}\circ Fn:FI_{\mathcal {C}}\to I_{\mathcal {D}}

.

Если индуцированная структура на $F$ является сильным, то единица и единица присоединения являются моноидальными естественными преобразованиями , и присоединение называется моноидальным присоединением ; и наоборот, левый сопряженный моноидального присоединения всегда является сильным моноидальным функтором.

Аналогично, правый сопряженный комоноидальному функтору является моноидальным, а правый сопряженный комоноидальному присоединению является сильным моноидальным функтором.

См. также

Моноидальное естественное преобразование

Встроенные цитаты

^ Перроне (2024) , стр. 360–364
^ Перроне (2024) , стр. 367–368

Ссылки

Келли, Дж. Макс (1974). «Доктринальное дополнение». Категория Семинар . Конспект лекций по математике. Том. 420. Спрингер. стр. 257–280. дои : 10.1007/BFb0063105 . ISBN 978-3-540-37270-7 .
Перроне, Паоло (2024). Начало теории категорий . Всемирная научная. дои : 10.1142/9789811286018_0005 . ISBN 978-981-12-8600-1 .

[1] Перроне (2024) , стр. 360–364

[2] Перроне (2024) , стр. 367–368

[1]

[2]